1、专题 09 圆周运动模型(4)模型演练11.“六十甲子”是古人发明用来计时的方法，也是一种表示自然界五行之气循环流转的直观表示法。某学校物理兴趣小组用空心透明粗糙塑料管制作了如图所示的竖直“60”造型。两个“ O”字型圆的半径均为 R。让一质量为 m、直径略小于管径的小球从入口 A 处无初速度放入， B、 C、 D 是轨道上的三点， E 为出口，其高度低于入口 A。已知 BC 是“ O”字型的一条竖直方向的直径， D 点是左侧“ O”字型上的一点，与圆心等高， A 比 C 高 R，当地的重力加速度为 g，不计一切阻力，则小球在整个运动过程中A.如果是光滑小球，在 D 点处，塑料管的左侧对小球的
2、压力为 4mgB.如果是光滑小球，小球一定能从 E 点射出C.如果是不光滑小球，且能到达 C 点，此处塑料管对小球的作用力小于 mgD.如果是不光滑小球，小球不可能停在 B 点【答案】支持力恰好等于小球的重力，C 错误；若小球运动过程中机械能损失较快，小球不能上升到 C 点时，则小球在 B 点两侧经过多次往复运动，将相对于 B 的机械能全部克服摩擦力做功消耗完时，将停于 B 点，D 错误。12.某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，其中“2008” ，四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固定在竖直平面内（所有数字均由圆或半圆组成，圆半径比细管的内径大得多） ，底端与水平地面相切。弹射装置将一
3、个小物体（可视为质点）以 v=5m/s 的水平初速度由 a 点弹出，从 b 点进入轨道，依次经过“8002 ”后从 p 点水平抛出。小物体与地面 ab 段间的动摩擦因数 =0.3 ，不计其它机械能损失。已知 ab 段长 L=1 . 5m，数字“0”的半径 R=0.2m，小物体质量 m=0 .0lkg ，g=10m/s 2 。求：( l )小物体从 p 点抛出后的水平射程。( 2 )小物体经过数字“0”的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向。【答案】 （）0.8m（）0.3N ，方向竖直向下【解析】( l ）设小物体运动到 p 点时的速度大小为 v，对小物体由 a 运动到 p 过程应用动能定理
4、得-mgL-2Rmg=Error!mv 2-Error!mv02 小物体自 p 点做平抛运动，设运动时间为：t，水平射程为：s 则2R=Error!gt2 s=vt 联立式，代人数据解得s=0.8m F=0.3N 方向竖直向下(III)半球面模型如图 5 所示,小球从光滑半球面顶端 E 开始运动.a 小球只在重力和球面弹力作用下运动时,不可能沿球面从顶端运动底端.b 小球从顶端由静止开始下滑,离开球面时的位置 H 满足 .c 小球在顶端 E 时的速度 V 越大,离球面时的位置 H 越靠近顶端, 角越小即小球能沿球下滑的距离越短.d 当小球在球面顶端的速度 时,小球直接从 E 点离开球面做平抛运
5、动.例 8.如图所示，从光滑的 1/4 圆弧槽的最高点滑下的小滑块，滑出槽口时速度方向为水平方向，槽口与一个半球顶点相切，半球底面为水平，若要使小物块滑出槽口后不沿半球面下滑，已知圆弧轨道的半径为 R1，半球的半径为 R2，则 R1和 R2应满足的关系是（ ）【答案】【解析】为使小物块不沿半球面下滑，则它在球顶端的速度 ，由机械能守恒定律可得： ，联立解得 D 为正确选项 模型演练13.半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上如图 1 所示，顶部有一个物体 A，今给 A 一个水平初速度 v0，则 A 将 ( )A沿球面下滑至 M 点B沿球面下滑至某一点 N，便离开球面做斜下抛运动 C按半径大于
6、R 的新圆弧轨道做圆周运动D立即离开半圆球做平抛运动【答案】【解析】由于的初速度 ，物体在点时与半球面之间的压力满足，即 ，故物体在点时立即离开半球面，物体离开半球面后只在重力作用下做平抛运动，正确14.皮带传送机传送矿石的速度 v 大小恒定,在轮缘 A 处矿石和皮带恰好分离,如图所示,则通过 A 点的半径 OA 和竖直方向 OB 的夹角 为 ( )A. B.C. D.【答案】(iii)天体的圆周运动天体在圆形轨道上的运行(I)向心力中心天体对运行天体的万有引力全部提供向心力(II)各物理量与轨道半径的关系a 线速度:b 角速度:c 周期:d 向心加速度:e 动能:f 势能:与高度有关,质量相
7、同情况下高度越高势能越大.g 总能量:与高度有关,质量相同情况下高度越高总能量越大.注:天体的运行速度是相对于中心天体中心的速度,而非相对中心天体表面的速度.(III)运动时间的计算式中 是运行天体在圆形轨道上从一位置到另一位置转过的圆心角度.(IV)地球万有引力作用下的三种典型的圆周运动的对比分析同步卫星 近地卫星 赤道上的物体向心力的来源万有引力 万有引力（近似等于重力）万有引力与支持力的合力轨道半径 r(km)由得r=h+R=36000+6.436006.4km向心力F(N)由运转周期 T 24 小时（是地球卫星最小的环绕周期）24 小时线速度大小(km/s)由 由可得(此速度是地球卫星
