1、2017-2018学年湖南师大附中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共11个小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）AP1P2P3BP2P3P1CP1P3P2DP1P2P32（5分）（1）某学校为了了解2011年高考数学学科的考试成绩，在高考后对1200名学生进行抽样调查，其中文科400名考生，理科600名考生，艺术和体育类考生共200名，从中抽取120名考生作为样本（2）从10名家长
2、中抽取3名参加座谈会简单随机抽样法系统抽样法分层抽样法问题与方法配对正确的是（）A（1），（2）B（1），（2）C（1），（2）D（1），（2）3（5分）若样本1+x1，1+x2，1+x3，1+xn的平均数是10，方差为2，则对于样本2+x1，2+x2，2+xn，下列结论正确的是（）A平均数为10，方差为2B平均数为11，方差为3C平均数为11，方差为2D平均数为12，方差为44（5分）从随机编号为0001，0002，1500的1500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本进行质量检测，已知样本中编号最小的两个编号分别为0018，0068，则样本中最大的编号应该是（）A1 468B1 478C1
3、 488D1 4985（5分）某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用如图的条形图表示根据条形图可得这50名学生这一天每人的课外阅读时间的中位数为（）A0.5小时B0.9小时C1.0小时D0.75小时6（5分）某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间（分钟），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为八组，分别是0，5），5，10），35，40，作出的频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（）ABCD7（5分）已知变量x，y之间的线性回归方程为0.7x+10.3，且变量x，y之间的一组相关数据
4、如表所示，则下列说法错误的是（）x681012y6m32A变量x，y之间呈现负相关关系Bm4C可以预测，当x11时，y2.6D由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）8（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）ABCD9（5分）某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责每次献爱心活动均需该组织4位同学参加假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（）ABCD10（
5、5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S88，则判断框内应填入的条件是（）Ak4Bk5Ck6Dk711（5分）周易历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）A18B17C16D15二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分12（5分）将13化成二进制数为 &
6、nbsp; 13（5分）用秦九韶算法求f（x）3x3+x3，当x3时的值v2 14（5分）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）三、解答题：本大题共3个小题，共30分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（8分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段40，50），50，60），90，100后得到如图所示的频率分布直方图观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）统计方法中
7、，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的数学平均分16（10分）袋内装有6个球，这些琮依次被编号为l、2、3、6，设编号为n的球重n26n+12（单位：克），这些球等可能地从袋里取出（不受重量、编号的影响）（1）从袋中任意取出一个球，求其重量大于其编号的概率；（2）如果不放回的任意取出2个球，求它们重量相等的概率17（12分）已知关于x的一元二次方程x22（a2）b2+160（1）若a、b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；（2）若a2，4，b0，6，求方程没有实根的概率第卷18（6分）定义在R上的奇函数f（x）满足条件f（1+x）f（1x），当x0，1时，
8、f（x）x，若函数g（x）|f（x）|ae|x|在区间2018，2018上有4032个零点，则实数a的取值范围是（）A（0，1）B（e，e3）C（e，e2）D（1，e3）(本小题满分6分)19（6分）已知方程x2+0有两个不等实根a和b，那么过点A（a，a2），B（b，b2）的直线与圆x2+y21的位置关系是 (本小题满分38分)20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，ADBC，AD2BC2，PC2，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E是PD的中点（I）求证：平面EAC平面PCD；（II）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值21（13分）已知a0，函数f（
