1、第四篇 三角函数与解三角形专题4.04三角函数的图象与性质【考试要求】1.能画出三角函数ysinx，ycosx，ytanx的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值；2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在0，2上，正切函数在上的性质.【知识梳理】1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数ysinx，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，0)，(，0)，(2，0).(2)余弦函数ycosx，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，1)，(，1)，(2，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ)函数ysin xycos xytan x图象定义域RRx xk值域1
2、，11，1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2k，2k递减区间2k，2k无对称中心(k，0)对称轴方程xkxk无【微点提醒】1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.对于ytanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(kZ)内为增函数.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)余弦函数ycos x的对称轴是y轴.()(2)正切函数ytan x在定义域内是增函数.()(3)已知yksin x1，xR，则y的最大值为k1
3、.()(4)ysin|x|是偶函数.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)余弦函数ycos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.(2)正切函数ytan x在每一个区间(kZ)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k0时，ymaxk1；当k0时，ymaxk1.【教材衍化】2.(必修4P46A2，3改编)若函数y2sin 2x1的最小正周期为T，最大值为A，则()A.T，A1 B.T2，A1C.T，A2 D.T2，A2【答案】A【解析】最小正周期T，最大值A211.故选A.3.(必修4P47B2改编)函数ytan的单调递减区间为_.【答案】(kZ)【解析】
4、由k2xk(kZ)，得x(kZ)，所以ytan的单调递减区间为(kZ).【真题体验】4.(2017全国卷)函数f(x)sin的最小正周期为()A.4 B.2 C. D.【答案】C【解析】由题意T.5.(2017全国卷)函数f(x)sincos的最大值为()A. B.1 C. D.【答案】A【解析】cos cossin，则f(x)sinsinsin，函数的最大值为.6.(2018江苏卷)已知函数ysin(2x) 的图象关于直线x对称，则的值是_.【答案】【解析】由函数ysin(2x)的图象关于直线x对称，得sin1.所以k(kZ)，所以k(kZ)，又，由正弦曲线得2kx2k(kZ).所以不等式组
5、的解集为.【规律方法】1.三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数ytan x的定义域求函数yAtan(x)的定义域转化为求解简单的三角不等式.(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式.2.简单三角不等式的解法(1)利用三角函数线求解.(2)利用三角函数的图象求解.【训练1】 (1)函数y的定义域为_.(2)函数ylg(sin x)的定义域为_.【答案】(1)【解析】(1)要使函数有意义，必须使sin xcos x0.利用图象，在同一坐标系中画出0，2上ysin x和ycos x的图象，如图所示.在0，2上，满足sin xcos x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2
6、，所以原函数的定义域为.(2)要使函数有意义必须有即解得(kZ)，所以2kx2k(kZ)，所以函数的定义域为. (2)考点二三角函数的值域与最值【例2】 (1)y3sin在区间上的值域是_.(2)(2017全国卷)函数f(x)sin2xcos x的最大值是_.(3)函数ysin xcos xsin xcos x的值域为_.【答案】(1)(2)1(3)【解析】(1)当x时，2x，sin，故3sin，即y3sin的值域为.(2)由题意可得f(x)cos2xcos x(cos x)21.x，cos x0，1.当cos x，即x时，f(x)max1.(3)设tsin xcos x，则t2sin2xco
7、s2x2sin xcos x，sin xcos x，且t，所以yt(t1)21.当t1时，ymax1；当t时，ymin.所以函数的值域为.【规律方法】求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：(1)形如yasin xbcos xc的三角函数化为yAsin(x)c的形式，再求值域(最值)；(2)形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数，可先设tsin xcos x，化为关于t的二次函数求值域(最值).【训练2】 (1)函数f(x)cos 2x6cos的最大值为()A.