8、最大的环绕速度)角速度加速度特点 轨道平面一定、运行方向一定、轨道半径一定、运行速度一定、运转周期(角速度)一定、向心加速度一定运动速度最快周期最短 是一个周期为24h 半径为 R 的圆周运动的物体应用 气象卫星 神州系列飞船 物体本身重要参数（地球自转参数 T=24h243600s, 地球半径 R6.410 3km, g=9.8m/s2）例 9.为了探测 X 星球，载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心，半径为 r1圆轨道上运动，周期为 T1,总质量为 m1。随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为 r2的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为 m2，则AX 星球的质量为BX 星球表面的重力
9、加速度为C登陆舱在 r1与 r2的轨道上运动时的速度大小之比是D登陆舱在半径为 r2的轨道上做圆周运动的周期为【答案】【解析】:由 可得 X 星的质量 ,再由 可得 X 星表面的重力加速度 ,A 正确 B 错误.由 知、 ,故 、 ,C 错误 D 正确.例 10.宇宙飞船以周期为 T 绕地球作圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示。已知地球的半径为 R，地球质量为 M，引力常量为 G，地球自转周期为 。太阳光可看作平行光，宇航员在 A 点测出的张角为 ，则A. 飞船绕地球运动的线速度为B. 一天内飞船经历“日全食”的次数为 T/T0C. 飞船每次“日全食”过程的时间为D.
10、 飞船周期为【答案】【解析】飞船绕地球运动的线速度为 由几何关系知飞船每次“日全食”过程的时间为飞船转过 角所需的时间，即一天内飞船经历“日全食”的次数为 T0/T例 11.如图所示，极地卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极(轨道可视为圆轨道)。若已知个极地卫星从北纬 30的正上方，按图示方向第一次运行至南纬 60正上方时所用时间为 ，地球半径为 (地球可看做球体)，地球表面的重力加速度为 ，引力常量为 。由以上条件可以求出A卫星运行的周期 B卫星距地面的高度C卫星的质量 D地球的质量【答案】【解析】此过程中卫星绕地心转过 ，经历时间为四分之一周期，即t，正确由 有 ，D 正确再由 可得 ，正
11、确卫星的质量在方程中被约去而不能得到，错误例 12.同步卫星离地心距离为 r,运行速率为 V1,加速度为 a1,地球赤道上物体随地球自转的向心加速度为 a2,第一宇宙速度为 V2,地球的半径为 R,则下列比值正确的是Aa 1/a2=r/R Ba 1/a2=(r/R)2 CDV 1/V2=r/R【答案】【解析】:设地球质量为 M,同步卫星的质量为 m1,地球赤道上物体的质量为 m2,近地卫星的质量为 m3.根据向心加速度与角速度的关系有: 、 ,因 ,故a1/a2=r/R,A 正确.由万有引力定律有 , ,故 V1/V2=(R/r)1/2,C 正确.模型演练15.计划发射一颗距离地面高度为地球半
12、径 R0的圆形轨道地球卫星,卫星轨道平面与赤道片面重合，已知地球表面重力加速度为 g.（1）求出卫星绕地心运动周期 T（2）设地球自转周期 T0,该卫星绕地旋转方向与地球自转方向相同，则在赤道上一点的人能连续看到该卫星的时间是多少？【答案】 （） （）【解析】 （1）从 B1到 B2时间为 t则有 16.据报道，天文学家近日发现了一颗距地球 40 光年的“超级地球” ，名为“55Cancri e”该行星绕母星（中心天体）运行的周期约为地球绕太阳运行周期的 ，母星的体积约为太阳的 60 倍。假设母星与太阳密度相同， “55 Cancri e”与地球做匀速圆周运动，则“55 Cancri e”与地
13、球的A.轨道半径之比约为 B. 轨道半径之比约为 2C 向心加速度之比约为 D.向心加速度之比约为【答案】【解析】:母星与太阳密度相等,而体积约为 60 倍,说明母星的质量是太阳质量的 60 倍.由有 代入数据可知 A 错误 B 正确.由可得加速度之比为,CD 均错误 .17.甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均视为圆轨道，以下判断正确的是（ ）A甲在运行时能经过地球北极的正上方B甲的周期大于乙的周期C甲的向心加速度小于乙的向心加速度D乙的速度大于第一宇宙速度【答案】的高度大，轨道半径大，故甲卫星的线速度小、周期大，加速度小；根据 知，第一宇宙