9、x）2asin（2x+）+2a+b，当x0，时，5f（x）1（1）求常数a，b的值；（2）设g（x）f（x+）且lg g（x）0，求g（x）的单调区间22（13分）已知aR，函数f（x）log2（+a）（1）当a5时，解不等式f（x）0；（2）若关于x的方程f（x）log2（a4）x+2a50的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围（3）设a0，若对任意t，1，函数f（x）在区间t，t+1上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围2017-2018学年湖南师大附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共11个小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
10、符合题目要求的1（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）AP1P2P3BP2P3P1CP1P3P2DP1P2P3【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即P1P2P3故选：D【点评】本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础2（5分）（1）某学校为了了解2011年高考数学学科的考试成绩，在高考后对1200名学生进行抽样调查，其
11、中文科400名考生，理科600名考生，艺术和体育类考生共200名，从中抽取120名考生作为样本（2）从10名家长中抽取3名参加座谈会简单随机抽样法系统抽样法分层抽样法问题与方法配对正确的是（）A（1），（2）B（1），（2）C（1），（2）D（1），（2）【分析】根据（1）中对1200名学生进行抽样调查，其中文科400名考生，理科600名考生，艺术和体育类考生共200名，从中抽取120名考生作为样本时，要采用分层抽样的方法，（2）中从10名家长中抽取3名参加座谈会，总体容量和样本容量均不大，要采用简单随机抽样的方法，进而得到答案【解答】解：（1）中由于1200名学生各个学生层次之间存在明显差别
12、故（1）要采用分层抽样的方法（2）中由于总体数目不多，而样本容量不大故（2）要采用简单随机抽样故问题和方法配对正确的是：（1）（2）故选：A【点评】本题考查的知识点是收集数据的方法，其中熟练掌握各种抽样方法的适用范围，是解答本题的关键3（5分）若样本1+x1，1+x2，1+x3，1+xn的平均数是10，方差为2，则对于样本2+x1，2+x2，2+xn，下列结论正确的是（）A平均数为10，方差为2B平均数为11，方差为3C平均数为11，方差为2D平均数为12，方差为4【分析】根据平均数和方差的定义和性质进行求解即可【解答】解：样本1+x1，1+x2，1+x3，1+xn的平均数是10，方差为2，1
13、+x1+1+x2+1+x3+1+xn10n，即x1+x2+x3+xn10nn9n，方差S2（1+x110）2+（1+x210）2+（1+xn10）2（x19）2+（x29）2+（xn9）22，则（2+x1+2+x2+2+xn）11，样本2+x1，2+x2，2+xn的方差S2（2+x111）2+（2+x211）2+（2+xn11）2（x19）2+（x29）2+（xn9）22，故选：C【点评】本题主要考查样本数据的方差和平均数的计算，根据相应的公式进行计算是解决本题的关键4（5分）从随机编号为0001，0002，1500的1500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本进行质量检测，已知样本中编号最小
14、的两个编号分别为0018，0068，则样本中最大的编号应该是（）A1 468B1 478C1 488D1 498【分析】先求出样本间隔为681850，从而共抽取15005030，由此能求出样本中最大的编号【解答】解：样本中编号最小的两个编号分别为0018，0068，则样本间隔为681850，共抽取15005030，样本中最大的编号为18+50291468故选：A【点评】本题考查样本中最大的编号的求法，考查系统抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题5（5分）某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用如图的
15、条形图表示根据条形图可得这50名学生这一天每人的课外阅读时间的中位数为（）A0.5小时B0.9小时C1.0小时D0.75小时【分析】根据样本的条形图和中位数的定义能求出中位数【解答】解：根据样本的条形图和中位数的定义可知中位数为：0.75故选：D【点评】本题考查中位数的求法，考查样本的条形图和中位数的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题6（5分）某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间（分钟），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为八组，分别是0，5），5，10），35，40，作出的频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（）A
