1、专题一 压轴填空题第七关 以恒成立或有解为背景的填空题【名师综述】含参数不等式的恒成立或有解问题，是高考的热点它往往与函数、数列、三角函数、解析几何综合考查解决这类问题，主要是运用分离变量法，等价转化为求具体函数的最值；运用数形结合法，等价转化为临界点；运用分类讨论法，等价转化为研究含参函数的最值类型一 分类讨论差函数最值典例1【2019江苏宿迁期末考】已知函数，若对所有的，恒成立，则实数的值为_【答案】【解析】由题意可得恒成立，所以当时，不等式可化为，即，不满足恒成立的条件，故舍去；当时，不等式可化为，时，显然不等式成立，因为不等式恒成立，所以有且，即且，显然不成立，故舍去；当时，不等式可化
2、为，时，显然不等式成立，因为不等式恒成立，所以有且，即且，所以，即，解得或，因为，所以，综上，即答案为【名师指点】本题主要考查含参数的不等式，通常需要用到分类讨论的思想，属于常考题型【举一反三】已知函数若当时，恒成立，则的取值范围_ 【答案】类型二 参变分离求具体函数最值典例2【2019江苏前黄、溧阳两校联考】若存在正数，使得（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是_【答案】【解析】由变量分离得（2e）ln（t2e）lnt，（令t0），令h(t)（t2e）lnt，（t0），则h(t)lnt+，h(t)+ 0，所以h(t)在t递增，且h（e）0，h(t)在（0，e）上递减，在（e，+）上递增
3、，h(t)h（e）e，e，解得z0或z，实数z的取值范围是（，0），+），故答案为：（，0），+）【名师指点】本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法构造函数，利用导数法求出函数的极值和最值，利用变量分离求新函数的范围是关键【举一反三】若不等式对任意满足的实数，恒成立，则实数的最大值为_【答案】来源:当时，f(t)0，函数f(t)单调递增；当时，f(t)0，函数f(t)单调递减来源：当时，f(t)取得最小值，实数c的最大值为类型三 数形结合求临界点典例3 设函数对任意不等式恒成立，则正数的取值范围是_学-【答案】【解析】对任意，不等式恒成立，则等价
4、为恒成立，当且仅当，即时取等号，即的最小值是，由，则，由得，此时函数为增函数，由得，此时函数为减函数，即当时，取得极大值同时也是最大值，则的最大值为，则由，得，即，则，故答案为【名师指点】等价于在公共定义域区间内，函数的图像落在的下方，这样在平面直角坐标系中画出相应函数的图像，根据图像上下关系，确定参数取值范围【举一反三】【2018江苏盐城东台中学模拟】已知函数若对任意实数k，总存在实数，使得成立，则实数a的取值集合为_【答案】【解析】令，所以函数h(x)在上递增，在上递减，又，所以，当且仅当时等号成立，因为对任意实数，总存在实数，使得成立，且过原点的直线与切于点，所以函数f(x)的图象是不间
5、断的，故，所以实数 的取值集合为故答案为： 【精选名校模拟】1【2019江苏宿豫中学期末模拟】已知函数，且，若存在，使得对任意，恒成立，则的取值范围是_来源:Z+X+X+K【答案】【解析】的定义域为，当时，为增函数，所以；若存在，使得对任意的，恒成立，即，当时，为减函数，故答案为：2【2019江苏高邮模拟】已知函数，对一切，恒成立，则实数的取值范围为_来源:ZXXK【答案】【解析】因为，代入解析式可得，分离参数a可得 令（ ），则，令解得，所以当0x1，所以h（x）在（0，1）上单调递减，当1x，所以h（x）在（1，+）上单调递增，所以h（x）在x=1时取得极小值，也即最小值所以h（x）h（1
6、）=4因为对一切x（0，+），2f（x）g（x）恒成立，所以ah（x）min=4所以a的取值范围为3【2019陕西榆林一模】已知不等式，对于任意的恒成立，则的最大值_【答案】【解析】移项，得到，构造函数，计算导函数得到，发现，当 递减，当，递增，故当取到最小值为，故的最大值为4【2019江苏宿迁期末考】已知函数(为常数，为自然对数的底数)，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为_【答案】【解析】由题意，函数，则，当时，恒成立，所以函数在上单调递增，所以，即；当时，令，解得，当时，解得，此时函数单调递增，当时，解得，此时函数单调递减，若，即时，若，即时，当时，即，函数在上单调递增，所以，此时无解
7、，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，解得综上所述，可得实数的取值范围是5【2019江苏连云港期末考】已知，若，使成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】若，使成立，等价于“当xe，e2时，有f（x）maxf（x）max+a”，当xe，e2时，lnx1，2，1，f（x）a+（）2+a，f（x）max+a，问题等价于：“当xe，e2时，有f（x）max”，当a，即a时，f（x）a+（）2+a0，f（x）在e，e2上为减函数，则f（x）maxf（e）eaee（1a），a1，当a0，即0a时，xe，e2，1，f（x）a+，由复合函数的单调性知f（x）在e，e2上为增函数，存在唯一x0（e，