14、速度是近地圆轨道的环绕速度，也是圆轨道运行的最大速度，故 B C 正确，D 错误18.卫星电话信号需要通地球同步卫星传送。如果你与同学在地面上用卫星电话通话，则从你发出信号至对方接收到信号所需最短时间最接近于（可能用到的数据：月球绕地球运动的轨道半径约为 3.8105m/s，运行周期约为 27 天，地球半径约为 6400km，无线电信号的传播速度为 ）A0.1s B0.25s C0.5s D1s【答案】【解析】根据有开普勒第三定律 ，已知月球和同步卫星的周期比为 27：1，则月球和同步卫星的轨道半径比为 9：1同步卫星的轨道半径r 3.81054.210 4km所以接收到信号的最短时间 正确1
15、9.a 是地球赤道上一栋建筑，b 是在赤道平面内作匀速圆周运动、距地面 9.6 m 的卫星，c 是地球同步卫星，某一时刻 b、c 刚好位于 a 的正上方（如图甲所示） ，经48h，a、b、c 的大致位置是图乙中的（取地球半径 R=6.4 m，地球表面重力加速度g=10m/ ， = ）【答案】【解析】:b、c 都是地球的卫星，共同遵循地球对它们的万有引力提供向心力，是可以比较的。a、c 是在同一平面内有相同角速度转动的，也是可以比较的。在某时刻 c 在 a 的正上方， 则以后永远在正上方。对 b 有 ， ，化简得s在 48 小时内 b 转动的圈数为 所以 B 正确。.某颗同步卫星正下方的地球表面
16、上有一观察者，用天文望远镜观察到被太阳光照射的该同步卫星。试问秋分这一天（太阳光直射赤道）从日落时起经过多长时间，观察者恰好看不见该卫星。已知地球半径为 R，地球表面处重力加速度为 g，地球自转周期为 T。不考虑大气对光的折射【答案】由图得： 又由图： 21.我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行。为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化。卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。设地球和月球的质量分别为 M 和 m，地球和月球的半径分别为 R 和 R1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为 r 和 r1，月球绕地球转动的周期为 T。假定在卫星绕月运行的一
17、个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用 M、 m、 R、 R1、 r、 r1和 T 表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响） 。【答案】 【解析】如图， O 和 O/ 分别表示地球和月球的中心。在卫星轨道平面上， A 是地月连心线OO/ 与地月球面的公切线 ACD 的交点， D、 C 和 B 分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星圆轨道的交点。根据对称性，过 A 点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于 E点。卫星在 运动时发出的信号被遮挡。设探月卫星的质量为 m0，万有引力常量为 G ，根据万有引力定律有G m r G m
18、0 r1 式中， T1是探月卫星绕月球转动的周期。由式得设卫星的微波信号被遮挡的时间为 t，则由于卫星绕月做匀速圆周运动，应有式中， CO / A ， CO / B。由几何关系得rcos R R1 r1cos R1 由式得t (V)多星系统a“双星“系统如图 6 所示,两颗质量不同的天体在相互间万有引力作用下绕同一点 O 做匀速圆周运动的模型:任一时刻两天体连线过 O 点;两天体的轨道平面相同,绕行方向相同;两天体的角速度(周期)相同;两天体的轨道半径与质量成反比;两天体的线速度与质量成反比;两天体的动能与质量成反比.b“三星“系统三颗质量相等的天体在相互间万有引力作用下绕同上点做匀速圆周运动
19、的模型,有如下两种情况:模型一:如图 7 甲所示,一颗星静止于中心位置,另两颗星在同一圆周上运动,两运动的天体时刻位于同一直径两端.模型二:如图 7 乙所示,三颗星位于同一圆周的对称位置上,每颗星所需的向心力由其余两颗星对其万有引力共同提供.c“四星“系统如图 8 所示,目前在资料中出现的“四星“系统模型为四个质量相同的天体在相互间万有引力作用下在同一圆周上运动的模型.此模型中四颗星分别位于一正方形的四个顶点上,每颗星所需向心力由其余三颗对其万有引力来共同提供.例 13.月球与地球质量之比约为 1：80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点 O 做匀
