1、2019-2020学年九年级（上）期中数学模拟试卷一、选则题（本大题共10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一个答案是正确的，请将正确答案的序号直接填入答题卡中）.1（3分）随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（）ABCD2（3分）解一元二次方程x28x50，用配方法可变形为（）A（x4）221B（x4）211C（x+4）221D（x+4）2113（3分）给出下列三个函数：yx；yx；yx2，x0时，y随x的增大而减小的函数有（）A1个B2个C3个D0个4（3分）抛物线y（x+）23的顶点坐标是（）A（，3）B（，3）
2、C（，3）D（，3）5（3分）三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x216x+600的一个实数根，则该三角形的面积是（）A24B24或8C48D86（3分）设a、b是一元二次方程x22x10的两个根，则a2+a+3b的值为（）A5B6C7D87（3分）如图，ABC内接于O，ABBC，ABC120，AD为O的直径，AD6，那么弦AC的值为（）A3B2C3D28（3分）如图，A、B、P是半径为2的O上的三点，APB45，则弦AB的长为（）AB2C2D49（3分）若关于x的一元二次方程（k1）x2+4x+10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）Ak5Bk5，且k1Ck5，且k1
3、Dk510（3分）二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：abc0；4acb2；2a+b0；其顶点坐标为（，2）；当x时，y随x的增大而减小；a+b+c0；方程ax2+bx+c4有实数解，正确的有（）A3个B4个C5个D6个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）.11（3分）把方程3x（x1）（x+2）（x2）+9化成ax2+bx+c0的形式为 12（3分）若关于x的二次三项式x2（m1）x+16是完全平方式，则m 13（3分）若X为实数，且（x2+x）22（x2+x）30，则x2+x 14（3分）已知抛物线yax2+bx+c经过A（3，0），B（1，0），C（0，3）
4、，则该抛物线的解析式为 15（3分）如图，P是等边ABC内一点，且PA6，PC8，PB10，若APB绕点A逆时针旋转60后，得到APC，则APC 16（3分）如图，AB是O的直径，弦CD交AB于点P，AP2，BP6，APC30，则CD的长为 三、计算、证明与解答（本大题共8小题，满分64分）.17（6分）解下列方程（1）x22x10（2）（x1）2（32x）218（6分）已知关于x的一元二次方程：x22（m+1）x+m2+50有两个不相等的实数根（1）求m的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22|x1|+|x2|+2x1x2，求m的值19（6分）某青年旅社有60
5、间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元（1）填表（不需化简） 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 6020 提价后 （2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入总收入维护费用）20（8分）如图，半径为5的P与y轴交于点M（0，4），N（0，10）（1）求点P的坐标；（2）将P绕点O顺时针方向旋转90后得A，交x轴于B、C，求过A、B、C三个
6、点的抛物线的解析式21（8分）如图，BAC的平分线交ABC的外接圆于点D，ABC的平分线交AD于点E（1）求证：DEDB；（2）若BAC90，BD4，求ABC外接圆的半径22（9分）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件设每件商品的售价为x元，每个月的销售量为y件（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式；（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最
7、大的月利润是多少元？23（9分）我们定义：如图1，在ABC看，把AB绕点A顺时针旋转（0180）得到AB，把AC绕点A逆时针旋转得到AC，连接BC当+180时，我们称ABC是ABC的“旋补三角形”，ABC边BC上的中线AD叫做ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”特例感知：（1）在图2，图3中，ABC是ABC的“旋补三角形”，AD是ABC的“旋补中线”如图2，当ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD BC；如图3，当BAC90，BC8时，则AD长为 猜想论证：（2）在图1中，当ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明24（12分）如图，已知：二次函数yx2+bx
