1、精准培优专练2020届高三好教育精准培优专练培优点八 平面向量一、平面向量的建系坐标化应用例1：在中，边上的高为，则的最小值为 【答案】【解析】以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立如图所示平面直角的坐标系，则，即，故当时，取得最小值为，此时二、平面向量中三点共线问题例2：设，是两个不共线的单位向量，若满足，且，则当最小时，在与的夹角的余弦值为 【答案】【解析】作，且，三点共线，如图所示，当时，最小，又，为单位向量，即与的夹角的余弦值为三、平面向量与三角形的四心问题例3：已知，是平面内不共线三点，是的外心，动点满足，则的轨迹一定通过的（ ）A内心B垂心C外心D重心【答案】D【解析】取边的中点，则
2、，由，可得，所以，即点的轨迹为三角形中边上的中线，故选D四、平面向量与三角函数结合例4：已知向量，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且（1）求函数的最小正周期；（2）的图象经过点，求函数在区间上的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意得，直线是图象的一条对称轴，解得，又，即的最小正周期是（2）图象过点，即，故，即，可得，故函数在上的取值范围为对点增分集训一、选择题1已知向量，其中，则的最小值为（ ）ABCD【答案】A【解析】，又，即的最小值为2在中，为的重心，过作直线分别交直线，于点，设，则（ ）ABCD【答案】B【解析】为的重心，又，三点共线，解得3若为所在平面内一点，且满
3、足，则的形状为（ ）A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等边三角形【答案】B【解析】，原式化为，即对角线构成平行四边形为矩形，为直角三角形4已知向量，若是实数，且，则的最小值为（ ）ABCD【答案】C【解析】，当时取等号5已知非零向量与满足且，则为（ ）A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等边三角形【答案】D【解析】 ，的角平分线与垂直，即，又，即，故三角形为等边三角形6在中，线段上的一点，且，则的最小值时，的模为（ ）ABCD【答案】C【解析】，三点共线，即，当且仅当，即，时取等号，可得7在平面内有和点，若，则点是的（ ）A重心B垂心C内心D外心【答案】D【解析】，即
4、，可得，故是的外心8是平面上定点，是平面内不共线三点，动点满足，则的轨迹一定通过的（ ）A外心B内心C重心D垂心【答案】B【解析】设为上的单位向量，为上的单位向量，则的方向为的角平分线的方向，又，所以与的方向相同，由，可得，所以点在上移动，故的轨迹一定是通过的内心，故选B9已知点是平面上一个定点，、是平面内不共线三点，动点满足，则动点一定通过的（ ）A内心B外心C重心D垂心【答案】D【解析】，可得，即点在边的高上，故点的轨迹经过的垂心10在平行四边形中，分别是，的中点，交于点，记，则（ ）ABCD【答案】B【解析】如图，分别是，的中点，三点共线，存在实数，使得，三点共线，存在实数，且，使得，即
5、，解得，故11如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，则的值是（ ）ABCD【答案】C【解析】以为原点，为轴，的垂线为轴，建立坐标系，设，则，解得，即12已知是的外心，若，则的最小值为（ ）ABCD 【答案】A【解析】如图，以所在直线为轴，过点作的垂线为轴，建立直角坐标系，则，的中垂线为，的中垂线为，求出两直线的交点坐标即圆心坐标，解得，即（当且仅当，即时，取等号）二、填空题13设，向量，若，则 【答案】【解析】向量，又，即14是所在平面上的一点，若，则是 三角形【答案】等腰【解析】，为等腰三角形15 设，与的夹角为，则的最小值为 【答案】【解析】，又与的夹角为，可作，如图所示，令，三点共线
6、，由图可知当时，的值最小，的最小值为16如图，是半径为的圆的直径，是圆上异于的，一点，是线段上靠近的三等分点，且，则的值为 【答案】【解析】如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，则圆：，设， 是线段上靠近的三等分点，解得，即，解得，即，故的值为三、解答题17已知向量，（1）若，求向量、的夹角；（2）求函数的图象的对称中心与对称轴【答案】（1）；（2）对称中心：，对称轴：，【解析】（1）设向量、的夹角为，当时，又，即向量、的夹角为（2）由题意得由，得，；由，得，所以函数图象的对称轴为，对称中心为，18已知向量，且函数（1）求函数的最大值以及取最大值时的取值集合；（2）在中，角，的对边分别为，且，求的面积【答案】（1）函数的最大值为，此时的取值集合为；（2）【解析】（1）向量，且函数，当，即，时，取最大值，函数的最大值为，此时的取值集合为（2），为的内角，由余弦定理得，即，又，故，得的面积14
