1、第二篇 函数及其性质专题2.05指数与指数函数【考试要求】1.通过对有理数指数幂a(a0，且a1；m，n为整数，且n0)、实数指数幂ax(a0，且a1；xR)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质；2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.【知识梳理】1.根式(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)性质：()na(a使有意义)；当n为奇数时，a，当n为偶数时，|a|2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a(a0，m，nN*，且n1)
2、；正数的负分数指数幂的意义是a(a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：arasars；(ar)sars；(ab)rarbr，其中a0，b0，r，sQ.3.指数函数及其性质(1)概念：函数yax(a0且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a10a0时，y1；当x0时，0y1当x1；当x0时，0y0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.2.在第一象限内，指数函数yax(a0且a1)的图象越高，底数越大.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”
3、或“”)(1)4.()(2)(1)(1).()(3)函数y2x1是指数函数.()(4)函数yax21(a1)的值域是(0，).()【教材衍化】2.(必修1P56例6改编)若函数f(x)ax(a0，且a1)的图象经过，则f(1)()A.1 B.2 C. D.33.(必修1P59A6改编)某种产品的产量原来是a件，在今后m年内，计划使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为()A.ya(1p%)x(0xm)B.ya(1p%)x(0xm，xN)C.ya(1xp%)(0x0，将表示成分数指数幂，其结果是()A.a B.a C.a D.a5.(2017北京卷)已知函数f(x
4、)3x，则f(x)()A.是偶函数，且在R上是增函数B.是奇函数，且在R上是增函数C.是偶函数，且在R上是减函数D.是奇函数，且在R上是减函数6.(2019潍坊检测)设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A.abc B.acbC.bac D.bc0，b0).【规律方法】1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【训练1】 化简下列各式：(
5、1)(0.064)2.50；(2)ab2(3ab1) (4ab3).考点二指数函数的图象及应用【例2】 (1)(2019镇海中学检测)不论a为何值，函数y(a1)2x恒过定点，则这个定点的坐标是()A. B.C. D.(2)若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_.【规律方法】1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.【训练2】 (1)函数f(x)axb的图象如图所示，其中a，b为常
6、数，则下列结论正确的是()A.a1，b1，b0C.0a0D.0a1，b1.73 B.0.610.62C.0.80.11.250.2 D.1.70.30.93.1(2)设函数f(x)若f(a)0，且a1)在区间1，1上的最大值是14，则a的值为_.【规律方法】1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.2.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.【易错警示
7、】在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.【训练3】 (1)(2019山师附中测评)设函数f(x)x2a与g(x)ax(a1且a2)在区间(0，)上具有不同的单调性，则M(a1)0.2与N的大小关系是()A.MN B.MNC.MN(2)函数f(x)3的单调递增区间为_，单调递减区间为_.(3)已知函数f(x)bax(其中a，b为常量，且a0，a1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24).若不等式m0在x(，1上恒成立，则实数m的最大值为_.【反思与感悟】1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.2.
8、判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x1得到底数的值再进行比较.3.指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分0a1两种情况分类讨论.【易错防范】1.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.2.对可化为a2xbaxc0或a2xbaxc0(0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2019北京延庆区模拟)下列函数中，与函数y2x2x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是()A.ysin x B.yx3C.y D.
9、ylog2x2.函数yax(a0，且a1)的图象可能是()3.(2019东北三校联考)函数f(x)ax1(a0，a1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是()A.y B.y|x2|C.y2x1 D.ylog2(2x)4.设x0，且1bxax，则()A.0ba1 B.0ab1 C.1ba D.1a0，且a1)，满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是()A.(，2 B.2，)C.2，) D.(，2二、填空题6.化简_.7.函数y1在区间3，2上的值域是_.8.设偶函数g(x)a|xb|在(0，)上单调递增，则g(a)与g(b1)的大小关系是_.三、解答题9.已知函数f(x)，a为常数，且
10、函数的图象过点(1，2).(1)求a的值；(2)若g(x)4x2，且g(x)f(x)，求满足条件的x的值.10.(2019长沙一中月考)已知函数f(x)为奇函数.(1)求a的值；(2)判断函数f(x)的单调性，并加以证明.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019天津河西区质检)在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数yf(x)的图象大致为()12.(2019衡阳检测)当x(，1时，不等式(m2m)4x2x0，函数f(x)的图象经过点P，Q.若2pq36pq，则a_.14.已知定义在R上的函数f(x)2x，(1)若f(x)，求x的值；(2)若2tf(2t)mf(t)0对于t1，2恒成立，求实数m的取值范围.【新高考创新预测】15.(多填题)若f(x)是R上的奇函数，则实数a的值为_，f(x)的值域为_.12