8、e2），使f（x0）0且满足：f（x）在e，x0）递减，在（x0，e2递增，f（x）maxf（e）或f（e2），而f（e2）ae2，故ae2，解得：a，无解舍去综上，实数a的取值范围为，故答案为：+网6【2019江苏苏州期末考】设函数，若对任意(，0)，总存在2，)，使得 ，则实数a的取值范围_学-【答案】【解析】由题意，对任意(，0)，总存在2，)，使得 ，即当任意(，0)，总存在2，)，使得 ，当时，当时，函数，当，此时，符合题意；当时，时，此时最小值为0，而当时，的导数为，可得为极小值点，可得的最小值为或，均大于0，不满足题意；当时，时，的最小值为0或，当时，的导数为，可得为极小值点，且
9、为最小值点，可得的最小值为，由题意可得，解得，综上可得实数的范围是7【2019江苏扬州期中调研】已知函数，（e为自然对数的底数，e2718）对于任意的(0，e)，在区间(0，e)上总存在两个不同的，使得，则整数a的取值集合是_【答案】【解析】f（x）=2（x），令f（x）0，解得：0x，令f（x）0，解得：xe，故f（x）在（0，）递增，在（，e）递减，而f（0）=0，f（）=2，f（e）=e（2e），故f（x）在（0，e）的值域是（0，2），对于g（x）=lnxax+5，x（0，e），a=0时，g（x）=lnx+5，g（x）递增，在区间（0，e）上不存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=
10、g（x2），不合题意，a0时，g（x）=a，令g（x）=0，解得：x=，若在区间（0，e）上总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2），则只需0e，故a，令g（x）0，解得：0x，令g（x）0，解得：xe，故g（x）在（0，）递增，在（，e）递减，而x0时，g（x），g（）=lna+4，g（e）=6ae，若对于任意的x0（0，e），在区间（0，e）上总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），只需，解得：22ae2729，来源:Z,X,X,K故满足条件的a的整数为：3，4，5，6，7，故答案为：3，4，5，6，78【2019江苏盐城第一学期期中模拟】已知函数
11、，使，则实数的取值范围是_【答案】【解析】，使，即g(x)的值域是的子集，g(x)，当a-1时，f(x)，即，解得a，当-11时，f(x)，即，不等式组无解综上所述，a的范围为9【2019贵州遵义一模】丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是_【答案】【解析】f（x）x2+3x，f（x）2tx+3，函数f（x）在上是“凸函数”，在（a，b）上，f（x）0恒成立，2tx+30，即令，显然在上单调递
12、增，t故答案为：10【2019福建三校12月联考】若，不等式恒成立，则正实数的取值范围是_【答案】11【2019河北张家口12月月考】已知函数，当时，函数的图象始终在图象的下方，则实数的取值范围是_【答案】【解析】因为函数，当时，函数的图象始终在图象的下方，所以时，恒成立，即恒成立，因为，在上递增，即，即实数的取值范围是，故答案为12【2019安徽江南十校二联】若，满足恒成立，则实数的取值范围为_【答案】【解析】（1），显然成立；（2）时，由 ，由在为增 在恒成立，由在为增，综上，故答案为13【2019河北武邑中学期中考】设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】【解析】由得，
13、即对任意的恒成立设，则恒成立，又，当时，单调递减；当时，单调递增画出图象为当时，此时函数单调递增，即，所以恒成立，恒成立设，则，则当时，单调递增；当时，单调递减，当时，由，结合函数的图象可得，即恒成立综上可得，实数的取值范围是14【2019福建厦门期末质检】函数，对于，都有，则实数的取值范围是 【答案】【解析】由题意，函数是定义在上的奇函数，在为单调递增，且，即，即作出与的图象，直线作为曲线切线可求得，当时，；来源:ZXXK作出与的图象，时，故，综上可得15【2019山东四市10月联考】设函数，对任意(0，+)，不等式恒成立，则正数k的取值范围是_(其中e为自然对数底数)【答案】【解析】当时，当且仅当，即时等号成立当时，函数的最小值为，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，有最大值，且最大值为对任意(0，+)，不等式恒成立，解得，正数k的取值范围是学-故答案为16【2019山东胶州一中模拟】若对任意的，均有成立，则称函数为函数和函数在区间 上的“中间函数”已知函数 ，且是和在区间上的“中间函数”，则实数的取值范围是_【答案】【解析】根据题意，可得在上恒成立，当时，函数的图象是一条线段，于是，解得，又由，即在上恒成立，令，则，且，又由，于是函数为增函数，从而，即，即函数在为单调增函数，所以函数的最小值为，即，所以，所以实数的取值范围是