8、4 B.5 C.6 D.7(2)(2019临沂模拟)已知函数f(x)sin，其中x，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是_.【答案】(1)B(2)【解析】(1)由f(x)cos 2x6cos12sin2x6sin x2，又sin x1，1，所以当sin x1时函数的最大值为5.(2)由x，知x.因为x时，f(x)的值域为，所以由函数的图象知a，所以a.考点三三角函数的单调性角度1求三角函数的单调区间【例31】 (1)函数f(x)tan的单调递增区间是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)(2)函数ysin的单调递减区间为_.【答案】(1)B(2)，kZ【解析】(1)由k2xk
9、(kZ)，得xbc B.acbC.cab D.bac【答案】A【解析】令2kx2k，kZ，解得2kx2k，kZ，函数f(x)2cos在上是减函数，ff.角度3利用单调性求参数【例33】 (2018全国卷)若f(x)cos xsin x在a，a是减函数，则a的最大值是()A. B. C. D.【答案】A【解析】f(x)cos xsin xcos，由题意得a0，故a，因为f(x)cos在a，a是减函数，所以解得00)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解.但如果0)在上单调递增，在区间上单调递减，则_.【答案】(1)C(2)sin 68cos 23cos 97(3)【解析】(1)由x
10、，得2x，此时函数f(x)先减后增；由x，得2x，此时函数f(x)先增后减；由x，得2x，此时函数f(x)单调递减；由x，得2x，此时函数f(x)先减后增.(2)sin 68cos 22，又ycos x在0，180上是减函数，sin 68cos 23cos 97.(3)法一由于函数f(x)sin x(0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，为函数f(x)的周期，故，解得.法二由题意，得f(x)maxfsin1.由已知并结合正弦函数图象可知，2k(kZ)，解得6k(kZ)，所以当k0时，.考点四三角函数的周期性、奇偶性、对称性角度1三角函数奇偶性、周期性【例41】 (1)(201
11、8全国卷)已知函数f(x)2cos2xsin2x2，则()A.f(x)的最小正周期为，最大值为3B.f(x)的最小正周期为，最大值为4C.f(x)的最小正周期为2，最大值为3D.f(x)的最小正周期为2，最大值为4(2)(2019杭州调研)设函数f(x)sincos的图象关于y轴对称，则()A. B. C. D.【答案】(1)B(2)A【解析】(1)易知f(x)2cos2xsin2x23cos2x131cos 2x，则f(x)的最小正周期为，当2x2k，即xk(kZ)时，f(x)取得最大值，最大值为4.(2)f(x)sincos2sin，由题意可得f(0)2sin2，即sin1，k(kZ)，k
12、(kZ).|0)的形式.2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令tx，将其转化为研究ysin t(或ycos t)的性质.3.数形结合是本节的重要数学思想.【易错防范】1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.2.要注意求函数yAsin(x)的单调区间时A和的符号，尽量化成0时情况，避免出现增减区间的混淆.3.求三角函数的单调区间时，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明kZ.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017山东卷)函数ysin 2xcos 2x的最小正周期为
13、()A. B. C. D.2【答案】C【解析】y22sin，T.2.(2019石家庄检测)若是函数f(x)sin xcos x图象的一个对称中心，则的一个取值是()A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】因为f(x)sin xcos xsin，由题意，知fsin0，所以k(kZ)，即8k2(kZ)，当k1时，6.3.已知函数f(x)2sin x(0)在区间上的最小值是2，则的最小值等于()A. B. C.2 D.3【答案】B【解析】0，x，x.由已知条件知，.4.(2019湖南十四校联考)已知函数f(x)2sin xcos x(0)，若f(x)的两个零点x1，x2满足|x1x2|min