20、速圆周运动。据此观点，可知月球与地球绕 O 点运动的线速度大小之比约为A 1：6400 B 1：80C 80：1 D 6400：1【答案】【解析】月球与地球做匀速圆周运动的圆心在两质点的连线上，所以它们的角速度相等，其向心力是相互作用的万有引力，大小相等，即 m2rM2R，所以mrMR，即 mvMv，所以 vvMm801，选项 C 正确例.宇宙中两个星球可以组成双星，它们只在相互间的万有引力作用下，绕球心连线的某点做周期相同的匀速圆周运动根据宇宙大爆炸理论，双星间的距离在不断缓慢增加，设双星仍做匀速圆周运动，则下列说法错误的是( )A双星相互间的万有引力减小B双星做圆周运动的角速度增大C双星做
21、圆周运动的周期增大D双星做圆周运动的半径增大【答案】模型演练22.如图为哈勃望远镜拍摄的银河系中被科学家成为“罗盘座 T 星”系统的照片，最新观测标明“罗盘座 T 星”距离太阳系只有 3260 光年，比天文学家此前认为的距离要近得多。该系统是由一颗白矮星和它的类日伴星组成的双星系统，由于白矮星不停地吸收由类日伴星抛出的物质致使其质量不断增加，科学家预计这颗白矮星在不到 1000 万年的时间内会完全“爆炸” ，从而变成一颗超新星，并同时放出大量的 射线，这些 射线到达地球后会对地球的臭氧层造成毁灭性的破坏。现假设类日伴星所释放的物质被白矮星全部吸收，并且两星间的距离在一段时间内不变，两星球的总质
22、量不变，则下列说法正确的是A、两星间的万有引力不变 B、两星的运动周期不变C、类日伴星的轨道半径增大 D、白矮星的轨道半径增大【答案】【解析】;图片下面的中间的亮点即为白矮星，上面的部分为类日伴星（中央的最亮的为类似太阳的天体） ，组成的双星系统的周期 T 相同，设白矮星与类日伴星的质量分别为 M1和M2，圆周运动的半径分别为 R1和 R2，由万有引力定律：Error! M1Error! M2Error!，可得M1R1 M2R2(式)， GM1Error!， GM2Error!，后两式相加可得 G(M1 M2)T2=4 2L3（式）。由式可知白矮星与类日伴星的总质量不变，则周期 T 不变，B
23、正确；由式可知双星运行半径与质量成反比，类日伴星的质量逐渐减小，故其轨道半径增大，C 正确 D 错误；依题意两星间距离在一段时间内不变，两星的质量总和不变而两星质量的乘积必定变化，由万有引力定律可知，万有引力必定变化，A 错误。 23.现根据对某一双星系统的光学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是 M，两者相距 L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动。万有引力常量为 G。求：（1）试计算该双星系统的运动周期 T。（2）若实验上观测到运动周期为 T，且 ，为了解释两者的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的物质暗物质，作为一种简化的模型，我们假定在以这两个星体连
24、线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，而不考虑其他暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。【答案】 （） （）【解析】 （1）由万有引力提供向心力有： （2）设暗物的密度为 ，质量为 m，则由万有引力提供向心力有： 由又 代入上式解得：24.如右图，质量分别为 m 和 M 的两个星球 A 和 B 在引力作用下都绕 O 点做匀速圆周运动，星球 A 和 B 两者中心之间的距离为 L。已知 A、B 的中心和 O 三点始终共线，A 和 B 分别在O 的两侧。引力常数为 G。（1）求两星球做圆周运动的周期：（2）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述
25、星球 A 和 B，月球绕其轨道中心运行的周期为 。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为 。已知地球和月球的质量分别为 和。求 与 两者平方之比。 （结果保留 3 位小数）【答案】 (1)2 (2)1.012 【解析】 (1)设两个星球 A 和 B 做匀速圆周运动的轨道半径分别为 r 和 R，相互作用的引力大小为 F，运行周期为 T.根据万有引力定律有FG 由匀速圆周运动的规律得Fm 2rFM 2R由题意得 LRr联立式得 T2 .(2)在地月系统中，由于地月系统旋转所围绕的中心 O 不在地心，月球做圆周运动的周期可由式得出T12 T22 由式得 21代入题给数据得 21.012.25.天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为 T，两颗恒星之间的距离为 r，试推算这个双星系统的总质量。 （引力常量为 G）【答案】【解析】设两颗恒星的质量分别为 m1、 m2，做圆周运动的半径分别为 r1、 r2，角速度分别为 w1,w2。根据题意有w1=w2 r1+r2=r 根据万有引力定律和牛顿定律，有G G 联立以上各式解得根据解速度与周期的关系知联立式解得
