1、3.轻绳、轻杆、接触面形成的临界与极值问题（i）轻绳形成的临界与极值由轻绳形成的临界状态通常有两种,一种是轻绳松弛与绷紧之间的临界状态,其力学特征是绳仍绷直但绳中张力为零;另一种是轻绳断裂之前的临界状态,其力学特征是绳中张力达到能够承受的最大值.（ii）轻杆形成的临界与极值与由轻绳形成的临界状态类似,一种杆对物体产生拉力与推力之间的临界状态,力学特征是该状态下杆对物体的作用力为零;另一种是轻杆能承受的最大拉力或最大压力所形成的临界状态.（iii）接触面形成的临界与极值由接触面形成的临界状态相对较多:接触面间分离形成的临界,力学特征是接触面间弹力为零接触面间滑动形成的临界.力学特征是接触面间静摩
2、擦力达到最大值接触面间翻转、滚动形成的状态，力学特征是接触面间弹力的等效作用点与瞬时转轴重合或说是接触面间弹力的作用线通过瞬时转轴例10.物体A质量为，用两根轻绳B、C连接到竖直墙上，在物体A上加一恒力F，若图中力F、轻绳AB与水平线夹角均为，要使两绳都能绷直，求恒力F的大小。例10题图【答案】【解析】：要使两绳都能绷直，必须，再利用正交分解法作数学讨论。作出A的受力分析图，由正交分解法的平衡条件：例11.如图所示，绳子AB能承受的最大拉力为1000N, 轻杆AC能承受的最大压力为2000N, 问：A点最多能悬挂多重的物体？例11题图【答案】1366N【解析】：以结点A为研究对象，作出其受力图
3、如图所示。例11答图A点受三个力作用而平衡，且FN和T的合力大小为G。若T取临界值时，G的最大值为GT；若FN取临界值时，G的最大值为GN，那么A点能悬挂的重物的最大值是GT和GN中的较小值。在如图所示的力三角形中，由三力平衡条件得：， 当FNmax = 2000N时， GN = FNmaxsin75/sin60= 2230N当Fmax =1000N时，GT = Fmaxsin75/sin45 =1366N. 当F最大时，重物的最大重力只能是1366N, 若挂上重2230N的重物时，AB绳早被拉断。例12.如图所示，质量均为M的两个木块A、B在水平力F的作用下，一起沿光滑的水平面运动，A与B的
4、接触面光滑，且与水平面的夹角为60，求使A与B一起运动时的水平力F的范围。BF60A例12题图【答案】0F【解析】： 当水平推力F很小时，A与B一起做匀加速运动，当F较大时，B对A的弹力FN竖直向上的分力等于A的重力时，地面对A的支持力FNA为零，此后，物体A将会相对B滑动。显而易见，本题的临界条件是水平力F为某一值时，恰好使A沿A与B的接触面向上滑动，即物体A对地面的压力恰好为零，受力分析如图。AFNFMgFxFy60例12答图例13鲜蛋储运箱中放有光滑的塑料蛋托架，架上排有整齐的卵圆形凹槽，如图所示图中为圆心，两点为水平槽口，角为半径与水平线之间的夹角已知汽车轮胎与柏油路面间的动摩擦因数为
5、，当运蛋的汽车急刹车时，为避免蛋从槽中滚出，图中角至少应为多少？例13题图【答案】【解析】：设蛋刚好不滚出的夹角为，对蛋进行受力分析，如图所示例13答图模型演练8.用一根长1m的轻质细绳将一副质量为1kg的画框对称悬挂在墙壁上，已知绳能承受的最大张力为，为使绳不断裂，画框上两个挂钉的间距最大为（取）练8图A B C D【答案】A9.一斜面放在水平地面上，倾角，一个质量为0.2kg的小球用细绳吊在斜面顶端，如图所示。斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计斜面与水平面的摩擦，当斜面以10m/s2的加速度向右运动时，求细绳的拉力及斜面对小球的弹力。（g取10m/s2）练9图【解析】 斜面由静
