1、 专题二 压轴填空题 第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题【名师综述】以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题，与函数图象相结合问题、最值问题，探索性问题等. 对探索、开放、存在型问题的考查，探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程下高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何的中，不过并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中，这需要具有较好的基础知识和敏锐的洞察力;对折叠、展开问题的考查，图形的折叠与展开问题（三视图问题可看作是特殊的图形变换）蕴涵了“二维三维
2、二维” 的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辩，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立几解答题的重要题型.类型一 几何体在变化过程中体积的最值问题 典例1 （2018山东湖北联考）四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为_【答案】【解析】如图所示，四棱锥中，可得： 平面平面平面，过作于，则平面，故，在中， ，设，则有， ,又 ，则，四棱锥的体积取值范围为.来源:ZXXK【名师指点】求椎体的体积关键是确定高，本题中认真体会线面垂直和面面垂直的转化，通过设角参数，巧妙地将四棱锥的高和SC建立了联系，进而利用三角函数知
3、识确定范围.【举一反三】（2018宿州质检）如图所示，垂直于所在的平面，是的直径，是上的一点，分别是点在，上的投影，当三棱锥的体积最大时，与底面所成角的余弦值是（ ）A B C D 【答案】D【解析】设与底面所成的角为，则，来源:Z.xx.k.Com由题意可得且，则有平面，则，结合可知平面，据此有，则，由平面可知，结合可得平面，则. 在中，则， ，学-由基本不等式可知，当，即时三棱锥的体积最大，此时.类型二 几何体的外接球或者内切球问题典例2 【2017课标1】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面SCA平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积
4、为9，则球O的表面积为_答案【名师指点】确定外接球半径问题一般有下列方法: 将所求几何体通过补体，转化为长方体、直棱锥等熟悉几何体的外接球问题.; 球心是到多面体各顶点距离相等的点，可利用过三角形外心，且垂直于该面的垂线的交点确定; 构造特殊模型来确定外接球半径.【举一反三【2018四川省联考】设点是半径为2的球的球面上的三个不同的点，且， ， ，则三棱锥的体积为_【答案】【解析】作ABC的外接圆圆，球心为，由题意可得： 平面，设ABC外接圆半径为，由正弦定理有，取中点，由可得： ，-网结合可知直线平面，则，结合可得： ，等腰三角形中， ，则， ，由勾股定理可得： ，由三棱锥体积公式可得： .
5、类型三 立体几何与函数的结合典例3.如图，在棱长为1的正方体的对角线上取一点，以为球心，为半径作一个球，设，记该球面与正方体表面的交线的长度和为，则函数的图像最有可能的是（ ）【答案】B【解析】试题分析：球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：（1）当；（2）当；（3）当.（1）当时，以为球心，为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线弧长为，且为函数的最大值；（2）当时，以为球心，为半径作一个球，根据图形的相似，该球面与正方体表面的交线弧长为（1）中的一半；（3）当时，以为球心，为半径作一个球，其弧长为，且为函数的最大值，对照选项可得B正确.学-【名师指点】球面与正方体的表面都相交，我
6、们考虑三个特殊情形：（1）当；（2）当；（3）当.其中（1）（3）两种情形所得弧长相等且为函数的最大值，根据图形的相似，（2）中的弧长为（1）中弧长的一半，对照选项，即可得出答案.本题考查数形结合的数学思想方法，考查特殊值、小题小作的小题技巧.【举一反三】（2018邢台模拟）在中， ， ， ，点分别在边上，且，沿着将折起至的位置，使得平面平面，其中点为点翻折后对应的点，则当四棱锥的体积取得最大值时， 的长为_.【答案】【解析】由勾股定理易得： ，设，则，而AEDABC，故，四棱锥的体积：，求导可得： ，当时， 单调递增；当时， 单调递减；故当时， 取得最大值.【精选名校模拟】1（2019运城模
7、拟）如图1，边长为2的正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，将ADE, CDF, BEF折起，使A，C，B三点重合于G，所得三棱锥GDEF的俯视图如图2，则该三棱锥正视图的面积为A B C D 【答案】B【解析】设正视图的高为h，由题意可得三棱锥点G处的三条棱两两垂直，则，解得.则正视图的面积：.2. （2018淮北模拟）在平面四边形中，且，现将沿着对角线翻折成，则在折起至转到平面内的过程中，直线与平面所成角最大时的正弦值为（ ）A B C D 【答案】D3、【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研测试】如图，铜质六角螺帽毛胚是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知正六棱柱的底
