1、第四讲平抛运动、圆周运动的临界问题热点一平抛运动中的临界问题 (师生共研)1有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点2若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点3若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点典例1(2015全国卷)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气的作用，重
2、力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是()A.vL1 B.v C.v D.v 解析：当发射机正对右侧台面发射，乒乓球恰好过网时，发射速度最小由平抛运动规律得v1t,2hgt2，联立解得v1.当发射机正对右侧台面的某个角发射，乒乓球恰好到达角上时，发射速度最大由平抛运动规律得 v2t，3hgt2，联立解得v2 .即速度v的最大取值范围为v ，D正确，选项A、B、C错误答案：D反思总结处理平抛运动临界问题应抓住两点1分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突现出
3、来，找到产生临界状态的条件2要用分解速度或者分解位移的方法分析平抛运动的临界问题如图，窗子上、下沿间的高度H1.6 m，墙的厚度d0.4 m某人在离墙壁距离L1.4 m，距窗子上沿高h0.2 m处的P点，将可视为质点的小物体以速度v垂直于墙壁水平抛出，小物体直接穿过窗口并落在水平地面上，g取10 m/s2，则v的取值范围是()Av7 m/sBv2.3 m/sC3 m/sv7 m/sD2.3 m/sv3 m/s解析：小物体穿过窗口并落在地上，需满足的条件为能穿过窗口的右上沿和左下沿，结合公式hgt2，xvt，沿右上沿时，x1L1.4 m，h1h0.2 m时，代入数据得v17 m/s，沿左下沿时，
4、x2Ld1.8 m，h2Hh1.8 m时，代入数据得v23 m/s，则3 m/sv7 m/s，故选C.答案：C热点二水平面内圆周运动的临界问题 (自主学习)水平面内圆周运动的临界极值问题通常有两类，一类是与摩擦力有关的临界问题，一类是与弹力有关的临界问题1与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有fm，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和
5、沿半径指向圆心2与弹力有关的临界极值问题压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等21. 摩擦力有关的临界问题如图所示，叠放在水平转台上的小物体A、B、C能随转台一起以角速度匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B与转台、C与转台间的动摩擦因数都为，B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r.设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力以下说法中正确的是()AB对A的摩擦力一定为3mgBC与转台间的摩擦力大于A与B间的摩擦力C转台的角速度一定满足 D转台的角速度一定满足 答案：C22.绳子张力的临界问题 (201
6、9山东滕州一中检测)质量为m的小球由轻绳a、b分别系于一轻质木架上的A和C点，绳长分别为la、lb(且lalb)，如图所示，当轻杆绕轴BC以角速度匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向，绳b在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时轻杆停止转动，则() A小球仍在水平面内做匀速圆周运动B在绳b被烧断瞬间，绳a中张力突然增大到 mgm2laC无论角速度多大，小球都不可能再做完整的圆周运动D绳b未被烧断时，绳a的拉力等于 mg，绳b的拉力为 m2lb解析：绳子断开前，小球做匀速圆周运动，合力指向C点，对小球受力分析，受重力G，a绳子的拉力F1，b绳子的拉力F2，根据牛顿
7、第二定律有：F1 mg；F2m2lb；小球的线速度为：vlb；绳子断开后，杆停止转动，由于惯性，小球将绕A点转动，若速度较小，小球将在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动，若速度较大，也有可能在垂直于平面ABC的竖直平面内绕A点做完整的圆周运动，故A、C错误，D正确；在最低点时：Fa mgm；解得：Famgm，则a绳中张力突然增大到 mgm，B错误答案：D23.接触与脱离的临界问题用一根细线一端系一小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥顶上，如图甲所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为，线的张力为FT，则FT随2变化的图象是图乙中的() 解析：设绳长为L，锥面与竖直方向夹角为，当0时，小