6、止向右加速运动过程中，斜面对小球的支持力将会随着a的增大而减小，当a较小时，小球受到三个力作用，此时细绳平行于斜面；当a增大时，斜面对小球的支持力将会减少，当a增大到某一值时，斜面对小球的支持力为零；若a继续增大，小球将会“飞离”斜面，此时绳与水平方向的夹角将会大于角。而题中给出的斜面向右的加速度a=10m/s2，到底属于上述哪一种情况，必须先假定小球能够脱离斜面，然后求出小球刚刚脱离斜面的临界加速度才能断定。设小球刚刚脱离斜面时斜面向右的加速度为a0，此时斜面对小球的支持力恰好为零，小球只受到重力和细绳的拉力，且细绳仍然与斜面平行。对小球受力分析如图所示。练9答图10.如图所示，在倾角为的粗
7、糙斜面上，有一个质量为m的物体被水平力F推着静止于斜面上，已知物体与斜面间的动摩擦因数为，且tan，若物体恰好不下滑，则推力F为多少？若物体恰好不上滑，则推力F为多少？(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)练10图【答案】mg mg【解析】：因为tan，F0时，物体不能静止在斜面上.当物体恰好不下滑时，受力如图甲所示，练10答图有mgsinFcosFf，FfFN，FNmgcosFsin解得Fmg当物体恰好不上滑时，受力如图乙所示，有mgsinFfFcos，FfFN，FNmgcosFsin解得Fmg. 4.暂态过程按照能否发生明显的形变，可将瞬时过程分为两类：一类是由不可伸长的细线、轻质细绳、轻质细杆、
8、刚性接触面连接的系统，他们的特征是在外力作用下产生的微小形变可以忽略，进而可以忽略外界条件变化时系统由一种稳定状态过渡到另外一种稳定状态的短暂的暂态过程，可认为系统是由一种稳定状态直接突变为另一种稳定状态。他们的不同之处轻质细线（或细绳）只能对物体施加拉力，且方向一定沿细线方向；轻质细杆对物体的作用力可以是拉力也可以是推力，作用力的方向却不一定沿杆的方向，具体方向与物体的运动状态有关；接触面的弹力只能是推力，方向一定与接触面（或其切平面）垂直。再一类是由轻弹簧、轻质弹性细线、橡皮筋连接的系统，他们的特征是外力作用时形变明显，外界条件变化时系统从一种稳定状态变化到另稳定状态时所需时间较长，状态的
9、变化是一个渐变过程，外界条件发生变化的瞬时前后他们的弹力相同。他们的不同之处在于弹簧可以是被拉伸也可以是被压缩的，其弹力的方向通常是沿其轴线方向的，而弹性细线与橡皮筋只能是被拉伸的，其弹力方向只能是沿其所在的直线。(i)从状态稳定后的物体运动性质来分析以细线为代表的暂态过程(ii)从弹力在瞬时不变来分析以弹簧为代表的暂态过程。例14.如图所示，将两相同的木块a、b置于粗糙的水平地面上，中间用一轻弹簧连接，两侧用细绳固系于墙壁。开始时a、b均静止。弹簧处于伸长状态，两细绳均有拉力，a所受摩擦力0，b所受摩擦力=0，现将右侧细绳剪断，则剪断瞬间 例14题图A大小不变 B方向改变 C仍然为零 D方向
10、向右【答案】AD例15.如图所示，质量为m的小球与轻质弹簧和水平细线相连，、的另一端分别固定于P、Q，当仅剪断、中的一根的瞬间，球的加速a应是 例15题图 A若剪断，则a=g，竖直向下B若剪断，则a=g tan，方向水平向左C若剪断，则a=，方向沿的延长线D若剪断，则a=g，竖直向上【答案】AB例16.如图所示，轻弹簧上端与木块1相连，下端与木块2相连，木块2与木块3接触但并不粘连，三个木块质量相同，整个系统置于水平放置的光滑木板上，并处于静止状态。现将木板沿水平方向突然抽出，设抽出后的瞬间，木块1、2、3的加速度大小分别为、。重力加速度大小为g。则有例16题图A ， B，C， D，【答案】D
11、模型演练11.如图所示，物体AB的质量分别为m、2m，中间用一轻质弹簧连接，用竖直向上的力向上拉A物体使AB一起向上以加速度a做匀加速直线运动。某时刻突然撤去拉力，则在撤去力F的瞬间两物体的加速度分别为練11图A. g g B.a a C.3g+2a D.3g-2a【答案】C【解析】：在刚撤去拉力时弹簧的张力未发生变化，则B物体所受外力不变，加速度不变。再取整体为研究对象，有3mg=-2ma+maA，故有aA=3g+2a，C正确。12.如右图，轻弹簧上端与一质量为的木块1相连，下端与另一质量为的木块2相连，整个系统置于水平放置的光滑木坂上，并处于静止状态。现将木板沿水平方向突然抽出，设抽出后的