16、BCD【分析】由频率分布直方图可得，25，30），30，35）的频率相同，频数为3，即可得出结论【解答】解：由频率分布直方图可得，25，30），30，35）的频率相同，频数为3，故选：B【点评】本题考查频率分布直方图、茎叶图，考查学生分析解决问题的能力，比较基础7（5分）已知变量x，y之间的线性回归方程为0.7x+10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）x681012y6m32A变量x，y之间呈现负相关关系Bm4C可以预测，当x11时，y2.6D由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）【分析】求出，代入回归方程解出，列方程解出m【解答】解：9，0.79+10.3
17、4，解得m5故B选项错误故选：B【点评】本题考察了线性回归方程经过样本中心的特点，属于基础题8（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）ABCD【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S，则对应概率P，故选：B【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键9（5分）某学校10位同学组成
18、的志愿者组织分别由李老师和张老师负责每次献爱心活动均需该组织4位同学参加假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（）ABCD【分析】设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P（A）P（B），p（A+B）P（A）+P（B）P（A）P（B），能求出甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率【解答】解：设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P（A），P（B），甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的
19、概率为：p（A+B）P（A）+P（B）P（A）P（B）故选：C【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意任意事件概率加法公式的合理运用10（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S88，则判断框内应填入的条件是（）Ak4Bk5Ck6Dk7【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表： K S 是否继续循环循环前 1 0第一
20、圈 2 2 是第二圈 3 7 是第三圈 4 18 是第四圈 5 41 是第五圈 6 88 否故退出循环的条件应为k5？故选：B【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的
21、条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误11（5分）周易历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）A18B17C16D15【分析】由二进制转化为十进制的方法，我们将各数位上的数字乘以其权重累加
22、后，即可得到答案【解答】解：由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符合“”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为120+021+022+023+124+02517故选：B【点评】本题考查的知识点是进制之间的转换，有理数的混合运算，解本题的关键是二进制与十进制间的转换关系，属于基础题二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分12（5分）将13化成二进制数为1101【分析】利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案【解答】解：13261623032111201故13（10）1101（2）故答案为：1101（2）【
23、点评】本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键，属于基本知识的考查13（5分）用秦九韶算法求f（x）3x3+x3，当x3时的值v228【分析】f（x）（3x）x+1）x3，即可得出【解答】解：f（x）（3x）x+1）x3，当x3时，v03，v1339，v293+128故答案为：28【点评】本题考查秦九韶算法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14（5分）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）【分析】先求出三个同学选择的所求种数，然后求出有且仅有两
24、人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可【解答】解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有33327种有且仅有两人选择的项目完全相同有18种其中表示3个同学中选2个同学选择的项目，表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有2中选择故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是故答案为：【点评】本题主要考查了古典概型及其概率计算公式，解题的关键求出有且仅有两人选择的项目完全相同的个数，属于基础题三、解答题：本大题共3个小题，共30分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（8分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其