8、球静止，受重力mg、支持力FN和绳的拉力FT而平衡，FTmgcos 0，A错误；增大时，FT增大，FN减小，当FN0时，角速度为0，当0时，由牛顿第二定律得FTsin FNcos m2Lsin ，FTcos FNsin mg，解得FTm2Lsin2 mgcos ，当0时，小球离开锥面，绳与竖直方向夹角变大，设为，由牛顿第二定律得FTsin m2Lsin ，所以FTmL2，可知FT2图线的斜率变大，所以B正确，C、D错误答案：B热点三竖直面内圆周运动的临界问题 (师生共研)1轻绳和轻杆模型概述在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的
9、“过山车”等)，称为“轻绳模型”；二是有支撑(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)，称为“轻杆模型”2两类模型对比轻绳模型轻杆模型情景图示弹力特征弹力可能向下，也可能等于零弹力可能向下，可能向上，也可能等于零受力示意图力学方程mgFTmmgFNm临界特征FT0，即mgm，得vv0，即F向0，此时FNmgv的意义物体能否过最高点的临界点FN表现为拉力还是支持力的临界点典例2 一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是()A小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零B小球过最高点的最小速度是C小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速
10、度增大而增大D小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小解析：轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零，当小球过最高点的速度v时，杆所受的弹力等于零，A正确，B错误；若v，则杆在最高点对小球的弹力竖直向上，mgFm，随v增大，F减小，若v，则杆在最高点对小球的弹力竖直向下，mgFm，随v增大，F增大，故C、D均错误答案：A反思总结31.过山车问题乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是()A过山车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来B人在最高点时对座位不可能产生大小为mg的压力C人在最低点时对座位的压力
11、等于mgD人在最低点时对座位的压力大于mg解析：人过最高点时，FNmgm，当v时，不用保险带，人也不会掉下来，当v时，人在最高点时对座位产生的压力为mg，A、B均错误；人在最低点具有竖直向上的加速度，处于超重状态，故人此时对座位的压力大于mg，C错误，D正确答案：D32.绳模型问题如图所示，轻绳的一端固定在O点，另一端系一质量为m的小球(可视为质点)当小球在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动时，通过传感器测得轻绳拉力FT、轻绳与竖直线OP的夹角满足关系式FTabcos ，式中a、b为常数若不计空气阻力，则当地的重力加速度为()A.BC. D答案：D33. 杆模型问题如图所示，长为3L的轻杆可绕光
12、滑水平转轴O转动，在杆两端分别固定质量均为m的球A、B，球A距轴O的距离为L.现给系统一定能量，使杆和球在竖直平面内转动当球B运动到最高点时，水平转轴O对杆的作用力恰好为零，忽略空气阻力，已知重力加速度为g，则球B在最高点时，下列说法正确的是()A球B的速度为零B球B的速度为C球A的速度为D杆对球B的弹力方向竖直向下答案：B34.斜面上的轻杆模型分析如图所示，在倾角为30的光滑斜面上，有一根长为L0.8 m的轻杆，一端固定在O点，另一端系一质量为m0.2 kg的小球，沿斜面做圆周运动，取g10 m/s2，若要小球能通过最高点A，则小球在最低点B的最小速度是()A4 m/s B2 m/sC2 m
13、/s D2 m/s解析：小球受轻杆控制，在A点的最小速度为零，由2mgLsin mv可得vB4 m/s，A正确. 答案：A1. (多选)如图所示是网球比赛场地，已知底线到网的距离为L，运动员在网前截击，若他在球网正上方距地面H处，将球以水平速度沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上将球的运动视为平抛运动，重力加速度为g，则下列说法正确的是( ABD )A根据题目条件能求出球的水平速度vB根据题目条件能求出球从击出至落地所用时间tC球从击球点至落地点的位移等于LD球从击球点至落地点的位移与球的质量无关2. (2019河南滑县联考)螺旋测微器是常见的长度测量工具，如图所示，旋动旋钮一圈，旋钮同时会
