1、 专题二 压轴填空题 第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题【名师综述】以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题,与函数图象相结合问题、最值问题,探索性问题等. 对探索、开放、存在型问题的考查,探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性,对学生的能力要求较高,有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性,是新课程下高考命题改革的重要方向之一;开放性问题,一般将平面几何问题类比推广到立体几何的中,不过并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中,这需要具有较好的基础知识和敏锐的洞察力;对折叠、展开问题的考查,图形的折叠与展开问题(三视图问题可看作是特殊的图形变换)蕴涵了“二维三维
2、二维” 的维数升降变化,求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辩,考查空间想象能力和分析辨别能力,是立几解答题的重要题型.类型一 几何体在变化过程中体积的最值问题 典例1 (2018山东湖北联考)四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面是以为斜边的等腰直角三角形,若,则四棱锥的体积取值范围为_【答案】【解析】如图所示,四棱锥中,可得: 平面平面平面,过作于,则平面,故,在中, ,设,则有, ,又 ,则,四棱锥的体积取值范围为.来源:ZXXK【名师指点】求椎体的体积关键是确定高,本题中认真体会线面垂直和面面垂直的转化,通过设角参数,巧妙地将四棱锥的高和SC建立了联系,进而利用三角函数知
3、识确定范围.【举一反三】(2018宿州质检)如图所示,垂直于所在的平面,是的直径,是上的一点,分别是点在,上的投影,当三棱锥的体积最大时,与底面所成角的余弦值是( )A B C D 【答案】D【解析】设与底面所成的角为,则,来源:Z.xx.k.Com由题意可得且,则有平面,则,结合可知平面,据此有,则,由平面可知,结合可得平面,则. 在中,则, ,学-由基本不等式可知,当,即时三棱锥的体积最大,此时.类型二 几何体的外接球或者内切球问题典例2 【2017课标1】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径若平面SCA平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积
4、为9,则球O的表面积为_答案【名师指点】确定外接球半径问题一般有下列方法: 将所求几何体通过补体,转化为长方体、直棱锥等熟悉几何体的外接球问题.; 球心是到多面体各顶点距离相等的点,可利用过三角形外心,且垂直于该面的垂线的交点确定; 构造特殊模型来确定外接球半径.【举一反三【2018四川省联考】设点是半径为2的球的球面上的三个不同的点,且, , ,则三棱锥的体积为_【答案】【解析】作ABC的外接圆圆,球心为,由题意可得: 平面,设ABC外接圆半径为,由正弦定理有,取中点,由可得: ,-网结合可知直线平面,则,结合可得: ,等腰三角形中, ,则, ,由勾股定理可得: ,由三棱锥体积公式可得: .
5、类型三 立体几何与函数的结合典例3.如图,在棱长为1的正方体的对角线上取一点,以为球心,为半径作一个球,设,记该球面与正方体表面的交线的长度和为,则函数的图像最有可能的是( )【答案】B【解析】试题分析:球面与正方体的表面都相交,我们考虑三个特殊情形:(1)当;(2)当;(3)当.(1)当时,以为球心,为半径作一个球,该球面与正方体表面的交线弧长为,且为函数的最大值;(2)当时,以为球心,为半径作一个球,根据图形的相似,该球面与正方体表面的交线弧长为(1)中的一半;(3)当时,以为球心,为半径作一个球,其弧长为,且为函数的最大值,对照选项可得B正确.学-【名师指点】球面与正方体的表面都相交,我
6、们考虑三个特殊情形:(1)当;(2)当;(3)当.其中(1)(3)两种情形所得弧长相等且为函数的最大值,根据图形的相似,(2)中的弧长为(1)中弧长的一半,对照选项,即可得出答案.本题考查数形结合的数学思想方法,考查特殊值、小题小作的小题技巧.【举一反三】(2018邢台模拟)在中, , , ,点分别在边上,且,沿着将折起至的位置,使得平面平面,其中点为点翻折后对应的点,则当四棱锥的体积取得最大值时, 的长为_.【答案】【解析】由勾股定理易得: ,设,则,而AEDABC,故,四棱锥的体积:,求导可得: ,当时, 单调递增;当时, 单调递减;故当时, 取得最大值.【精选名校模拟】1(2019运城模
7、拟)如图1,边长为2的正方形ABCD中,E、F分别是AB、BC的中点,将ADE, CDF, BEF折起,使A,C,B三点重合于G,所得三棱锥GDEF的俯视图如图2,则该三棱锥正视图的面积为A B C D 【答案】B【解析】设正视图的高为h,由题意可得三棱锥点G处的三条棱两两垂直,则,解得.则正视图的面积:.2. (2018淮北模拟)在平面四边形中,且,现将沿着对角线翻折成,则在折起至转到平面内的过程中,直线与平面所成角最大时的正弦值为( )A B C D 【答案】D3、【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研测试】如图,铜质六角螺帽毛胚是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知正六棱柱的底