25、数学成绩（均为整数）分成六段40，50），50，60），90，100后得到如图所示的频率分布直方图观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的数学平均分【分析】（1）频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，而频率的和等于1，可求出分数在70，80）内的频率，即可求出矩形的高，画出图象即可（2）同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相差再求出它们的和即可求出本次考试的平均分【解答】解：（1）分数在70，80）内的频率为：1（0.05+0.1+
26、0.15+0.15+0.25）0.30 ，补全后的直方图如图：（2）估计本次考试的数学平均分为450.1+550.15+650.15+750.3+850.25+950.0571【点评】本题主要考查了频率及频率分布直方图，以及平均数的有关问题，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识16（10分）袋内装有6个球，这些琮依次被编号为l、2、3、6，设编号为n的球重n26n+12（单位：克），这些球等可能地从袋里取出（不受重量、编号的影响）（1）从袋中任意取出一个球，求其重量大于其编号的概率；（2）如果不放回的任意取出2个球，求它们重量相等的概率【分析】（1）由题意可得n26n
27、+12n，解得n3，或 n4，故有n1，2，5，6，由此求得重量大于其编号的概率（2）如果不放回的任意取出2个球，这两个球的编号可能的情况共15种，设编号为m的球与编号为n的球重量相等，可得m+n6，共有2种情况，由此求得所求事件的概率【解答】解：（1）由编号为n的球其重量大于其编号，则有n26n+12n，解得n3，或 n4，故n1，2，5，6从袋中任意取出一个球，求其重量大于其编号的概率为 （2）如果不放回的任意取出2个球，这两个球的编号可能的情况为：1、2； 1、3； 1、4；1、5；1、6；2、3； 2、4； 2、5； 2、6； 3、4； 3、5； 3、6； 4、5； 4、6； &nbs
28、p;5、6，共15种情况设编号为m的球与编号为n的球重量相等，则有m26m+12n26n+12，即 （mn）（m+n6）0，结合题意可得m+n60，即m+n6故满足m+n6的情况为1、5； 2、4，共两种情形故所求事件的概率为 【点评】本题主要考查排列、组合及简单计数问题，古典概型，属于中档题17（12分）已知关于x的一元二次方程x22（a2）b2+160（1）若a、b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；（2）若a2，4，b0，6，求方程没有实根的概率【分析】（1）本题是一个古典概型，用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件，基本事件（a，b）的总数有36个，满足条件
29、的事件是二次方程x22（a2）xb2+160有两正根，根据实根分布得到关系式，即可得到概率（2）本题是一个几何概型，试验的全部结果构成区域（a，b）|2a6，0b4，满足条件的事件为：B（a，b）|2a6，0b4，（a2）2+b216，求出两者的面积，即可得到概率【解答】解：设“方程有两个正根”的事件为A，（1）由题意知本题是一个古典概型用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件依题意知，基本事件（a，b）的总数有36个，二次方程x22（a2）xb2+160有两正根，等价于，即，则事件A包含的基本事件为（6，1）、（6，2）、（6，3）、（5，3）共4个所求的概率为P（A）；（2）由题
30、意知本题是一个几何概型，试验的全部结果构成区域（a，b）|2a4，0b6，其面积为S（）12满足条件的事件为：B（a，b）|2a4，0b6，（a2）2+b216，如图中阴影部分所示，其面积为S（B）+所求的概率P（B）【点评】本题考查古典概型和几何概型，几何概型和古典概型是高中必修中学习的，高考时常以选择和填空出现，有时文科会考这种类型的解答题目第卷18（6分）定义在R上的奇函数f（x）满足条件f（1+x）f（1x），当x0，1时，f（x）x，若函数g（x）|f（x）|ae|x|在区间2018，2018上有4032个零点，则实数a的取值范围是（）A（0，1）B（e，e3）C（e，e2）D（1，
31、e3）【分析】根据满足条件f（1+x）f（1x）且为奇函数，可周期为4，当x0，1时，f（x）x，根据m（x）|f（x）|与n（x）ae|x|图象，判断在一个周期内的交点情况即可求解【解答】解：f（x）满足条件f（1+x）f（1x）且为奇函数，函数f（x）f（2x）f（x）f（x）f（2+x）f（x+4）f（x）f（x）周期为4，当x0，1时，f（x）x，根据m（x）|f（x）|与n（x）ae|x|图象，函数g（x）|f（x）|ae|x|在区间2018，2018上有4032个零点，即m（x）|f（x）|与n（x）ae|x|在0，4有且仅有两个交点，即eae3故选：B【点评】本题考查了函数的性质
32、的应用及不等式的求解，周期的求解，属于中档题(本小题满分6分)19（6分）已知方程x2+0有两个不等实根a和b，那么过点A（a，a2），B（b，b2）的直线与圆x2+y21的位置关系是相切【分析】由a与b为一元二次方程的两个不等的实根，利用韦达定理表示出a+b和ab，然后根据点A和B的坐标求出直线AB的斜率，利用中点坐标公式求出线段AB的中点坐标，根据中点坐标和求出的斜率写出直线AB的方程，根据圆的方程找出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线AB的距离d，化简后把表示出的a+b和ab代入求出值，与圆的半径比较，进而得到直线AB与圆的位置关系【解答】解：由a和b为方程x2+0的
