1、2019高考数学压轴题命题区间探究与突破专题第四篇 立 体 几 何专题02 从空间到平面，助力破解立体几何问题一方法综述来源:Z|xx|k.Com在立体几何中，判定和证明空间的线线、线面以及面面之间的位置关系(主要是平行与垂直的位置关系)，计算空间图形中的几何量(主要是角与距离)是两类基本问题正确揭示空间图形与平面图形的联系，并有效地实施空间图形与平面图形的转换是分析和解决这两类问题的关键立体几何压轴题多以选择题、填空题形式出现，往往与不等式、导数、三角函数等相结合，具有一定的综合性.下面通过例题说明应对这类问题的方法与技巧.二解题策略类型一 翻折、折叠问题【例1】【2018云南昆明高三二模】
2、如图，等腰所在平面为， ， ，点， 分别为， 的中点，点为的中点.平面内经过点的直线将分成两部分，把点所在的部分沿直线翻折，使点到达点（平面）.若点在平面内的射影恰好在翻折前的线段上，则线段的长度的取值范围是_【例2】【2018黑龙江大庆高三二模】如图，在矩形中，,是的中点，将沿向上折起，使平面平面 ()求证：; ()求二面角的大小.【指点迷津】1.折叠问题最重要的是找到折叠之前与折叠之后不变量，这是两个图形的桥梁，再结合新图形的新特征处理.2.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法
3、向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角.【举一反三】1.【黑龙江省哈尔滨市第六中学2018届押题卷（二）】在中， 分别为三边中点，将分别沿向上折起，使重合，记为，则三棱锥的外接球面积的最小值为_.2.【浙江省诸暨市2018届5月适应】如图，矩形中，是线段（不含点）上一动点，把沿折起得到，使得平面平面，分别记，与平面所成角为，平面与平面所成锐角为，则（ ）A B C D 类型二 截面问题【例3】【黑龙江省哈尔滨市第六中学2018届押题卷（一）】如图, 在正方体中, , 过直线的平面平面,则平面截该正方体所得截面的面积
4、为（ ）来源:A B C D 来源:【例4】【湖北省武汉市2018届高中毕业生四月调研测试】在四面体中，则四面体体积最大时，它的外接球半径_【指点迷津】 (1)要善于将空间问题转化为平面问题：这一步要求我们具备较强的空间想象能力，对几何体的结构特征要牢牢抓住，如求解与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径等.通过作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再
5、利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解这样才能进一步将空间问题转化为平面内的问题；(2)转化后如何算？因为已经是平面内的问题，那么方法就比较多了，如三角函数法、均值不等式、坐标法，甚至导数都是可以考虑使用的工具【举一反三】1.【2018年理新课标I卷】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 2.【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底】如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过，三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连结和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为A B C
6、 D 类型三 角的计算问题【例5】【福建省莆田第九中学2018届高考模拟】过正方体的顶点的平面与直线垂直，且平面与平面的交线为直线，平面与平面的交线为直线，则直线与直线所成角的大小为（ ）A B C D 【例6】【浙江省余姚中学2018届模拟卷（二）】如图，已知平面，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，是平面上的一动点，且直线，与平面所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是（ ）来源:ZXXKA B C D 【指点迷津】 （1）解答例5的关键是找到和直线垂直的平面，再找到平面和平面的交线，平面和平面的交线.（2） 二面角的平面角及其求法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、
7、向量法等，依据题目选择方法求出结果（3）求异面直线所成角的步骤:一平移,将两条异面直线平移成相交直线二定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角三求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角四结论【举一反三】1.【四川省宜宾市第四中学2018届高考适应】平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，则m，n所成角的正切值为（ ）A B C D 2.【河北省衡水金卷2018年调研卷（二）】如图，将正方形沿着边抬起到一定位置得到正方形，并使得平面与平面所成的二面角为，为正方形内一条直线，则直线与所成角的取值范围为_. 三强化训练1.【湖南省郴州市二中2018届高三第六次月考】已知三棱锥的底面是
8、直角三角形，平面，是的中点若此三棱锥的体积为，则异面直线与所成角的大小为A 45 B 90 C 60 D 302.【湖南省岳阳市第一中学2019届高三上第二次质检】如图，在长方体中，而对角线上存在一点P，使得取得最小值，则此最小值为（ ）A 2 B 3 C D 3.【江苏省南通市2018届最后一卷】已知边长为2的等边三角形中，、分别为、边上的点，且，将沿折成，使平面平面，则几何体的体积的最大值为_ 4.【2016浙江】如图，在ABC中，AB=BC=2，ABC=120.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 .5【河南省郑州外国语学校
9、2018届高三调研】在菱形中， ， ，将沿折起到的位置，若二面角的大小为，三棱锥的外接球心为，则三棱锥的外接球的表面积为_6【北京市2019届一轮复习】如图，在矩形中，为边的中点将沿翻折，得到四棱锥设线段的中点为，在翻折过程中，有下列三个命题： 总有平面； 三棱锥体积的最大值为；来源:Z&X&X&K 存在某个位置，使与所成的角为其中正确的命题是_（写出所有正确命题的序号）7【湖南省张家界市2018届三模】已知三棱锥满足底面，是边长为的等边三角形，是线段上一点，且.球为三棱锥的外接球，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为，则球的表面积为_8.【衡水金卷】四省2018届第三次大联考】已知直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）各顶点都在同一球面上，且，若此球的表面积等于，则_9【山西省榆社中学2018届诊断性模拟】如图，在矩形中，点分别在上， ，沿直线将翻折成，使二面角为直角，点分别为线段上，沿直线将四边形向上折起，使与重合，则_. 10【山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺（五）】如图：边长为的菱形，将沿折起到图中的位置，使得二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积等于_ 7
