1、14.2 乘法公式,第十四章 整式的乘法与因式分解,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,14.2.1 平方差公式,八年级数学上（RJ）教学课件,1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征.（重点） 2.灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题.（难点）,导入新课,复习引入,多项式与多项式是如何相乘的？,（x 3)( x5）,=x2,5x,3x,15,=x2,8x,15.,(a+b)(m+n),=am,+an,+bm,+bn,讲授新课,探究发现,面积变了吗？,相等吗？,（x 1)( x1）； （m 2)( m2）； （2m 1)(2m1）； （5y z)(5yz）.,计算下
2、列多项式的积，你能发现什么规律？,算一算：看谁算得又快又准.,（m 2)( m2）=m2 22,（2m 1)( 2m1)=4m2 12,（5y z)(5yz)= 25y2 z2,（x 1)( x1）=x2 1，,想一想：这些计算结果有什么特点？,x2 12,m222,(2m)2 12,(5y)2 z2,(a+b)(ab)=,a2b2,两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.,公式变形:,1.（a b ) ( a + b) = a2 - b2,2.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2,平方差公式,平方差公式,注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等,(a+b)(a
3、-b)=(a)2-(b)2,适当交换,合理加括号,(1+x)(1-x),(-3+a)(-3-a),(0.3x-1)(1+0.3x),(1+a)(-1+a),填一填：,a,b,a2-b2,1,x,-3,a,12-x2,(-3)2-a2,a,1,a2-12,0.3x,1,( 0.3x)2-12,(a-b)(a+b),练一练：口答下列各题：(l)(-a+b)(a+b)=_.(2)(a-b)(b+a)= _.(3)(-a-b)(-a+b)= _.(4)(a-b)(-a-b)= _.,a2-b2,a2-b2,b2-a2,b2-a2,例1 计算：(1) (3x2 )( 3x2 ) ；(2)（-x+2y)(
4、-x-2y).,(2) 原式 (-x)2 - (2y)2,x2 - 4y2.,解：（1）原式=(3x)222,=9x24；,方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式,利用平方差公式计算： (1)(3x5)(3x5)； (2)(2ab)(b2a)； (3)(7m8n)(8n7m),针对训练,解：(1)原式=(3x)2529x225；,(2)原式=(2a)2b24a2b2；,(3)原式=(7m)2(8n)249
5、m264n2；,例2 计算: (1) 10298; (2) (y+2) (y-2) (y-1) (y+5) .,解: (1) 10298,（2）(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5),= 1002-22,=10000 4,=（1002）(1002),=9996；,= y2-22-(y2+4y-5),= y2-4-y2-4y+5,= - 4y + 1.,针对训练,计算: (1) 5149; (2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) .,解: (1) 原式=（501）(501),= 502-12,=2500 1,=2499；,(2) 原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6
6、),= 9x2-16-6x2-5x+6,= 3x2-5x-10.,例3 先化简，再求值：(2xy)(y2x)(2yx)(2yx)，其中x1，y2.,原式51252215.,解：原式4x2y2(4y2x2),4x2y24y2x2,5x25y2.,当x1，y2时，,例4 对于任意的正整数n，整式(3n1)(3n1)(3n)(3n)的值一定是10的整数倍吗？,即(3n1)(3n1)(3n)(3n)的值是10的倍数,解：原式9n21(9n2),10n210.,(10n210)10=n2-1.,n为正整数，,n2-1为整数,方法总结：对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除
7、性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系,例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了你认为李大妈吃亏了吗？为什么？,a2a216，,解：李大妈吃亏了,理由：原正方形的面积为a2，,改变边长后面积为(a4)(a4)a216，,李大妈吃亏了,方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，解决问题,1.下列运算中，可用平方差公式计算的是( ) A(xy)(xy) B(xy)(xy) C(xy)(yx)
8、D(xy)(xy),当堂练习,C,2.计算（2x+1）（2x-1）等于（ ） A4x2-1 B2x2-1 C4x-1 D4x2+1,A,3.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_,10,（1）(a+3b)(a- 3b)；,=4a29；,=4x4y2.,原式=(2a+3)(2a-3),=a29b2 ；,=(2a)232,原式=(-2x2 )2y2,原式=(a)2(3b)2,（2）(3+2a)(3+2a)；,（3）(2x2y)(2x2+y).,4.利用平方差公式计算：,5.计算： 20152 20142016.,解：,20152 201420
9、16,= 20152 (20151)(2015+1),= 20152, （2015212 ),= 20152, 20152+12,=1,6.利用平方差公式计算:,（1）（a-2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2-4)(a2+4)=a4-16.,(2) (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).,解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4),=（x4-y4)(x4+y4),=x8-y8.,7.先化简，再求值：(x1)(x1)x2(1x)x3，其中x2.,解：原式=x21x2x3x3,=2x21.,将x2代入上式，,原式=222-1=7.,8.已知x1，计算：(1x)(
10、1x)1x2，(1x)(1xx2)1x3，(1x)(1xx2x3) (1)观察以上各式并猜想：(1x)(1xx2xn)_；(n为正整数),(2)根据你的猜想计算： (12)(1222232425)_； 222232n_(n为正整数)； (x1)(x99x98x97x2x1)_；,拓展提升,1xn+1,-63,2n12,x1001,(3)通过以上规律请你进行下面的探索： (ab)(ab)_； (ab)(a2abb2)_； (ab)(a3a2bab2b3)_,a2b2,a3b3,a4b4,课堂小结,平方差公式,内容,注意,两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差,1.符号表示：（a+b)(a-b)=a2-b2,2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用,