14、2，则f(1)的值为()A. B. C.2 D.2【答案】C【解析】依题意可得函数的最小正周期为2|x1x2|min224，即，所以f(1)2sin cos 2.5.若f(x)为偶函数，且在上满足：对任意x10，则f(x)可以为()A.f(x)cos B.f(x)|sin(x)|C.f(x)tan x D.f(x)12cos22x【答案】B【解析】f(x)cossin x为奇函数，排除A；f(x)tan x为奇函数，排除C；f(x)12cos22xcos 4x为偶函数，且单调增区间为(kZ)，排除D；f(x)|sin(x)|sin x|为偶函数，且在上单调递增.二、填空题6.(2019烟台检测
15、)若函数f(x)cos(0)是奇函数，则_.【答案】【解析】因为f(x)为奇函数，所以k(kZ)，k，kZ.又因为00).若f(x)f对任意的实数x都成立，则的最小值为_.【答案】【解析】由于对任意的实数都有f(x)f成立，故当x时，函数f(x)有最大值，故f1，2k(kZ)，8k(kZ).又0，min.三、解答题9.(2018北京卷)已知函数f(x)sin2xsin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值.【答案】见解析【解析】(1)f(x)cos 2xsin 2xsin.所以f(x)的最小正周期为T.(2)由(1)知f(x)sin.由题
16、意知xm，所以2x2m.要使得f(x)在上的最大值为，即sin在上的最大值为1.所以2m，即m.故实数m的最小值为.10.(2019北京通州区质检)已知函数f(x)sin xcos x(0)的最小正周期为.(1)求函数yf(x)图象的对称轴方程；(2)讨论函数f(x)在上的单调性.【答案】见解析【解析】(1)f(x)sin xcos xsin，且T，2，于是f(x)sin.令2xk(kZ)，得x(kZ).即函数f(x)图象的对称轴方程为x(kZ).(2)令2k2x2k(kZ)，得函数f(x)的单调递增区间为(kZ).注意到x，所以令k0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；同理，其单调递减区间
17、为.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.若对于任意xR都有f(x)2f(x)3cos xsin x，则函数f(2x)图象的对称中心为()A.(kZ) B.(kZ)C.(kZ) D.(kZ)【答案】D【解析】因为f(x)2f(x)3cos xsin x，所以f(x)2f(x)3cos xsin x.解得f(x)cos xsin xsin，所以f(2x)sin.令2xk(kZ)，得x(kZ).所以f(2x)图象的对称中心为(kZ).12.(2017天津卷)设函数f(x)2sin(x)，xR，其中0，|.若f2，f0，且f(x)的最小正周期大于2，则()A.， B.，C.， D.，【答案】A
18、【解析】f2，f0，且f(x)的最小正周期大于2，f(x)的最小正周期为43，f(x)2sin.2sin2，得2k(kZ)，又|，取k0，得.13.已知x0是函数f(x)sin(2x)的一个极大值点，则f(x)的单调递减区间是_.【答案】(kZ)【解析】因为x0是函数f(x)sin(2x)的一个极大值点，所以sin1，解得2k(kZ).不妨取，此时f(x)sin，令2k2x2k(kZ)，得f(x)的单调递减区间是(kZ).14.已知函数f(x)sinsin xcos2x.(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值；(2)若方程f(x)在(0，)上的解为x1，x2，求cos(x1x2)的值.【
19、答案】见解析【解析】(1)f(x)cos xsin x(2cos2x1)sin 2xcos 2xsin.当2x2k(kZ)，即xk(kZ)时，函数f(x)取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f(x)图象的对称轴为xk(kZ)，当x(0，)时，对称轴为x.又方程f(x)在(0，)上的解为x1，x2.x1x2，则x1x2，cos(x1x2)cossin，又f(x2)sin，故cos(x1x2).【新高考创新预测】15.(思维创新)已知函数f(x)sin，若对任意的实数，都存在唯一的实数0，m，使f()f()0，则实数m的最小值是_.【答案】【解析】因为，所以，则f()sin，因为对任意的实数，都存在唯一的实数0，m，使f()f()0，所以f()在0，m上单调，且f()，则sin，则，所以，即实数m的最小值是.18