12、瞬间，木块1、2的加速度大小分别为、重力加速度大小为g。则有练12图A. ， B. ，C. D. ，【答案】C【解析】:木板抽去的瞬间弹簧弹力不变,合力仍为零,加速度a1=0;木板与木块间弹力立即变为零,对整体由牛顿第二定律有,可知C正确.13.如图所示，质量为m的小球用水平轻弹簧系住，并用倾角为30的光滑木板AB托住，小球恰好处于静止状态当 木板AB突然向下撤离的瞬间，小球的加速度大小为 ()练13图A.O; B.大小为 ,方向竖直向下C.大小为 ,方向垂直于木板向下; D.大小为 方向水平向左【答案】C14.物块A1、A2、B1和B2的质量均为m，A1、A2用刚性轻杆连接，Bl、B2用轻质
13、弹黄连结，两个装置都放在水平的支托物上，处于平衡状态，如图所示.今突然撤去支托物，让物块下落，在除去支托物的瞬间，A1、A2受到的合力分别为FA1和FA2，B1、B2受到的合力分别为FB1和FB2，则练14图AFA1=0FA2=2mg，FB1=0，FB2=mgBFA1=mg，FA2=mg，FB1=0，FB2=2mgCFA1=mg，FA2=2mg，FB1=mg，FB2=mgDFA1=mg，FA2=mg，FB1=mg，FB2=mg.【答案】B15.如图所示，A、B两物体的质量分别为和2中间用轻质弹簧相连，A、B两物体与水平面间的动摩擦因数均为，在水平推力F作用下，A、B两物体一起以加速度向右做匀加
14、速直线运动。当突然撤去推力F的瞬间，A、B两物体的加速度大小分别为练15图A； B. ；C； D. ；【答案】C【解析】:对整体由牛顿第二定律有,撤去力F的瞬间,B物体受力情况不变,加速度不变.A物体所受外力中减少了一个力F,则有,联立上式可得,负号表示方向与a反向,故答案为C. 5.牵连物体的运动在中学物理的绳、杆、接触面的模型中，绳、杆的长度在物体运动过程中是被认为不变的，接触面是不发生形变的，由此可知1. 绳、直杆连接的两个物体，在任一时刻沿绳、杆方向上的速度分量相同。2. 接触的两物体在任一时刻沿垂直于接触面方向上的速度分量是相同的。例17.（11上海11.)如图，人沿平直的河岸以速度
15、行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行。当绳与河岸的夹角为，船的速率为例17题图(A) (B)(C) (D)【答案】C【解析】:将人对地的速度v沿平行于绳与垂直于绳两个方向上分解,而船运动的方向沿着绳,故船的运动速度与人沿着绳的分速度相等,由图中几何关系知C正确.例18.如图所示，A、B两小球用轻杆连接，竖直放置。由于微小的扰动，A球沿竖直光滑槽运动，B球沿水平光滑槽运动。则在A球到达底端前（ ）轻杆 A B 例18题图 滑槽 AA球的机械能先减小后增大B轻杆对A球做负功，对B球做正功CA球到达竖直槽底部时B球的速度为零DA球的机械能最小时轻杆对B球的作用力为
16、零【答案】AD例19.如图所示，一根长为L的轻杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，轻杆靠在一个质量为M、高为h的物块上若物块与地面摩擦不计，则当物块以速度v向右运动至杆与水平方向夹角为时，小球A的线速度大小为（ ）例19题图A B C D 【答案】A例20.如图所示，薄板形斜面体竖直固定在水平地面上，其倾角为37一个“”的物体B紧靠在斜面体上，并可在水平面上自由滑动而不会倾斜，B的质量为M2kg。一根质量为m=1kg。的光滑细圆柱体A搁在B的竖直面和斜面之间。现推动B以水平加速度a4m/s2向右运动，并带动A沿斜面方向斜向上运动。所有摩擦都不计，且不考虑圆柱体的滚动，g=10m/s
17、2。（sin37=0.6，cos37=0.8，）求：例20题图（1）圆柱体A的加速度；（2）B物体对A的推力F的大小；（3）当A被缓慢推至离地高为h1m的P处时停止运动，放手后A下滑时带动B一起运动，当到达斜面底端时B的速度为多大？【答案】【解析】：（1）A 的合加速度方向沿斜面向上，其水平向右的分加速度和B的加速度相同，则 例20答图模型演练16.（12福建21.）如图，用跨过光滑定滑轮的缆绳将海面上一搜失去动力的小船沿直线拖向岸边。已知拖动缆绳的电动机功率恒为P，小船的质量为m，小船受到的阻力大小恒为f，经过A点时的速度大小为V0，小船从A点沿直线加速运动到B点经历时间为t1，A、B两点间
18、距离为d,缆绳质量忽略不计。求：练16图（1）小船从A点运动到B点的全过程克服阻力做的功W1；（2）小船经过B点时的速度大小V1；（3）小船经过B点时的加速度大小a。【答案】 17.如图所示，用一根长杆和两个小定滑轮组合成的装置来提升质量为m的重物A为，长杆的一端放在地上，并且通过铰链联结形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方的O点处，在杆的中点C处拴一细绳，通过两个滑轮后挂上重物AC点与O点的距离为，滑轮上端B点距O点的距离为。现在杆的另一端用力，使其沿逆时针方向由竖直位置以角速度缓缓转至水平位置(转过了90角)则在此过程中，下列说法正确的是 练17图 A重物A做匀速直线运动 B重物A的速度
19、先增大后减小，最大速度是 C绳的拉力对A所做的功为 D绳的拉力对A所做的功为【答案】B【解析】：杆的中点的速度大小恒定，方向始终垂直于杆，其沿绳方向上的速度分量与物体的速度相同初始状态下vC与绳之间的夹角为，物体的速度为零当杆转动到某一位置时绳与杆垂直即vC与绳之间的夹角减小为，物体的速度达到最大等于vC，此后杆再转至水平位置的过程中v与绳之间的夹角又开始增大，物体A的速度再减小，故错误正确当杆转至水平位置时，v方向竖直向下，绳与杆之间的夹角满足，此时物体的速度即v沿绳方向上的速度分量为，由动能定理有，故有，皆错误18.电动机以恒定的功率P和恒定的转速n（r/s）卷动绳子,拉着质量为M的木箱在
20、粗糙不均水平地面上前进,如图所示,电动机卷绕绳子的轮子的半径为R,当运动至绳子与水平成角时,下述说法正确的是练18图A木箱将匀速运动,速度是2nRB木箱将匀加速运动,此时速度是2nR/cosC此时木箱对地的压力为Mg-D此过程木箱受的合外力大小和方向都在变化【答案】C19.如图所示，在水平面和竖直墙壁之间放置质量为m，高为h的木块A和质量为M、半径为R的球B，各接触面均光滑，木块A受到水平向右的外力F的作用，系统处于静止状态O为B的球心，C为A、B接触点，CO与竖直方向夹角=600现撤去水平外力F，则FACOBRh练19图A撤去F时，球B的加速度aB=0B撤去F时，木块A的加速度aAC撤去F时
21、，墙壁对球B的弹力FB=0D若球B着地前瞬间速速为v，则此时木块速度为【答案】BD20.如图所示,AB两小球用轻杆连接,A球只能沿竖直固定杆运动.开始时AB两球均静止,B球在水平面上靠着固定杆.由于微小抖动,B开始沿水平面向右运动,不计一切摩擦,设A在下滑过程中机械能最小时的加速度为a,则练20图A. B. C. D.【答案】C6.无弹性绳绷直过程物体与绳之间的作用在瞬时完成， 绳的形变不明显，物体的动量、能量发生了突变。(i)物体沿绳方向上的速度发生变化，作用结束时绳连接的两物体在沿绳方向上的速度分量相同。(ii)绳绷直的过程当于两物体沿绷直绳所在的方向发生了完全非弹性碰撞，有一部分机械能转
22、化为内能。例21.（11上海22A.)光滑水平面上两小球a、b用不可伸长的松弛细绳相连。开始时a球静止，b球以一定速度运动直至绳被拉紧，然后两球一起运动，在此过程中两球的总动量 (填“守恒”或“不守恒”)；机械能 (填“守恒”或“不守恒”)。【答案】守恒 不守恒 【解析】:两小球在光滑水平面上运动,水平方向上系统不受外力作用,满足动量守恒的条件.但绳突然绷直时有一部分动能转化为内能,机械能不守恒 .例22.如图所示，质量为m的小球与一个不可伸长的、长为L的轻绳连接，绳的另一端固定于O点，现将小球拉到与水平方向成300角的上方。（绳恰伸直），然后将小球自由释放，求小球到最低点时受到绳的拉力大小。
23、例22题图【答案】3.5mg【解析】：如图，例22答图小球释放后先做自由落体运动，绳子将牌松弛状态。当小球运动到O点所在水平线下方且与O点连线与水平方向成300角时，绳被瞬间拉直。在绳绷直前的瞬间小球的速度方向竖起向下，大小为例22.在光滑水平面上有一质量为m1=20kg的小车，通过一根不可伸长的轻绳与另一质量m2=25kg的拖车相连接，质量为m3=15kg的物体放在拖车的平板上，物体与平板间的动摩擦因数为0.2。开始时拖车静止，绳子没有被拉紧，如图所示。当小车以v0=3m/s的速度向前运动时，求m3在拖车上滑动的距离。（设m3不从拖车上滑落）例22题图【答案】【解析】：在绳绷直的瞬间，m1、
24、m2沿绳方向上获得了相同的速度，由m1、m2构成的系统动量守恒：在m3相对m2滑动的过程中，由m1、m2、m3构成的系统动量守恒；以绳绷直后作为初状态，三者达到共同速度时为末状态，由能量守恒有：联立可解得。模型演练21.如图所示，质量相等的两个小球A、B由不可伸长的细绳相连放在光滑的水平面上，绳处于松弛状态，现给B一个垂直于AB连线的水平速度v0，小球B开始运动，当绳绷直的瞬间練21图A. AB组成的系统动量守恒B. AB组成的系统在沿绳的方向动量守恒C. AB组成的系统机械能守恒D. AB组成的系统机械能不守恒【答案】ABD22.一质量为m的质点，系于长为L的细绳的一端，绳的另一端固定在空间
25、的O点，假定绳是不可伸长、柔软且无弹性的。今把质点从O点的正上方离O点的距离为的O1点以水平的速度抛出，如图所示。则轻绳绷直后的瞬间，该质点具有的速度大小为 V0O1LO练22图 A. B. C. D. 【答案】D23.如图所示，长L2m的不可伸长的轻绳一端固定于O点，另一端系一质量m=100g的小球。将小球从O点正下方h=0.4m处水平向右抛出，经一定的时间绳被拉直，此时绳与竖直方向的夹角，以后小球只以O为悬点在竖直平面内摆动，试求小球摆到最低点时绳所受的拉力。练23图【答案】1.83N【解析】：从抛出到小球将绳拉直的过程小球做平抛运动，设其初速度为v0：解之可得v0=4m/s, t=0.4
26、s绳绷直前瞬间小球获得的竖直方向上的速度，此时小球的合速度，方向与竖直方向成450角。练23答图24.如图所示，有一质量为m的小球P与穿过光滑水平板上小孔O的轻绳相连，用手捡着绳子另一端，使P在水平板内绕O作半径为a角速度为的匀速圆周运动.求：练24图(1) 此时拉绳的力多大；(2) 若将绳子从此状态迅速放松，后又拉直，使P绕O作半径为b的匀速圆周运动从放松到拉直这段过程经过了多长时间?(3)P作半径为b的匀速圆周运动时，绳子拉力又为多大?【答案】m2a /（a） 【解析】:（1）手拉绳子力的大小与绳拉球作匀速圆周运动向心力的大小是相等的，故有F=m2a练24答图故t=s/v=/（a）(3)将刚拉紧绳时球的速度a1分解为沿绳分量和垂直于绳分量。在绳被拉紧的短暂过程中，球损失了沿线的分速度，保留着垂直于绳的分速度作匀速圆周运动被保留的速度的大小为：v=va/b= a2/b所以绳子后来的拉力F为：。
