1、专题一 压轴填空题第三关 以多参数为背景的填空题【名师综述】基本不等式是C级要求,是高中数学的重要知识,高考对基本不等式的考查,主要以多元最值为背景的题型进行考查等价代换或转换是解题方法,也是解题难点类型一 代入转换例1【2019江苏南师大附中第一学期期中考】己知实数x,y,z0,4,如果x2,y2,z2是公差为2的等差数列,则的最小值为_【答案】42【解析】由于数列是递增的等差数列,故,且,故, ,而函数在上为增函数,故当时取得最大值为,所以学-【名师点睛】本小题主要考查等差数列的性质,考查含有两个绝对值符号式子的化简,考查函数求最小值的方法,属于难题【举一反三】已知xy1,y0,x0,则的
2、最小值为_【答案】类型二 放缩转换例2若不等式对任意都成立,则实数的最小值为_【答案】100【解析】由正弦定理得 因此,即的最小值为100 【名师点睛】利用三角形中三边不等关系放缩消元是解题关键【举一反三】已知,则的最小值为_【答案】类型三 分离转换例3已知且对任意的恒成立,则的最小值为_【答案】1【解析】设,则由得: ,当当时,当时,所以当时,有唯一极值,也是最小值,所以由对任意的恒成立,得,可得,因为 ,故成立,令(),当时,当时,所以当时,所以,故填例4已知正数x,y满足,那么y的最大值为【答案】 【解析】【名师点睛】运用分离变量法,将目标转化为求函数值域及解对应不等式【举一反三】已知正
3、实数a,b,c满足+=1,+=1,则实数c的取值范围是【答案】 【解析】,因为,所以 学-类型四 设参转换例5【2019安徽A10联盟】若两个锐角满足,则的最大值是_【答案】【解析】,令,则,即,当且仅当时取等号,的最大值时故填:【名师点睛】本题考查了基本不等式的应用,涉及了两角和的正切公式等知识,应用了换元转化法求解;利用基本不等式求最值时,必须同时满足三个条件“一正,二定,三相等”要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误来源:例6若实数x,y满足2x2xy
4、y21,则的最大值为_【答案】 【名师点睛】引进参数不是增加元,而是巧妙消元【举一反三】设实数x,y满足y21,则3x22xy的最小值是_【答案】 46来源:【解析】由y21,得1,假设ym,yn,即mn1,则xmn,y所以3x22xy4m22n26mn26mn46(当且仅当4m22n2时取等号)类型五 构造函数转换例7【2019辽宁沈阳模拟】已知对满足的任意正实数x,y,都有,则实数a的取值范围为_【答案】(,【解析】因为正实数x,y满足,而4xy(x+y)2,代入原式得(x+y)24(x+y)50,解得x+y5或x+y1(舍去),由x2+2xy+y2axay+10可得a(x+y)(x+y)
5、2+1,即ax+y+,令t=x+y5,+),则问题转化为at+,因为函数y=t+在5,+)递增,所以ymin=5+=,所以a,故答案为:(,【名师点睛】本题考查基本不等式,考查对勾函数的单调性质,求得x+y5是关键,考查综合分析与运算的能力,属于中档题例8若实数x,y满足x24xy4y24x2y24,则当x2y取得最大值时,的值为_【答案】 2【解析】解法1:因为实数x,y满足x24xy4y24x2y24,所以(x2y)24x2y28xy4,即(x2y)24(xy1)28,所以(x2y)284(xy1)2,所以当(xy1)20时,即xy1时,x2y取得最大值,此时x,y,所以2解法2:因为实数
6、x,y满足x24xy4y24x2y24,所以(x2y)24x2y24,令x2y2cos,xysin,则(x2y)2(x2y)28xy4cos28sin,所以(x2y)24sin28sin4,所以当sin1时,(x2y)2取得最大值,此时xy1,x2y0,所以2 【名师点睛】从式子结构出发寻找函数关系,关键熟练掌握代数关系【举一反三】【2019河北廊坊一联】设正数满足,则当取得最大值时,的最大值为_【答案】4【解析】试题分析:利用基本不等式和x25xy+9y2z=0,求出z的最小值,确定取得最小值的x,y,z之间的关系,将中的x,z代换成y表示,转化成了关于的二次函数,利用二次函数的性质,即可求
7、得的最大值试题解析:x25xy+9y2z=0,z=x25xy+9y2,x,y,z均为正实数,当且仅当x2=9y2,即x=3y,此时z=9y2时取“=”, , ,故最大值为4类型六 利用判别式转换例9【2019天津蓟州期末联考】已知,二次函数 的值域为,则的最小值为_【答案】1【解析】由题意,二次函数的值域为,所以,且,因为,则,所以,当且仅当,即时等号成立,即的最小值为1【名师点睛】本题主要考查了二次函数的性质,以及利用基本不等式求最值的应用,其中解答中熟练应用二次函数的性质,合理应用基本不等式求最值,解答中保证“一正、二定、三相等”是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力例10若正实
8、数x,y满足(2xy1)2(5y2)(y2),则x的最大值为_【答案】 1 【名师点睛】 本题是函数与方程思想的典型运用【举一反三】在平面直角坐标系xOy中,设点A(1,0),B(0,1),C(a,b),D(c,d),若不等式2(m2)m()()对任意实数a,b,c,d都成立,则实数m的最大值是_【答案】 1类型七 利用线性规划转换例11设变量x,y满足约束条件,目标函数的最大值为,则当(,)时,+的最小值为_【答案】【解析】作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示由得,数形结合可知当直线经过点A时,直线的纵截距最大,此时z最大由,解得,即A(0,3)将A(0,3)的坐标代入目标函数,得
9、,所以,所以,所以(当且仅当时等号成立),故 的最小值例12已知x、yR,满足2y4x,x1,则的最大值为_【答案】【解析】由题易知,令t,则由线性规划知t,1,从而t2, 【名师点睛】线性规划是解决有关最值问题的一个有效的方法【举一反三】已知正数a,b,c满足:5c3ab4ca,cln bacln c,则的取值范围是_【答案】e,7而表示可行域内的点P(x,y)与原点连线l的斜率,由得,故,由图知当直线l过点A时取得最大值,最大值为设过原点与yex相切的直线为ykx,切点为(x0,y0),由yex知kex0,x01,切点坐标为(1,e),切线方程为yex,显然此时取得最小值,所以的取值范围为
10、e,7【精选名校模拟】1【2019江苏徐州期中考试】已知正实数 满足,则 的最小值为_【答案】18【解析】因为2+,又1,所以,即,当且仅当,即时,取等号2【2019江苏七校联盟期中联考】若正实数a,b满足,则的最小值为_来源:【答案】【解析】正实数a,b满足,=2=2,ab2,当且仅当=即a=且b=2时取等号,故答案为:23【2019江苏南通海安中学期中考】若直线过点,则的最小值为_【答案】19【解析】直线过点可得,=(=10+ 当且仅当a=3,b=6时取等号的最小值为19故答案为194【2019江苏盐城南京一模】若正实数、满足,则的最大值为_【答案】【解析】由,解得,5【2018高考江苏卷
11、】在中,角所对的边分别为,的平分线交于点D,且,则的最小值为_【答案】9【解析】分析:先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值详解:由题意可知,由角平分线性质和三角形面积公式得,化简得,因此当且仅当时取等号,则的最小值为6【2019江苏明德实验学校二模】已知圆与圆相外切,则的最大值为_【答案】【解析】由已知,圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4的圆心为C1(a,-2),半径r1=2圆C2:(x+b)2+(y+2)2=1的圆心为C2(-b,-2),半径r2=1圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+b)2+(y+2)2=1相外切,|C1C2|=r1+r2=3,要使ab取
12、得最大值,则a,b同号,不妨取a0,b0,则a+b=3,由基本不等式,得,故答案为7【2019江苏清江中学二模】在中,设角的对边分别是若成等差数列,则的最小值为_【答案】【解析】由题得,所以,所以因为所以 故答案为:8【2018江苏南通最后一卷】在斜ABC中,若,则的最大值是_【答案】【解析】在斜中,来源:Zxxk.Com,又,所以,与同号,又在中,所以,当且仅当时“=”成立,的最大值为,故答案为9【2019安徽江淮名校12月联考】已知正数,满足,则的最大值为_【答案】【解析】令,则,所以 ,当且仅当可以取到最大值,此时故答案为:10已知不等式对任意正实数恒成立,则正实数的最小值为_【答案】1
13、【解析】因为对任意正实数恒成立,又因为,所以,解得,所以正实数的最小值为111【2019天津蓟州期末联考】已知,且,若恒成立,则实数的取值范围是_-网【答案】【解析】,恒成立,且,=,因为恒成立,故答案为:12【2019福建三明一中期中考】设,b0,则的最小值为_【答案】【解析】由,得当时,代入当时,代入故最小值为13【2019湖北宜昌一模】已知正实数,满足,则的最小值为_【答案】【解析】正实数,满足,两边同除以得:, =,当且仅当,时,等号成立, 的最小值为14在中,角的对边分别是,若,则的最小值为_【答案】【解析】由正弦定理,可化为化简得,即,所以,当且仅当,即时,取最小值15已知正数满足,则的最小值为_【答案】来源:ZXXK