33、两个不等的实根，得到a+b，ab，又A（a，a2）、B（b，b2），得到直线AB的斜率ka+b，线段AB的中点坐标为（，）所以直线lAB：y（b+a）（x）+由圆x2+y21，得到圆心坐标为（0，0），半径r1，则圆心到直线AB的距离d1r所以直线AB与圆的位置关系是相切故答案为：相切【点评】本题考查学生灵活运用韦达定理及中点坐标公式化简求值，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握直线与圆位置关系的判断方法，是一道中档题(本小题满分38分)20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，ADBC，AD2BC2，PC2，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E是PD的中点（I）求证
34、：平面EAC平面PCD；（II）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值【分析】（I）推导出PCAC，ACCD，从而AC平面PCD，由此能证明平面EAC平面PCD （II）解法1：作PHEC，则PH平面EAC，从而PA与平面EAC所成角为PAH，由此能出直线PA与平面EAC所成角的正弦值解法2：由PC底面ABCD，建立空间直角坐标系，利用向量法能出直线PA与平面EAC所成角的正弦值【解答】证明：（I）PC底面ABCD，AC底面ABCD，PCAC，由题意可知，ADBC，且AD2BC2ABC是等腰直角三角形，AC，CD，（2分）CD2+AC2AD2，即ACCD，（3分）又PCCDC，（4分）AC平面P
35、CD，（5分）AC平面EAC，平面EAC平面PCD （6分）解：（II）解法1：由（1）得平面EAC平面PCD，平面EAC平面PCDEC，作PHEC，则PH平面EAC，（8分）PA与平面EAC所成角为PAH，（9分）在RtPAC中，PA，在RtPHC中，sinPCE，PHPCsin，（10分）sin，直线PA与平面EAC所成角的正弦值为（12分）解法2：PC底面ABCD，则建立如图所示的直角坐标系，（7分）则P（0，0，2），（8分）设平面EAC的法向量为（x，y，z），则，即，（9分）令z1，解得（10分）记直线PA与平面EAC所成角为，则sin，所以直线PA与平面EAC所成角的正弦值为（1
36、2分）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题21（13分）已知a0，函数f（x）2asin（2x+）+2a+b，当x0，时，5f（x）1（1）求常数a，b的值；（2）设g（x）f（x+）且lg g（x）0，求g（x）的单调区间【分析】（1）当x0，时，求出内层函数范围，求解f（x）的值域，根据5f（x）1即可求解a，b的值；（2）由g（x）f（x+）求解g（x）的解析式，lg g（x）0，即lg g（x）lg1即可求g（x
37、）的单调区间【解答】解：f（x）2asin（2x+）+2a+b，（1）当x0，时，2x+，sin（2x+）12a2asin（2x+）a则bf（x）3a+b5f（x）1，解得：a2，b5得f（x）4sin（2x+）1（2）g（x）f（x+），即g（x）4sin2（x）+14sin（2x+）14sin（2x+）1lg g（x）0，即lg g（x）lg1可得：4sin（2x+）11sin（2x+）可得：2x+，kZ求g（x）的单调增区间2x+，kZ解得：kxg（x）的单调增区间为（k，kZ求g（x）的单调减区间2x+，解得：x单调减区间为，），kZ【点评】本题考查了三角函数的图象即性质的运用和化简能
38、力，解析式的确定着重考查了对数不等式的求法，讨论三角函数的范围，再结合三角函数的性质求解单调区间，属于中档题22（13分）已知aR，函数f（x）log2（+a）（1）当a5时，解不等式f（x）0；（2）若关于x的方程f（x）log2（a4）x+2a50的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围（3）设a0，若对任意t，1，函数f（x）在区间t，t+1上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围【分析】（1）当a5时，解导数不等式即可（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a的取值范围进行求解即可（3）根据条件得到f（t）f（t+1）1，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的
39、单调性进行求解即可【解答】解：（1）当a5时，f（x）log2（+5），由f（x）0；得log2（+5）0，即+51，则4，则+40，即x0或x，即不等式的解集为x|x0或x（2）由f（x）log2（a4）x+2a50得log2（+a）log2（a4）x+2a50即log2（+a）log2（a4）x+2a5，即+a（a4）x+2a50，则（a4）x2+（a5）x10，即（x+1）（a4）x10，当a4时，方程的解为x1，代入，成立当a3时，方程的解为x1，代入，成立当a4且a3时，方程的解为x1或x，若x1是方程的解，则+aa10，即a1，若x是方程的解，则+a2a40，即a2，则要使方程有且仅有一个解，则1a2综上，若方程f（x）log2（a4）x+2a50的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是1a2，或a3或a4（3）函数f（x）在区间t，t+1上单调递减，由题意得f（t）f（t+1）1，即log2（+a）log2（+a）1，即+a2（+a），即a设1tr，则0r，当r0时，0，当0r时，yr+在（0，）上递减，r+，实数a的取值范围是a【点评】本题主要考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键综合性较强，难度较大
