1、1 模型界定模型界定 本模型主要是归纳有关于机械能守恒定律的适用条件、表达形式、应用方法等问题 模型破解模型破解 1.适用条件适用条件 （i)内容内容 在只有重力（或系统内弹力）做功的情形下，物体的重力势能（或弹性势能）和动能发生相互转化，但总 的机械能保持不变. （ii）适用条件）适用条件 只有重力或弹力做功.可以从以下三个方面理解： 只受重力作用，例如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动，物体的机械能守恒. 受其他力，但其他力不做功，只有重力或弹力做功.例如物体沿光滑的曲面下滑，受重力、曲面的支持力 的作用，但曲面的支持力不做功，物体的机械能守恒. 其他力做功，但做功的代数和为零. 例例
2、.如图所示，光滑斜面固定在水平面上，斜劈 B 上表面水平且粗糙，物体 A 放在 B 的上表面上，由静 止释放后两物体一起下滑，则在物体下滑过程中 A.物体 B 对 A 的支持力不做功 B.物体 B 对 A 的摩擦力做负功 C.下滑过程中物体 A 的机械能守恒 D.任一时刻 A 所受支持力与所受摩擦力的瞬时功率之和为零 【答案】：CD 【解析】：从整体来看，两物体一起沿斜面以加速度 gsin 下滑再分析物体受力，除重力外还受到竖 直向上的支持力与水平向左的摩擦力，由于物体速度方向与支持力间成钝角、与摩擦力方向成锐角， 故对的支持力做负功、摩擦力做正功，皆错误由 a=gsin 知对的支持力与摩擦力
3、的合力必 与重力垂直于斜面方向上的分力相平衡，即此二力的合力方向必与速度方向垂直，瞬时功率为零即二力瞬 2 时功率之和为零、合力做功为零即此二力所做总功为零，正确 （iii）判定方法）判定方法 做功条件分析法：做功条件分析法： 应用系统机械能守恒的条件进行分析.分析物体或系统的受力情况（包括内力和外力） ，明确各力做功的情 况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则系统的机械能 守恒. 能量转化分析法：能量转化分析法： 从能量转化的角度进行分析.若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有 发生机械能的传递，机械能也没有转化成其他形
4、式的能（如内能增加） ，则系统的机械能守恒. 增减情况分析法：增减情况分析法： 直接从机械能的各种形式的能量的增减情况进行分析.若系统的动能与势能均增加或均减少，则系统的机械 能不守恒；若系统的动能不变，而势能发生了变化，或系统的势能不变，而动能发生了变化，则系统的机 械能不守恒；若系统内各个物体的机械能均增加或均减少，则系统的机械能不守恒. 典型过程典型过程 对一些绳子突然绷紧、物体间非弹性碰撞等，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒. 例.在竖直平面内，一根光滑金属杆弯成图示形状，相应的曲线方程为 2 2.5cos() 3 ykx （单位：m） ， 式中 k=1 m-1。将一光滑小环套在
5、该金属杆上，并从 x=0 处以 0 5/vm s的初速度沿杆向下运动，取重力 加速度 2 10/gm s，下列说法正确的是 A小环沿金属杆运动过程中，机械能不守恒 B小环运动到 2 xm 时的速度大小是 5m/s C小环运动到 2 xm 时的速度大小是5 3/m s D小环运动到 2 xm 时的速度大小是sm/354 【答案】：D 3 【解析】：环在运动中杆对其弹力方向始终与速度方向垂直，弹力不做功，只有重力做功，机械能守恒， 错误当 x=0 时 y1=-1.25m；当mx 2 时my 4 35 2 ，由机械能守恒 2 2 2 01 2 1 2 1 mvmgymvmgy，解 之有smv/354
6、，中正确 例例.下列关于机械能是否守恒的论述,正确的是（ ） A.做变速曲线运动的物体,机械能可能守恒 B.沿水平面运动的物体,机械能一定守恒 C.合外力对物体做功等于零时,物体的机械能一定守恒 D.只有重力对物体做功时,机械能一定守恒 【答案】：AD .表达形式与应用步骤表达形式与应用步骤 (i)表达形式表达形式 观点：守恒观点观点：守恒观点 E1=E2或 Ep1+Ek1=Ep2+Ek2 表示系统在初状态的机械能等于末状态的机械能常用于单个物体，应用时需要选参考平面（零势能面） 观点观点 II：转化观点：转化观点 Ek+Ep=0 表示系统动能的减少（或增加）等于势能的增加（或减少） 初、末态
7、高度可未知，但高度变化已知.，应 用时不需要选参考平面（零势能面） 观点观点 III:转移观点转移观点 E+EB=0 表示系统一部分 A 机械能的减少（或增加）等于另一部分 B 机械能的增加（或减少）.适用于系统，应用 时不需要选参考平面（零势能面） 4 (ii)应用步骤应用步骤 确定研究对象，即要明确以哪几个物体组成的系统为研究对象. 正确分析研究对象内各物体所受的力. 分析时应注意：重力、弹力、摩擦力都是成对出现的，要分清哪几个力是内力，哪几个力是外力. 看外力是否对物体做功，内力中有没有重力和弹力以外的力做功，由此即可判断系统的机械能是否守恒. 根据机械能守恒定律列出方程并求解. 例例.
8、如图所示，长度为 l 的轻绳上端固定在 O 点，下端系一质量为 m 的小球（小球的大小可以忽略） 。 （1）在水平拉力 F 的作用下，轻绳与竖直方向的夹角为，小球保持静止，画出此时小球的受力图，并 求力 F 的大小。 （2）由图示位置无初速度释放小球，求当小球通过最低点时的速度大小及轻绳对小球的拉力。不计空气 阻力。 【答案】：（1）mgtan（2）2(1 cos)vgl， 2 (32cos) v Tmgmmg l 【解析】：（1）受力图见右 根据平衡条件，应满足 cossinTmg TF 拉力大小F=mgtan （2）运动中只有重力做功，系统机械能守恒 2 1 (1 cos) 2 mglmv
9、 则通过最低点时，小球的速度大小 2(1 cos)vgl T F mg 5 根据牛顿第二定律 2 v Tmgm l 解得轻绳对小球的拉力 2 (32cos) v Tmgmmg l ，方向竖直向上 模型演练模型演练 1.光滑水平面上两小球a、b用不可伸长的松弛细绳相连。开始时a球静止，b球以一定速度运动直至绳被拉 紧，然后两球一起运动，在此过程中两球的总动量 (填“守恒”或“不守恒”)；机械能 (填“守恒”或“不守恒”)。 【答案】：守恒，不守恒 2.如图所示，间距为 l 的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为，导轨光滑且电阻忽略不计.场强 为 B 的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁场区域
10、的宽度为 d1，间距为 d2，两根质量均为 m、有效电阻 均匀为 R 的导体棒 a 和 b 放在导轨上，并与导轨垂直.（设重力加速度为 g） （1）若 d 进入第 2 个磁场区域时，b 以与 a 同样的速度进入第 1 个磁场区域，求 b 穿过第 1 个磁场区域过 程中增加的动能 K E. （2）若 a 进入第 2 个磁场区域时，b 恰好离开第 1 个磁场区域;此后 a 离开第 2 个磁场区域时，b 又恰好进 入第 2 个磁场区域.且 a、b 在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等.求 a 穿过第 2 个磁场区域 过程中，两导体棒产生的总焦耳热 Q. （3）对于第（2）问所述的运动情况，
11、求 a 穿出第 k 个磁场区域时的速率 v. 6 【答案】：（1） 1sink Emgd（2）mg(d1+d2)sin （3） 2 2 21 1 2 2 1 4 sin 8 mgRdB l d vv B l dmR （3）在无磁场区域 根据匀变速直线运动规律 v2-v1=gtsin 且平均速度 212 2 vvd t 有磁场区域 棒 a 受到合力 F=mgsin-BIl 感应电动势=Blv 感应电流 I= 2R 解得 F=mgsin- 2 2 2 B l R v 根据牛顿第二定律，在 t 到 t+t时间内 F vt m （11） 则有 2 2 sin 2 B l v vgt mR （12） 解
12、得 v1= v2=gtsin- 2 2 2 B l R d1 （13） 联列(13)式，解得 由题意知， 2 2 21 1 2 2 1 4 sin 8 mgRdB l d vv B l dmR 7 3.在场强为 B 的水平匀强磁场中，一质量为 m、带正电 q 的小球在 O 点静止释放，小球的运动曲线如图所 示.已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到 x 轴距离的 2 倍，重力加速度为 g.求： （1）小球运动到任意位置 P（x,y）处的速率 v. （2）小球在运动过程中第一次下降的最大距离 ym. （3）当在上述磁场中加一竖直向上场强为 E（ mg E q ）的匀强电场时，小球从 O 静止释放后
13、获得的最 大速率 vm. 【答案】：（1）2gy（2） 2 22 2 m m g y q B （3） 2 ()qEmg qB 且由知 2 mm vgy 由及 R=2ym 得 2 22 2 m m g y q B （3）小球运动如图所示， 8 由动能定理 （qE-mg）|ym|= 2 1 2 m mv 由圆周运动 qvmB+mg-qE=m 2 m v R 且由及R=2|ym|解得 vm= 2 ()qEmg qB 4.如图为某种鱼饵自动投放器中的投饵管装置示意图，其下半部 AB 是一长为 2R 的竖直细管，上半部 BC 是半径为 R 的四分之一圆弧弯管，管口沿水平方向，AB 管内有一原长为 R、下
14、端固定的轻质弹簧。投饵 时，每次总将弹簧长度压缩到 0.5R 后锁定，在弹簧上段放置一粒鱼饵，解除锁定，弹簧可将鱼饵弹射出去。 设质量为 m 的鱼饵到达管口 C 时，对管壁的作用力恰好为零。不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，且 锁定和解除锁定时，均不改变弹簧的弹性势能。已知重力加速度为 g。求： （1）质量为 m 的鱼饵到达管口 C 时的速度大小 v1; （2）弹簧压缩到 0.5R 时的弹性势能 Ep; （3）已知地面欲睡面相距 1.5R，若使该投饵管绕 AB 管的中轴线 OO-。在90角的范围内来回缓慢转动， 每次弹射时只放置一粒鱼饵，鱼饵的质量在 2 3 m到 m 之间变化，且均能落到水面
15、。持续投放足够长时间后， 鱼饵能够落到水面的最大面积 S 是多少？ 【答案】：（1）gR（2）mgR3（3）)25 . 8 ( 4 33 22 RR或 【解析】:(1)质量为 m 的鱼饵到达管口 C 时做圆周运动的向心力完全由重力提供,则 R mv mg 2 1 由 式解得gRv 1 9 2)弹簧的弹性势能全部转化为鱼饵的机械能,由机械能守恒定律有 2 1 2 1 )5 . 1 (mvRRmgEP 由(解得mgREP3 3)不考虑因缓慢转动装置对鱼饵速度大小的影响,质量为 m 的鱼饵离开管口 C 后做平抛运动,设经过 t 时间 落在水面上,离 OO的水平距离为 x1,由平抛运动规律有 2 2
16、1 5 . 4gtR 5 Rtvx 11 6 由式解得Rx4 1 5 6 7 当鱼饵的质量为 2m/3 时,设其到达管口的速度大小为 v2,由机械能守恒定律有 2 2 ) 3 2 ( 2 1 )5 . 1 ( 3 2 vmRRmgEP 8 由式解得 4 8 gRv2 2 9 质量为 2m/3 的鱼饵落到水面上时,设离 OO的水平距离为 x2,则 Rtvx 22 10 由得Rx7 2 5 9 10 鱼饵能落到水面的最大面积 S )25. 8( 4 33 )( 4 1 222 1 2 2 RRxxS或 .内力做功与系统机械能守恒内力做功与系统机械能守恒 对于系统来说，除重力外无其他外力做功只是系统
17、机械能守恒的必要条件之一，另一个重要条件是系统内 只有保守内力做功，非保守内力（如摩檫力）不做功或所做的总功为零，在这种情况下系统内各物体的动 能和势能可以相互转化，但它们的总量保持不变 系统内一对内力做功的规律有： （i）一对内力做功的代数和取决于力和在力的方向上发生的相对位移，跟参照物的选取无关 10 （ii）若内力为恒力，则一对内力做功的代数和数值上等于其中一个力和在力的方向上发生的相对位移大 小的乘积, 与参考系无关。 （iii）若两个物体在内力的方向上发生的相对位移为零，或者两个物体在内力方向上始终保持相对静止， 则该对内力做功的代数和为零。 （iv）将两物体间的一对内力类比于一对引
18、力或斥力，则当两物体远离时，类似于引力的一对内力做 负功，类似于斥力的一对内力做正功。 (v)系统内一对保守内力所做的总功等于系统内对应形式势能的减少量，如一对点电荷间静电力所做的总功 等于这一对点电荷间电势能的减少量： PFF EWW 例 5：如图所示，重球 m 用一条不可伸长的轻质细线拴住后悬于 O 点，重球置于一个斜面劈 M 上，用水 平力 F 向左推动斜劈 M 在光滑水平桌面上由位置甲匀速向左移动到位置乙，在此过程中，正确的说法是 （ ） AM、m 间的摩擦力对 m 不做功 BM、m 间的摩擦力对 m 做负功 CF 对 M 所做的功与 m 对 M 所做的功的绝对值相等 DM、m 间的弹
19、力对 m 所做的功与对 M 做的功的绝对值不相等 【答案】：C 【解析】： 因 m 相对 M 向上运动，故 m 受摩擦力方向沿斜面向下，而重球的速度方向垂直于细线斜向 左上方，故摩擦力对重球做正功，AB 皆错误；因 M 匀速运动，且只有力 F 及 m 对 M 的作用力做功，故 C 正确；在垂直于 M、m 之间的接触面的方向上，两物体未发生相对位移，则这对弹力所做的总功应为零， D 错误。 例 6.如图所示，质量分别为 2m 和 3m 的两个小球固定在一根直角尺的两端 A、B，直角尺的定点 O 处有光 滑的固定转动轴，AO、BO 的长分别为 2L 和 L，开始时直角尺的 AO 部分处于水平位置而
20、 B 在 O 的正下 方，让该系统由静止开始自由转动，求 11 （1）当 A 达到最低点时，A 小球的速度大小 v； （2）B 球能上升的最大高度 h。 （不计直角尺的质量） 【答案】：（1） 11 8 ) 2 (3 2 1 2 2 1 322 22 gL v v mvmLmgLmg解得（2）32L/25 （1）由 11 8 ) 2 (3 2 1 2 2 1 322 22 gL v v mvmLmgLmg解得 （2）设 B 球上升到最高时 OA 与竖直方向的夹角为 ，则有 25/7sin)sin1 (3cos22解得LmgLmg 则 B 球上升最大高度 h=L（1+sin）=32L/25 三模
21、型演练三模型演练 5.如图所示，弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为 m 的光滑弧形槽静止在光滑水平面上，底部与水平面平 滑连接，一个质量也为 m 的小球从槽高 h 处开始自由下滑 A在以后的运动过程中，小球和槽的动量始终守恒 B在下滑过程中小球和槽之间的相互作用力始终不做功 C被弹簧反弹后，小球和槽都做速率 不变的直线运动 D被弹簧反弹后，小球和槽的机械能守恒，小球能回到槽高 h 处 【答案】：C 例 6 题图 12 6.如图所示，物体 A 置于物体 B 上，一轻质弹簧一端固定，另一端与 B 相连，在弹性限度范围内，A 和B 一起在光滑水平面上做往复运动（不计空气阻力） ，并保持相对静止。则下列
22、说法正确的是（ ） A A 和 B 均做简谐运动。 B 作用在 A 上的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比。 C B 对 A 的静摩擦力对 A 做功，而 A 对 B 的静摩擦力对 B 不做功。 D B 对 A 的静摩擦力始终对 A 做正功，而 A 对 B 的静摩擦力始终对 B 做负功。 【答案】：AB 【解析】：先以 A、B 整体为研究对象。整体做简谐运动，由弹簧弹力提供回复力，即有 amMkxf)(， 得 mM kx a 。 然后以 A 为研究对象。A 做简谐运动的回复力显然只能是 B 对 A 的静摩擦力提供，所以 x mM mk maf 静 。 B 对 A 的静摩擦力随着 A 的运动有时做正
23、功，有时做负功。根据牛顿第三定律知，A 对 B 也有静摩擦力， 这个力也是有时做正功，有时做负功。故选 A、B。 7.如图所示，在一个粗糙水平面上，彼此靠近地放置两个带同种电荷的小物块。由静止释放后，两个物块 向相反方向运动，并最终停止。在物块的运动过程中，下列表述正确的是 练 6 图 13 A两个物块的电势能逐渐减少 B物块受到的库仑力不做功 C两个物块的机械能守恒 D. 物块受到的摩擦力始终小于其受到的库仑力 【答案】：A 8.如图所示，小车质量 M=4kg，车内壁 ABC 为一半径 R=2.4m 的半圆，车左侧紧靠墙壁，质量 m=1kg 的 小滑块，从距车壁 A 点正上方高度为 h=2.
24、6m 的 D 点，由静止下落后滑入车内，若不计一切摩檫，g 取 10m/s2。 （1 ）小滑块在车上由 A 滑到 C 的过程中，滑块与车的系统（ ） A.机械能不守恒. B.机械能守恒 C。动量守恒. D.水平动量守恒 (2)小滑块从 C 点滑出小车后 A.小滑块水平速度为零. B.小滑块竖直速度为零. 练 7 图 练 8 图 14 C.小滑块能上升到原高度. D. 小滑块不能上升到原高度 (3)求出小滑块经过车右端 C 点时相对地的速度大小。 【答案】：（1）B（2）D（3）6m/s （2）由于 m 始终未脱离 M 的圆弧轨道，故在垂直于接触面方向上，M 与 m 始终具有相同分速度，当 m
25、经过车右端时接触面的垂线方向变为水平,故此时二者在水平方向具有相同速度，即小滑块水平分速 度与车的速度相同。由于在从 BC 过程中系统的水平方向上动量守恒且水平方向上总动量不为零， A 错误。由于小滑块离开小车后小车获得了动能，且小滑块离开小车后其水平分速度不变，到达最高 点时动能不为零，故小车上升的高度一定比原高度小，C 错误 D 正确。至于 B 选项，可从（3）中计 算结果判定。 （3）小滑块 m 由 DB 过程，根据机械能守恒定律，有 mg（R+h）= 2 1 mv2，v=)(2hRg=10m/s。 m 由 BC，系统水平动量守恒，末状态 m 在水平方向与 M 有共同速度 v2， 根据动
26、量守恒定律 有 mv=（m+M）v2， v2=2m/s。 设 m 在 C 点的机械能为 Em，m 相对地面的速度为 v1，则根据系统机械能守恒定律 ： 2 1 mv2= 2 1 Mv22+Em， Em= 2 1 mv2 2 1 Mv22=50J8J=42J 又 m 的机械能 Em=mgR+ 2 1 mv12，v1= m mgREm)(2 =6m/s，即 m 离开 C 时的速度为 v1=6m/s。 9. 如图所示，一根质量可以忽略不计的刚性轻杆，一端为固定转轴，杆可在竖直平面内无摩擦的转动， 杆的中心点及另一端各固定一个小球和。已知两球质量相同，现用外力使杆静止在水平方向，然后撤 去外力，杆将摆
27、下，从开始运动到杆处于竖直方向的过程中 15 A.重力对球的冲量等于重力对球的冲量 B.杆的弹力对球做正功，对球做负功 C.杆的弹力对球做负功，对球做正功 D.杆的弹力对球和球均不做功 【答案】：AC 10.如图所示，一长为 2L 的轻杆中央有一光滑的小孔 O，两端各固定质量分别为 m 和 2m 的两小球，光滑 的铁钉穿过小孔垂直钉在竖直的墙壁上，将轻杆由水平位置静止释放，转到竖直位置，在转动的过程中， 忽略空气的阻力下列说法正确的是( ) A在竖直位置两球的速度大小均为 2gL B杆竖直位置时对 m 球的作用力向上，大小为 mg 2 3 C杆竖直位置时铁钉对杆的作用力向上，大小为mg 11
28、3 D由于忽略一切摩擦阻力，根据机械能守恒，杆一定能绕铁钉做完整的圆周运动 【答案】：C 【解析】：由机械能守恒定律可得：2mgLmgL 2mv2 mv2，可求得：v ，A 错误；对 m，由 1 2 1 2 2 3gl mgF1m可得：F1 mg，方向竖直向上，B 错误；对2m，F22mg2m得：F2mg，方向竖直 v2 l 1 3 v2 l 10 3 练 9 图 练 10 图 16 向上，因此，铁钉对杆的作用力为 F1F2mg，方向竖直向上，C 正确；由系统机械能守恒可知，当小 11 3 球 2m 摆至右侧与 O 等高时速度恰好为零 ，然后再回摆，不可能做完整的圆周运动，D 错误 11.如图所示，滑块 A、B 的质量均为 m，A 套在固定竖直杆上，A、B 通过转轴用长度为 L 的刚性轻杆连接， B 放在水平面上并靠着竖直杆，A、B 均静止。由于微小的扰动，B 开始沿水平面向右运动。不计一切摩擦， 滑块 A、B 视为质点。在 A 下滑的过程中，下列说法中正确的是 AA、B 组成的系统机械能守恒 B在 A 落地之前轻杆对 B 一直做正功 CA 运动到最低点时的速度为gL2 D当 A 的机械能最小时，B 对水平面的压力大小为 2mg 【答案】：AC 练 11 图