8、+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（3，0），与y轴交于点C，点D（2，3）在抛物线上（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；（3）若抛物线上有一动点M，使ABM的面积等于ABC的面积，求M点坐标（4）抛物线的对称轴上是否存在动点Q，使得BCQ为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由参考答案与试题解析一、选则题（本大题共10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一个答案是正确的，请将正确答案的序号直接填入答题卡中）.1解：A、是中心对称图形，故本选项正确；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图
9、形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误；故选：A2解：x28x5，x28x+165+16，即（x4）221，故选：A3解：在yx中，k10，y随x的增大而减小，在yx中，k10，y随x的增大而增大，在yx2中，抛物线开口向上，当x0时，y随x的增大而减小，则当x0时，y随x的增大而减小的函数有，故选：B4解：y（x+）23是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（，3）故选：B5解：x216x+600（x6）（x10）0，x6或x10当x6时，该三角形为以6为腰，8为底的等腰三角形高h2，S828；当x10时，该三角形为以6和8为直角边，10为斜边的直角三角形S68
10、24S24或8故选：B6解：由题意知，a+b2，a22a10，即a22a+1，则a2+a+3b2a+1+a+3b3（a+b）+132+17故选：C7解：ABBC，ABC120，C30，D30，AD为O的直径，ABD90，ABAD3，过B作BEAC于E，AC2AE，ABBC，BAEC30，AEAB，AC3，故选：C8解：A、B、P是半径为2的O上的三点，APB45，AOB2APB90，OAB是等腰直角三角形，ABOA2故选：C9解：关于x的一元二次方程（k1）x2+4x+10有两个不相等的实数根，即，解得：k5且k1故选：B10解：由图象开口可知：a0，c0，0，b0，abc0，故正确；由图象可
11、知：0，b24ac0，b24ac，故正确；抛物线与x轴交于点A（1，0），B（2，0），抛物线的对称轴为：x，1，2a+b0，故正确；由图象可知顶点坐标的纵坐标小于2，故错误；由可知抛物线的对称轴为x，由图象可知：x时，y随着x的增大而减小，故正确；由图象可知：x1时，y0，a+b+c0，故错误；由图象可知，顶点的纵坐标大于4，方程ax2+bx+c4无实数解，故错误；故选：B二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）.11解：方程整理得：3x23xx24+9，即2x23x50故答案为：2x23x5012解：关于x的二次三项式x2（m1）x+16是完全平方式，m18，解得：m9或m7，故
12、答案为：9或713解：设x2+xy，则原方程可化为y22y30，（y+1）（y3）0，解得：y11，y23，x2+x1的方程无解，x2+x3，故答案为314解：设抛物线解析式为ya（x+3）（x1），把C（0，3）代入得a3（1）3，解得a1，所以抛物线解析式为y（x+3）（x1），即yx22x+3故答案为yx22x+315解：如图，连接PP，APB绕点A逆时针旋转60得到APC，APCAPB，PAPA6，PCPB10，旋转角是60，APP是等边三角形，APP60，PPPA6，PP2+PC262+82100，PC2PB2102100，PP2+PC2PC2，PPC是以PPC为直角的直角三角形，A
13、PCAPP+PPC60+90150故答案为：15016解：作OHCD于H，连结OC，如图，OHCD，HCHD，AP2，BP6，AB8，OA4，OPOAAP2，在RtOPH中，OPH30，POH60，OHOP1，在RtOHC中，OC4，OH1，CH，CD2CH2故答案为：2三、计算、证明与解答（本大题共8小题，满分64分）.17解：（1）x22x10，b24ac（2）241（1）8，x，x11+，x21；（2）（x1）2（32x）2，开方得：x1（32x），解得：x1，x2118解：（1）方程x22（m+1）x+m2+50有两个不相等的实数根，2（m+1）24（m2+5）8m160，解得：m2（