14、随测微螺杆沿着旋转轴线方向前进或后退一个螺距的距离，已知旋钮上的可动刻度“0”刻线处A点的旋转半径为R5.0mm，内部螺纹的螺距x0.5mm，若匀速旋动旋钮，则A点绕轴线转动的线速度和沿轴线水平移动的速度大小之比为( C )A101 B101 C201 D201解析：旋动旋钮一圈，测微螺杆便沿着旋转轴线方向前进或后退一个螺距的距离，A点做圆周运动的线速度为：vA1，A点水平移动的速度为：vA2，带入数据得：201，选项C正确3. (2018安徽六安舒城中学仿真卷)如图所示，一倾斜的圆筒绕固定轴OO1以恒定的角速度转动，圆筒的半径r 1.5 m筒壁内有一小物体与圆筒始终保持相对静止，小物体与圆筒
15、间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，转动轴与水平面间的夹角为60 ，重力加速度g取10 m/s2，则的最小值是( C )A1 rad/sBrad/sC. rad/s D5 rad/s解析：受力分析如图，受重力G，弹力N，静摩擦力f.由牛顿第二定律可知，mgcos Nm2r，在平行于桶壁方向上，fmaxNmgsin .由以上式子，可得rad/s，则最小值是 rad/s，故C正确A组基础题1. 如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面
16、与水平面的夹角为30，g取10 m/s2.则的最大值是( C )A. rad/sB rad/sC1.0 rad/s D5 rad/s2. 一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两物体的质量分别为M与m(Mm)，它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的倍，两物体用一根长为l(lR)的轻绳连在一起，如图所示，若将甲物体放在转轴的位置上，甲、乙之间接线刚好沿半径方向拉直，要使两物体与转盘之间不发生相对滑动，则转盘旋转的角速度最大值不得超过( D )A. BC. D3. (2019河南中原名校考评)如图所示，半径分别为R、2R的两个水平圆盘，小圆盘转动时会带动大圆盘不打滑的一起转动质
17、量为m的小物块甲放置在大圆盘上距离转轴R处，质量为2m的小物块放置在小圆盘的边缘处它们与盘面间的动摩擦因数相同，当小圆盘以角速度转动时，两物块均相对圆盘静止，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是( B )A二者线速度大小相等B甲受到的摩擦力大小为m2RC在逐渐增大的过程中，甲先滑动D在逐渐增大但未相对滑动的过程中，物块所受摩擦力仍沿半径指向圆心解析：大圆盘和小圆盘边缘上的线速度大小相等，当小圆盘以角速度转动时，大圆盘以转动；两物块做圆周运动的半径相等，但是角速度不同，则线速度大小不等，A错误；根据vr知，大圆盘以转动，则小物块甲受到的摩擦力fm2Rm2R，B正确；根据mgm2r知，临
18、界角速度，两物块的半径相等，知临界角速度相等，在角速度逐渐增大的过程中，大小，可知物块乙先滑动，C错误；在角速度逐渐增大的过程中，甲乙的线速度逐渐增大，根据动能定理知，摩擦力对两物块均做正功，可知摩擦力一定有沿线速度方向的分力，所以物块受到的摩擦力的方向一定不是指向圆心，D错误4. (2018广东七校联考)如图所示，半径为R的圆轮在竖直面内绕O轴匀速转动，轮上A、B两点各粘有一小物体，当B点转至最低位置时，此时O、A、B、P四点在同一竖直线上，已知：OAAB，P是地面上的一点此时A、B两点处的小物体同时脱落，最终落到水平地面上同一点不计空气阻力，则OP的距离是( A )A.RBRC5R D7R
19、解析：设OP之间的距离为h，则A下落的高度为hR，A随圆轮运动的线速度为R，设A下落的时间为t1，水平位移为s，则有：在竖直方向上有：hRgt在水平方向上有： sRt1B下落的高度为hR，B随圆轮运动的线速度为R，设B下落的时间为t2，水平位移也为s，则有：在竖直方向上有：hRgt在水平方向上有：sRt2联立上式解得：hR选项A正确，B、C、D错误5(多选) 水平面上有倾角为、质量为M的斜面体，质量为m的小物块放在斜面上，现用一平行于斜面、大小恒定的拉力F作用于小物块上，绕小物块旋转一周，这个过程中斜面体和小物块始终保持静止状态下列说法中正确的是( AC )A小物块受到斜面的最大摩擦力为Fmg
20、sin B小物块受到斜面的最大摩擦力为Fmgsin C斜面体受到地面的最大摩擦力为FD斜面体受到地面的最大摩擦力为Fcos 6(多选) (2018山西省吕梁市期中)如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是( BC )A小球通过最高点时的最小速度vminB小球通过最高点时的最小速度vmin0C小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力D小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力解析：小球过最高点时可能受到外壁对其向下的压力或内壁对其向上的支持力，类似于轻杆端点的小球过最高点，则其通过最高点的最小速