8、面边长、高都为,圆柱的底面积为.若将该螺帽熔化后铸成一个高为的正三棱柱零件,则该正三棱柱的底面边长为_ .(不计损耗)学+【答案】【解析】设正三棱柱的底面边长为 ,则 4、(2018乌鲁木齐三模)圆锥底面半径为,高为,是一条母线,点是底面圆周上一点,则点到所在直线的距离的最大值是_【答案】3【解析】圆锥底面半径为,高为2,是一条母线,点是底面圆周上一点,S在底面的射影为;,过的轴截面如图:,过作于,则,在底面圆周,选择,使得,则到的距离的最大值为3.5【安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测】如图,已知平面四边形满足,将沿对角线翻折,使平面平面,则四面体外接球的体积为_【答案】【解析】由
9、题意可知,ABD是等边三角形,找到ABD的中心,作平面,由题意可知,外接球的球心在直线上,由等边三角形的性质,有,利用面面垂直的性质可知: 平面,则外接球的球心在直线上,结合可知点为外接球球心,外接球半径为ABD的外接圆圆心,设外接球半径为,则,外接球的体积.6(2019安徽六校联考)在ABC中,已知, ,,D是边AC上的一点,将ABC沿BD折叠,得到三棱锥A-BCD,若该三棱锥的顶点A在底面BCD的射影M在线段BC上,设BM=x,则x的取值范围是( )A B C D 【答案】C【解析】7已知的三边长分别为,是边上的点,是平面外一点给出下列四个命题:若平面,且是边中点,则有;若,平面,则面积的
10、最小值为;若,平面,则三棱锥的外接球体积为;若,在平面上的射影是内切圆的圆心,则三棱锥的体积为;其中正确命题的序号是 (把你认为正确命题的序号都填上)来源:【答案】【解析】的三边长分别为,平面,且是边中点,正确;当平面,面积又因为作为垂线段最短为,面积的最小值为,不正确;若,平面,三棱锥的外接球可以看做为棱长的长方体,体积为故不正确的外接圆的圆心为,面,故正确8【四川省乐山四校2019届第三学期半期联考】如图,正方体的棱长为,过点作平面的垂线,垂足为点.有下列四个命题点是的垂心 平面二面角的正切值为点到平面的距离为则正确的命题有_.【答案】【解析】由平面可得,由平面可得,且,则平面,同理可知,
11、则点是的垂心,说法(1)正确;很明显,结合面面平行的判断定理可知:平面平面,结合平面可知平面,说法(2)正确;如图所示,连结,交于点,连结,由正方形的性质和等边三角形的性质可知,则为二面角的平面角,直角三角形中, ,说法(3)正确,由射影定理可知平面, 平面,结合对称性可知点为靠近点的线段的一个三等分点,由相似性可知:点到平面的距离为,说法(4)错误.综上可得:正确的命题有.学-9已知矩形的长,宽,将其沿对角线折起,得到四面体,如图所示, 给出下列结论:四面体体积的最大值为;四面体外接球的表面积恒为定值;若分别为棱的中点,则恒有且; 当二面角的大小为时,棱的长为;当二面角为直二面角时,直线所成
12、角的余弦值为其中正确的结论有_(请写出所有正确结论的序号)【答案】【解析】由题意,中,四面体体积最大值为两个面互相垂直,四面体体积的最大值,所以不正确;中,三棱锥外接球的半径为,所以三棱锥外接球的表面积为,所以是正确的. 中,若分别为棱的中点,连接,则,根据等腰三角形三线合一得到,连接,可得,所以,所以是正确的;中,由二面角的大小为时,棱的长为,在直角中,作,则,同理直角中,则,在平面内,过作,连接,易得四边形为矩形,则,又,即为二面角的平面角,即,则,由平面,得到,即有,来源:ZXXK则,所以是错误的,中,当二面角为直二面角时,以为原点所在直线分别为轴建立坐标系,则由向量的数量积可得到直线所
13、成的角的余弦值为,所以是正确的;综上可知正确命题的序号为. 10(2018山东名校联考)如图所示,在等腰直角三角形中,为直角,沿把面折起,使面面,当四棱锥的体积最大时,的长为_【答案】【解析】设, 三角形为等腰直角三角形,,,即,又平面平面,平面,则四棱锥的高为,四边形的面积为,四棱锥的体积为,设,当时,为增函数,当时,为减函数,所以当时,取得最大值,故答案为.11【江苏省盐城市、南京市2019届高三年级第一次模拟考试】如图,平面,分别为的中点,则三棱锥的体积为_【答案】【解析】作于D,则,平面,12【湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测】已知球的半径为4,球面被互相垂直的两个平面所
14、截,得到的两个圆的公共弦长为,若球心到这两个平面的距离相等,则这两个圆的半径之和为_【答案】6【解析】设两圆的圆心为,球心为,公共弦为,中点为,因为球心到这两个平面的距离相等,则为正方形,两圆半径相等,设两圆半径为,又,.这两个圆的半径之和为6.13【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三上学期期末考试】如图,直三棱柱中,, ,外接球的球心为,点是侧棱上的一个动点.有下列判断: 直线与直线是异面直线;一定不垂直; 三棱锥的体积为定值; 的最小值为.其中正确的序号序号是_.学-【答案】【解析】如图,直线AC经过平面BCC1B1内的点C,而直线C1E在平面BCC1B1内不过C,直线AC与直线C1E
15、是异面直线,故正确;当E与B重合时,AB1A1B,而C1B1A1B,A1B平面AB1C1,则A1E垂直AC1,故错误;由题意知,直三棱柱ABCA1B1C1的外接球的球心为O是AC1 与A1C 的交点,则AA1O的面积为定值,由BB1平面AA1C1C,E到平面AA1O的距离为定值,三棱锥EAA1O的体积为定值,故正确;设BEx,则B1E2x,AE+EC1由其几何意义,即平面内动点(x,1)与两定点(0,0),(2,0)距离和的最小值知,其最小值为2,故正确故答案为:14【2019广东高三年级第一学期期末质量检测】已知正方体的棱长为,交于,是棱的中点,则直线被正方体外接球所截得的线段长度为_。【答案】来源: