1、专题一 压轴填空题第三关 以多参数为背景的填空题【名师综述】基本不等式是C级要求，是高中数学的重要知识，高考对基本不等式的考查，主要以多元最值为背景的题型进行考查等价代换或转换是解题方法，也是解题难点类型一 代入转换例1【2019江苏南师大附中第一学期期中考】己知实数x，y，z0，4，如果x2，y2，z2是公差为2的等差数列，则的最小值为_【答案】42【解析】由于数列是递增的等差数列，故，且，故， ，而函数在上为增函数，故当时取得最大值为，所以学-【名师点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查含有两个绝对值符号式子的化简，考查函数求最小值的方法，属于难题【举一反三】已知xy1，y0，x0，则的
2、最小值为_【答案】类型二 放缩转换例2若不等式对任意都成立，则实数的最小值为_【答案】100【解析】由正弦定理得 因此，即的最小值为100 【名师点睛】利用三角形中三边不等关系放缩消元是解题关键【举一反三】已知，则的最小值为_【答案】类型三 分离转换例3已知且对任意的恒成立，则的最小值为_【答案】1【解析】设，则由得： ，当当时，当时，所以当时，有唯一极值，也是最小值，所以由对任意的恒成立，得，可得，因为 ，故成立，令（），当时，当时，所以当时，所以，故填例4已知正数x，y满足，那么y的最大值为【答案】 【解析】【名师点睛】运用分离变量法，将目标转化为求函数值域及解对应不等式【举一反三】已知正
3、实数a，b，c满足+=1，+=1，则实数c的取值范围是【答案】 【解析】，因为，所以 学-类型四 设参转换例5【2019安徽A10联盟】若两个锐角满足，则的最大值是_【答案】【解析】，令，则，即，当且仅当时取等号，的最大值时故填：【名师点睛】本题考查了基本不等式的应用，涉及了两角和的正切公式等知识，应用了换元转化法求解；利用基本不等式求最值时，必须同时满足三个条件“一正，二定，三相等”要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误来源:例6若实数x，y满足2x2xy
4、y21，则的最大值为_【答案】 【名师点睛】引进参数不是增加元，而是巧妙消元【举一反三】设实数x，y满足y21，则3x22xy的最小值是_【答案】 46来源:【解析】由y21，得1，假设ym，yn，即mn1，则xmn，y所以3x22xy4m22n26mn26mn46(当且仅当4m22n2时取等号)类型五 构造函数转换例7【2019辽宁沈阳模拟】已知对满足的任意正实数x，y，都有，则实数a的取值范围为_【答案】（，【解析】因为正实数x，y满足，而4xy（x+y）2，代入原式得（x+y）24（x+y）50，解得x+y5或x+y1（舍去），由x2+2xy+y2axay+10可得a（x+y）（x+y）
5、2+1，即ax+y+，令t=x+y5，+），则问题转化为at+，因为函数y=t+在5，+）递增，所以ymin=5+=，所以a，故答案为：（，【名师点睛】本题考查基本不等式，考查对勾函数的单调性质，求得x+y5是关键，考查综合分析与运算的能力，属于中档题例8若实数x，y满足x24xy4y24x2y24，则当x2y取得最大值时，的值为_【答案】 2【解析】解法1：因为实数x，y满足x24xy4y24x2y24，所以(x2y)24x2y28xy4，即(x2y)24(xy1)28，所以(x2y)284(xy1)2，所以当(xy1)20时，即xy1时，x2y取得最大值，此时x，y，所以2解法2：因为实数
6、x，y满足x24xy4y24x2y24，所以(x2y)24x2y24，令x2y2cos，xysin，则(x2y)2(x2y)28xy4cos28sin，所以(x2y)24sin28sin4，所以当sin1时，(x2y)2取得最大值，此时xy1，x2y0，所以2 【名师点睛】从式子结构出发寻找函数关系，关键熟练掌握代数关系【举一反三】【2019河北廊坊一联】设正数满足，则当取得最大值时，的最大值为_【答案】4【解析】试题分析：利用基本不等式和x25xy+9y2z=0，求出z的最小值，确定取得最小值的x，y，z之间的关系，将中的x，z代换成y表示，转化成了关于的二次函数，利用二次函数的性质，即可求
7、得的最大值试题解析：x25xy+9y2z=0，z=x25xy+9y2，x，y，z均为正实数，当且仅当x2=9y2，即x=3y，此时z=9y2时取“=”， ， ，故最大值为4类型六 利用判别式转换例9【2019天津蓟州期末联考】已知，二次函数 的值域为，则的最小值为_【答案】1【解析】由题意，二次函数的值域为，所以，且，因为，则，所以，当且仅当，即时等号成立，即的最小值为1【名师点睛】本题主要考查了二次函数的性质，以及利用基本不等式求最值的应用，其中解答中熟练应用二次函数的性质，合理应用基本不等式求最值，解答中保证“一正、二定、三相等”是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力例10若正实
8、数x，y满足(2xy1)2(5y2)(y2)，则x的最大值为_【答案】 1 【名师点睛】 本题是函数与方程思想的典型运用【举一反三】在平面直角坐标系xOy中，设点A(1，0)，B(0，1)，C(a，b)，D(c，d)，若不等式2(m2)m()()对任意实数a，b，c，d都成立，则实数m的最大值是_【答案】 1类型七 利用线性规划转换例11设变量x，y满足约束条件，目标函数的最大值为，则当(，)时，+的最小值为_【答案】【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示由得，数形结合可知当直线经过点A时，直线的纵截距最大，此时z最大由，解得，即A(0，3)将A(0，3)的坐标代入目标函数，得
9、，所以，所以，所以(当且仅当时等号成立)，故 的最小值例12已知x、yR，满足2y4x，x1，则的最大值为_【答案】【解析】由题易知，令t，则由线性规划知t，1，从而t2， 【名师点睛】线性规划是解决有关最值问题的一个有效的方法【举一反三】已知正数a，b，c满足：5c3ab4ca，cln bacln c，则的取值范围是_【答案】e，7而表示可行域内的点P(x，y)与原点连线l的斜率，由得，故，由图知当直线l过点A时取得最大值，最大值为设过原点与yex相切的直线为ykx，切点为(x0，y0)，由yex知kex0，x01，切点坐标为(1，e)，切线方程为yex，显然此时取得最小值，所以的取值范围为
10、e，7【精选名校模拟】1【2019江苏徐州期中考试】已知正实数 满足，则 的最小值为_【答案】18【解析】因为2+，又1，所以，即，当且仅当，即时，取等号2【2019江苏七校联盟期中联考】若正实数a，b满足，则的最小值为_来源:【答案】【解析】正实数a，b满足，=2=2，ab2，当且仅当=即a=且b=2时取等号，故答案为：23【2019江苏南通海安中学期中考】若直线过点，则的最小值为_【答案】19【解析】直线过点可得，=（=10+ 当且仅当a=3，b=6时取等号的最小值为19故答案为194【2019江苏盐城南京一模】若正实数、满足，则的最大值为_【答案】【解析】由，解得，5【2018高考江苏卷
11、】在中，角所对的边分别为，的平分线交于点D，且，则的最小值为_【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值详解：由题意可知，由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为6【2019江苏明德实验学校二模】已知圆与圆相外切，则的最大值为_【答案】【解析】由已知，圆C1：（x-a）2+（y+2）2=4的圆心为C1（a，-2），半径r1=2圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1的圆心为C2（-b，-2），半径r2=1圆C1：（x-a）2+（y+2）2=4与圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1相外切，|C1C2|=r1+r2=3，要使ab取
12、得最大值，则a，b同号，不妨取a0，b0，则a+b=3，由基本不等式，得，故答案为7【2019江苏清江中学二模】在中，设角的对边分别是若成等差数列，则的最小值为_【答案】【解析】由题得，所以，所以因为所以 故答案为：8【2018江苏南通最后一卷】在斜ABC中，若，则的最大值是_【答案】【解析】在斜中，来源:Zxxk.Com，又，所以，与同号，又在中，所以，当且仅当时“=”成立，的最大值为，故答案为9【2019安徽江淮名校12月联考】已知正数，满足，则的最大值为_【答案】【解析】令，则，所以 ，当且仅当可以取到最大值，此时故答案为：10已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为_【答案】1
13、【解析】因为对任意正实数恒成立，又因为，所以，解得，所以正实数的最小值为111【2019天津蓟州期末联考】已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是_-网【答案】【解析】，恒成立，且，=，因为恒成立，故答案为：12【2019福建三明一中期中考】设，b0，则的最小值为_【答案】【解析】由，得当时，代入当时，代入故最小值为13【2019湖北宜昌一模】已知正实数，满足，则的最小值为_【答案】【解析】正实数，满足，两边同除以得：， =，当且仅当，时，等号成立， 的最小值为14在中，角的对边分别是，若，则的最小值为_【答案】【解析】由正弦定理，可化为化简得，即，所以，当且仅当，即时，取最小值15已知正数满足，则的最小值为_【答案】来源:ZXXK