21、度为零故A项错误，B项正确；小球在管道中运动时，向心力的方向要指向圆心；小球在水平线ab以下时，重力沿半径的分量背离圆心，则管壁必然提供指向圆心的支持力，只有外侧管壁才能提供此力，内侧管壁对小球一定无作用力，C项正确；同理在水平线ab以上时，重力沿半径的分量指向圆心，外侧管壁对小球可能没有作用力，D项错误7. 如图所示，水平屋顶高H5 m，围墙高h3.2 m，围墙到房子的水平距离L3 m，围墙外空地宽x10 m，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的空地上，g取10 m/s2.求： (1)小球离开屋顶时的速度v0的大小范围；(2)小球落在空地上的最小速度解析：(1)设小球恰好落到空地的右侧边缘时的
22、水平初速度为v01，则小球的水平位移：Lxv01t1小球的竖直位移：Hgt解以上两式得v01(Lx) 13 m/s设小球恰好越过围墙的边缘时的水平初速度为v02，则此过程中小球的水平位移：Lv02t2小球的竖直位移：Hhgt解以上两式得：v02L5 m/s小球离开屋顶时的速度大小为5 m/sv013 m/s.(2)小球落在空地上，下落高度一定，落地时的竖直分速度一定，当小球恰好越好围墙的边缘落在空地上时，落地速度最小竖直方向：v2gH又有：vmin解得：vmin5 m/s.答案：(1)5 m/sv013 m/s(2)5 m/sB组能力题8. (多选)如图所示，两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上
23、，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的轴转动，已知两物块质量相等，杆CD对物块A、B的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度(绳子恰好伸直但无弹力)，物块B到轴的距离为物块A到轴距离的两倍，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐慢慢增大，在从绳子处于自然长度到两物块A、B即将滑动的过程中，下列说法正确的是( BC )AA受到的静摩擦力一直增大BB受到的静摩擦力先增大后保持不变CA受到的静摩擦力先增大后减小再增大DB受到的合外力先增大后保持不变9. (多选)(2016浙江卷)如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R90 m的大圆弧和r40 m的小圆弧，直道与弯
24、道相切大、小圆弧圆心O、O距离L100 m赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动，要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g10 m/s2，3.14)，则赛车( AB )A在绕过小圆弧弯道后加速B在大圆弧弯道上的速率为45 m/sC在直道上的加速度大小为5.63 m/s2D通过小圆弧弯道的时间为5.58 s10如图为“快乐大冲关”节目中某个环节的示意图，参与游戏的选手会遇到一个人造山谷AOB，AO是高h3 m的竖直峭壁，OB是以A点为圆心的弧形坡，OAB60，B点右侧是一段水平跑
25、道选手可以自A点借助绳索降到O点后再爬上跑道，但身体素质好的选手会选择自A点直接跃上跑道选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g10 m/s2.(1)若选手以速度v0水平跳出后，能跳在水平跑道上，求v0的最小值；(2)若选手以速度v14 m/s水平跳出，求该选手在空中的运动时间解析：(1)运动员从A到B点做平抛运动，设刚好能到达B点，水平方向上hsin 60v0t竖直方向上hcos 60gt2计算可得v0 m/sv0的最小值为 m/s.(2)若选手以速度v14 m/s水平跳出，v1v0，选手会落到圆弧上，水平方向上xv1t1竖直方向上ygt根据几何关系x2y2h2计算可得t10.6 s.答案
26、：(1) m/s(2)0.6 s11. (2017河南开封模拟)如图所示，一块足够大的光滑平板放置在水平面上，能绕水平固定轴MN调节其与水平面所成的倾角板上一根长为l0.60 m的轻细绳，它的一端系住一质量为m的小球P，另一端固定在板上的O点当平板的倾角固定为时，先将轻绳平行于水平轴MN拉直，然后给小球一沿着平板并与轻绳垂直的初速度v03.0 m/s.若小球能保持在板面内做圆周运动，倾角的值应在什么范围内？(取重力加速度g10 m/s2)解析：小球在倾斜平板上运动时受到绳子拉力、平板弹力、重力在垂直平板方向上合力为0，重力在沿平板方向的分量为mgsin 小球在最高点时，由绳子的拉力和重力沿平板方向的分力的合力提供向心力，有FTmgsin 研究小球从释放到最高点的过程，根据动能定理有mglsin mvmv若恰好能通过最高点，则绳子拉力FT0联立解得sin ，解得30故的范围为030.答案：03014