8、面边长、高都为，圆柱的底面积为.若将该螺帽熔化后铸成一个高为的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为_ .（不计损耗）学+【答案】【解析】设正三棱柱的底面边长为 ，则 4、（2018乌鲁木齐三模）圆锥底面半径为，高为，是一条母线，点是底面圆周上一点，则点到所在直线的距离的最大值是_【答案】3【解析】圆锥底面半径为，高为2，是一条母线，点是底面圆周上一点，S在底面的射影为；，过的轴截面如图：，过作于，则，在底面圆周，选择，使得，则到的距离的最大值为3.5【安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测】如图，已知平面四边形满足，将沿对角线翻折，使平面平面，则四面体外接球的体积为_【答案】【解析】由
9、题意可知，ABD是等边三角形，找到ABD的中心，作平面，由题意可知，外接球的球心在直线上，由等边三角形的性质，有，利用面面垂直的性质可知： 平面，则外接球的球心在直线上，结合可知点为外接球球心，外接球半径为ABD的外接圆圆心，设外接球半径为，则，外接球的体积.6（2019安徽六校联考）在ABC中，已知, ,，D是边AC上的一点，将ABC沿BD折叠，得到三棱锥A-BCD，若该三棱锥的顶点A在底面BCD的射影M在线段BC上，设BM=x，则x的取值范围是（ ）A B C D 【答案】C【解析】7已知的三边长分别为，是边上的点，是平面外一点给出下列四个命题：若平面，且是边中点，则有；若，平面，则面积的
10、最小值为；若，平面，则三棱锥的外接球体积为；若，在平面上的射影是内切圆的圆心，则三棱锥的体积为；其中正确命题的序号是 （把你认为正确命题的序号都填上）来源:【答案】【解析】的三边长分别为，平面，且是边中点，正确；当平面，面积又因为作为垂线段最短为，面积的最小值为，不正确；若，平面，三棱锥的外接球可以看做为棱长的长方体，体积为故不正确的外接圆的圆心为，面，故正确8【四川省乐山四校2019届第三学期半期联考】如图，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点.有下列四个命题点是的垂心 平面二面角的正切值为点到平面的距离为则正确的命题有_.【答案】【解析】由平面可得，由平面可得，且，则平面，同理可知，
11、则点是的垂心，说法(1)正确；很明显，结合面面平行的判断定理可知：平面平面，结合平面可知平面，说法(2)正确；如图所示，连结，交于点，连结，由正方形的性质和等边三角形的性质可知，则为二面角的平面角，直角三角形中， ，说法(3)正确，由射影定理可知平面， 平面，结合对称性可知点为靠近点的线段的一个三等分点，由相似性可知：点到平面的距离为，说法(4)错误.综上可得：正确的命题有.学-9已知矩形的长，宽，将其沿对角线折起，得到四面体，如图所示， 给出下列结论：四面体体积的最大值为；四面体外接球的表面积恒为定值；若分别为棱的中点，则恒有且； 当二面角的大小为时，棱的长为；当二面角为直二面角时，直线所成
12、角的余弦值为其中正确的结论有_(请写出所有正确结论的序号)【答案】【解析】由题意，中，四面体体积最大值为两个面互相垂直，四面体体积的最大值，所以不正确；中，三棱锥外接球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为，所以是正确的. 中，若分别为棱的中点，连接，则，根据等腰三角形三线合一得到，连接，可得，所以，所以是正确的；中，由二面角的大小为时，棱的长为，在直角中，作，则，同理直角中，则,在平面内，过作，连接，易得四边形为矩形，则，又，即为二面角的平面角，即，则，由平面，得到，即有，来源:ZXXK则，所以是错误的，中，当二面角为直二面角时，以为原点所在直线分别为轴建立坐标系，则由向量的数量积可得到直线所
13、成的角的余弦值为，所以是正确的；综上可知正确命题的序号为. 10（2018山东名校联考）如图所示，在等腰直角三角形中，为直角，沿把面折起，使面面，当四棱锥的体积最大时，的长为_【答案】【解析】设, 三角形为等腰直角三角形，,，即,又平面平面，平面,则四棱锥的高为，四边形的面积为，四棱锥的体积为，设，当时，为增函数，当时，为减函数，所以当时，取得最大值，故答案为.11【江苏省盐城市、南京市2019届高三年级第一次模拟考试】如图，平面，分别为的中点，则三棱锥的体积为_【答案】【解析】作于D，则，平面，12【湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测】已知球的半径为4，球面被互相垂直的两个平面所
14、截，得到的两个圆的公共弦长为，若球心到这两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为_【答案】6【解析】设两圆的圆心为，球心为，公共弦为，中点为，因为球心到这两个平面的距离相等，则为正方形，两圆半径相等，设两圆半径为，又，.这两个圆的半径之和为6.13【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三上学期期末考试】如图，直三棱柱中,， ，外接球的球心为，点是侧棱上的一个动点.有下列判断： 直线与直线是异面直线；一定不垂直； 三棱锥的体积为定值； 的最小值为.其中正确的序号序号是_.学-【答案】【解析】如图，直线AC经过平面BCC1B1内的点C，而直线C1E在平面BCC1B1内不过C，直线AC与直线C1E
15、是异面直线，故正确；当E与B重合时，AB1A1B，而C1B1A1B，A1B平面AB1C1，则A1E垂直AC1，故错误；由题意知，直三棱柱ABCA1B1C1的外接球的球心为O是AC1 与A1C 的交点，则AA1O的面积为定值，由BB1平面AA1C1C，E到平面AA1O的距离为定值，三棱锥EAA1O的体积为定值，故正确；设BEx，则B1E2x，AE+EC1由其几何意义，即平面内动点（x，1）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值知，其最小值为2，故正确故答案为：14【2019广东高三年级第一学期期末质量检测】已知正方体的棱长为，交于，是棱的中点，则直线被正方体外接球所截得的线段长度为_。【答案】来源:
