1、精准培优专练2020届高三好教育精准培优专练培优点七 解三角形一、正余弦定理的综合应用例1：的内角，的对边分别为，已知，则的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】在中，由正弦定理可得，即，又，因为，所以两边平方可得，由，可得，解得，当且仅当时等号成立，又，所以的最小值为故选B二、正余弦定理与三角函数图象性质的综合应用例2：已知函数（1）若，求函数的值域；（2）设的三个内角，所对的边分别为，若为锐角且，求的值【答案】（1）；（2）【解析】（1），由，得，即函数的值域为（2）由，得，又由，解得，在中，由余弦定理，解得，由正弦定理，得，三、三角函数模型及其应用例3：某动物园管理处计划利用空地建设一
2、个开放性的三角形场地（如图），测得，在此三角形场地中挖去一个正三角形形状（如图）的人工湖，该正三角形的顶点在场地的边界线上，则人工湖面积的最小值为 【答案】【解析】由题知为直角三角形，且，且，所以，设正三角形的边长为，则，而，所以，在中，在中，由正弦定理，得，解得，所以，解得而的面积（其中，）因为，所以的最小值为对点增分集训一、选择题1在中，角，的对边分别为，若，点是的重心，且，则的面积为（ ）ABC或D或【答案】D【解析】由正弦定理得，或，又，延长交于点，当时，的面积为；当时，的面积为，故选D2在中，已知，且为锐角若，且的面积为，则的周长为（ ）ABCD【答案】C【解析】中，解得或，又为锐角
3、，设内角，所对的边分别为，又的面积为，为锐角，由余弦定理得，解得，的周长为3在中，角，所对的边分别是，已知，且，则的面积是（ ）ABC或D或【答案】D【解析】依题意由，即或当时，由正弦定理得，由余弦定理得，解由组成的方程组得，所以三角形面积为当时，时，三角形为直角三角形，故三角形面积综上所述，三角形的面积为或，故选D4已知函数若锐角中角，所对的边分别为、，且，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】，由，解得，又为锐角三角形，故，于是的取值范围是5如图，公路，围成的是一块耕地，其中，在该块土地中，处有一小型建筑物，经测量，它到公路，的距离分别为，现在要过点修建一条直线公路，将三条公路围成
4、的区域建成一个工业园为节省耕地，则工业园的最小面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】过点作，垂足分别为，连接设，（，），则，由得，即又，解得，当且仅当，即，时取等号，即工业园的最小面积为6在中，若，则的最大值为（ ）ABCD【答案】B【解析】已知条件得，即，当且仅当时取等号，7在中，角、的对边是，若，则的最小值为（ ）ABCD【答案】D【解析】，由正弦定理化简得：，整理得，当且仅当，即时取等号可得的最小值为，故选D8若函数（，）的部分图象如图所示，分别是图象的最低点和最高点，其中若在锐角中，分别是角、的对边，且，则周长的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】由图象可得：的周期，即，得，又由
5、于，又将，代入，解得，由，或，解得或（舍去），由正弦定理，得，是锐角三角形，周长的取值范围为二、填空题9如图所示，在一个坡度一定的山坡的顶上有一高度为的建筑物，为了测量该山坡相对水平地面的坡角，在山坡的处测得，沿山坡前进到达处，又测得，根据以上数据可得 【答案】【解析】因为，在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，即，10在中，为的中点，若，则的最小值是 【答案】【解析】根据为的中点，若，得到，化简整理得，即，根据正弦定理得，进一步求得，令，构造函数，令，可知当时，的最小值是11在中，角，所对的边分别为，点为外接圆的圆心，若，且，则的最大值为 【答案】【解析】由，可得，即，化简可得，由正弦
6、定理可得圆半径为，即，根据余弦定理可知：，又，整理可得，又，得，解得或，当时，点在外部，且，所以，四点共圆，不满足题意，舍去，（当且仅当时取等号），即的最大值为12如图，在中，点在线段上，且，则的面积的最大值为 【答案】【解析】由，可得，则由，可知，则，由同角三角函数基本关系可知：设，（，），在中由余弦定理可得：，在中由余弦定理可得：，由于，故，即，整理可得，在中，由余弦定理可知：，则，代入式整理计算可得，由均值不等式的结论可得，故，当且仅当，时等号成立，即面积的最大值为三、解答题13在中，角，所对的边长分别为，且（1）求的值；（2）若，的面积为，求边【答案】（1）；（2）【解析】（1）由及余
7、弦定理得：，整理得，由余弦定理得（2）在中，又，由得，即，由，可得，由余弦定理得，14已知函数，（1）最小正周期及对称轴方程；（2）已知锐角的内角，的对边分别为，且，求边上的高的最大值【答案】（1），对称轴方程为；（2）【解析】（1），令，即，函数的对称轴方程为（2），即，设边上的高为，则，即，当且仅当时取等号，等号能成立，此时，的最大值为15如图，某市在海岛上建了一水产养殖中心在海岸线上有相距公里的、两个小镇，并且公里，公里，已知镇在养殖中心工作的员工有百人，镇在养殖中心的员工有百人现欲在之间建一个码头，运送来自两镇的员工去养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为（1）求的大小；（2）设，试确定的大小，使得单程运输总成本最少【答案】（1）；（2）【解析】（1）在中，（2）在中，由，得，设水路运输的每百人每公里的费用为元，陆路运输的每百人每公里的费用为元，则单程运输总费用，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增，时，取最小值，同时也取得最小值，此时，满足，所以点落在之间时，运输总成本最小17