14、2）原方程的两个实数根为x1、x2，x1+x22（m+1），x1x2m2+5m2，x1+x22（m+1）0，x1x2m2+50，x10、x20x12+x222x1x2|x1|+|x2|+2x1x2，4（m+1）22（m2+5）2（m+1）+2（m2+5），即6m180，解得：m319解：（1）增加10元，就有一个房间空闲，增加20元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房间为，入住的房间数量60，房间价格是（200+x）元，总维护费用是（60）20故答案是：60；200+x；（60）20；（2）依题意得：（200+x）（60）（60）2014000，整理，得x2420x+320000，解得x132
15、0，x2100当x320时，有游客居住的客房数量是：6028（间）当x100时，有游客居住的客房数量是：6050（间）所以当x100时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为200+100300（元）答：每间客房的定价应为300元20解：（1）连接PM，PN，过点P作PEy轴于点E，如图1所示PMPN，MENE点M（0，4），N（0，10），OM4，MN4（10）6，MEMN3，OEOM+ME7在RtPEM中，PEM90，PM5，ME3，PE4，点P的坐标为（4，7）（2）连接OP，OA，AB，AC（设点B在点C的右边），过点P作PEy轴于点E，过点A作AFx轴于点F，如图2所示根据旋转的性质，
16、可知：ODOE7，AFPE4，点A的坐标为（7，4）在RtAFB中，AFB90，AF4，AB5，BF3，OBOFBF4同理：CF3，OCOF+CF10，点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（10，0）设过A，B，C三个点的抛物线的解析式为yax2+bx+c（a0），将A（7，4），B（4，0），C（10，0）代入yax2+bx+c，得：，解得：，过A，B，C三个点的抛物线的解析式为yx2x21（1）证明：AD平分BAC，BE平分ABC，ABECBE，BAECAD，DBCCAD，DBCBAE，DBECBE+DBC，DEBABE+BAE，DBEDEB，DEDB；（2）解：连接CD，如图所示：由（1
17、）得：，CDBD4，BAC90，BC是直径，BDC90，BC4，ABC外接圆的半径4222解：（1）当50x80时，y210（x50），即y260x，当80x140时，y210（8050）3（x80），即y4203x则，（2）由利润（售价成本）销售量可以列出函数关系式wx2+300x10400（50x80）w3x2+540x16800（80x140），（3）当50x80时，wx2+300x10400，当x80有最大值，最大值为7200，当80x140时，w3x2+540x16800，当x90时，有最大值，最大值为7500，故售价定为90元利润最大为7500元23解：（1）如图2，当ABC为等边
18、三角形时，AD与BC的数量关系为ADBC；理由：ABC是等边三角形，ABBCACABAC，DBDC，ADBC，BAC60，BAC+BAC180，BAC120，BC30，ADABBC，故答案为如图3，当BAC90，BC8时，则AD长为4理由：BAC90，BAC+BAC180，BACBAC90，ABAB，ACAC，BACBAC，BCBC，BDDC，ADBCBC4，故答案为4（2）猜想证明：如图，延长AD至点Q，则DQBDAC，QBAC，QBAC，QBA+BAC180，BAC+BAC180，QBABAC，又由题意得到QBACAC，ABAB，AQBBCA，AQBC2AD，即24解：（1）将A（3，0）
19、，D（2，3）代入yx2+bx+c，得：，解得：，抛物线的表达式为yx2+2x3（2）当y0时，x2+2x30，解得：x13，x21，点B的坐标为（1，0）连接BD，交抛物线的对称轴于点P，如图1所示PAPB，此时PA+PD取最小值，最小值为线段BD的长度点B的坐标为（1，0），点D的坐标为（2，3），BD3，PA+PD的最小值为3（3）当x0时，yx2+2x33，点C的坐标为（0，3）设点M的坐标为（x，x2+2x3）SABMSABC，|x2+2x3|3，即x2+2x60或x2+2x0，解得：x11，x21+，x32，x40（舍去），点M的坐标为（1，3），（1+，3），（2，3）（4）设点
20、Q的坐标为（1，m）点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，3），直线BC的解析式为y3x3，CQ2（10）2+m（3）2m2+6m+10，BQ2（11）2+（m0）2m2+4，BC2（01）2+（30）210分三种情况考虑（如图2所示）：当BQBC时，m2+410，解得：m1，m2，点Q1的坐标为（1，），点Q2的坐标为（1，）；当CQCB时，m2+6m+1010，解得：m30，m46，点Q3的坐标为（1，0），点Q4的坐标为（1，6）当x1时，y3x36，点Q4在直线BC上，舍去；当QBQC时，m2+4m2+6m+10，解得：m51，点Q5的坐标为（1，1）综上所述：抛物线的对称轴上存在动点Q，使得BCQ为等腰三角形，点Q的坐标为（1，），（1，），（1，0），（1，1）
