1、【类型综述】图形运动的过程中，求面积随某个量变化的函数关系，是中考数学的热点问题计算面积常见的有四种方法，一是规则图形的面积用面积公式；二是不规则图形的面积通过割补进行计算；三是同高（或同底）三角形的面积比等于对应边（或高）的比；四是相似三角形的面积比等于相似比的平方前两种方法容易想到，但是灵活使用第三种和第四种方法，可以使得运算简单【方法揭秘】一般情况下，在求出面积 S 关于自变量 x 的函数关系后，会提出在什么情况下（x 为何值时） ，S 取得最大值或最小值关于面积的最值问题，有许多经典的结论例 1，周长一定的矩形，当正方形时，面积最大例 2，面积一定的矩形，当正方形时，周长最小例 3，周
2、长一定的正多边形，当边数越大时，面积越大，极限值是圆例 4，如图 1，锐角ABC 的内接矩形 DEFG 的面积为 y，AD x，当点 D 是 AB 的中点时，面积 y 最大例 5，如图 2，点 P 在直线 AB 上方的抛物线上一点，当点 P 位于 AB 的中点 E 的正上方时，PAB 的面积最大例 6，如图 3，ABC 中，A 和对边 BC 是确定的，当 ABAC 时，ABC 的面积最大来源:Zxxk.Com图 1 图 2 图 3【典例分析】例 1 如图 1，已知梯形 OABC，抛物线分别过点 O（0，0） 、A（2，0） 、B（6，3） （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点 M 的坐标
3、；（2）将图 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线 OA、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点 O1、A 1、C 1、B 1，得到如图 2 的梯形 O1A1B1C1设梯形 O1A1B1C1 的面积为 S，A 1、 B1 的坐标分别为 (x1，y 1)、(x 2，y 2)用含 S 的代数式表示 x2x 1，并求出当 S=36 时点 A1 的坐标；（3）在图 1 中，设点 D 的坐标为 (1，3)，动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着线段 BC 运动，动点 Q 从点 D 出发，以与点 P 相同的速度沿着线段 DM 运动P、Q 两点同时出发，当点 Q 到达点M
4、 时，P 、Q 两点同时停止运动设 P、Q 两点的运动时间为 t，是否存在某一时刻 t，使得直线 PQ、直线AB、x 轴围成的三角形与直线 PQ、直线 AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由图 1 图 2思路点拨1第（2）题用含 S 的代数式表示 x2x 1，我们反其道而行之，用 x1，x 2 表示 S再注意平移过程中梯形的高保持不变，即 y2y 13通过代数变形就可以了2第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证3第（3）题的示意图，不变的关系是：直线 AB 与 x
5、 轴的夹角不变，直线 AB 与抛物线的对称轴的夹角不变变化的直线 PQ 的斜率，因此假设直线 PQ 与 AB 的交点 G 在 x 轴的下方，或者假设交点 G 在 x轴的上方满分解答（1）抛物线的对称轴为直线 ，解析式为 ，顶点为 M（1， ） 1x2184yx8（2） 梯形 O1A1B1C1 的面积 ，由此得到 由于122()3()6Sx123sx，所以 整理，得 因此213y2221184yxx2121()84得到 217xS当 S=36 时， 解得 此时点 A1 的坐标为（6，3） 214,.x12,8.x（3）设直线 AB 与 PQ 交于点 G，直线 AB 与抛物线的对称轴交于点 E，直
6、线 PQ 与 x 轴交于点 F，那么要探求相似的GAF 与GQE，有一个公共角G 在GEQ 中， GEQ 是直线 AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值在GAF 中，GAF 是直线 AB 与 x 轴的夹角，也为定值，而且 GEQ GAF因此只存在GQEGAF 的 可能，GQEGAF这时GAFGQEPQD由于 ， ，所以 解得 3tan4GAFtan5DQtP345t207t图 3 图 4考点伸展第（3）题是否存在点 G 在 x 轴上方的情况？如图 4，假如存在，说理 过程相同，求得的 t 的值也是相同的事实上，图 3 和图 4 都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图 3例 2 如图 1，抛物线
7、yax 2bx c（a、b、c 是常数，a0）的对称轴为 y 轴，且经过(0,0)和 两点，1(,)6a点 P 在该抛物线上运动，以点 P 为圆心的P 总经过定点 A(0, 2)（1）求 a、b、c 的值；（2）求证：在点 P运动的过程中，P 始终与 x 轴相交；（3）设P 与 x 轴相交于 M(x1, 0)、N (x2, 0)两点，当AMN 为等腰三角形时，求圆心 P 的纵坐标图 1 思路点拨1不算不知道，一算真奇妙，原来P 在 x 轴上截得的弦长 MN4 是定值2等腰三角形 AMN 存在三种情况，其中 MAMN 和 NANM 两种情况时，点 P 的纵坐标是相等的满分解答（1）已知抛物线的顶
8、点为(0,0)，所以 yax 2所以 b0，c0将 代入 yax 2，得 解得 （舍去了负值） (,)6a216a14（2）抛物线的解析式为 ，设点 P 的坐标为 4x2(,)x已知 A(0, 2)，所以 22411()6PA而圆心 P 到 x 轴的距离为 ，所以半径 PA圆心 P 到 x 轴的距离4x所以在点 P 运动的过程中，P 始终与 x 轴相交（3）如图 2，设 MN 的中点为 H，那么 PH 垂直平分 MN在 Rt PMH 中， ， ，所以 MH242416MAx2241()6Px所以 MH2因此 MN4，为定值学 *科网等腰AMN 存在三种情况：如图 3，当 AMAN 时，点 P
9、为原点 O 重合，此时点 P 的纵坐标为 0图 2 图 3如图 4，当 MAMN 时，在 RtAOM 中，OA2，AM4，所以 OM2 3此时 xOH 2 所以点 P 的纵坐标为 3 21(3)(1)4x如图 5，当 NANM 时，点 P 的纵坐标为也为 4图 4 图 5考点伸展如果点 P 在抛物线 上运动，以点 P 为圆心的P 总经过定点 B(0, 1)，那么在点 P 运动的过程中，214yxP 始终与直线 y1 相切这是因为：设点 P 的坐标为 2(,)x已知 B(0, 1)，所以 22211()()144Bxxx而圆心 P 到直线 y1 的距离也为 ，所以半径 PB圆心 P 到直线 y1
10、 的距离所以在点 P 运动的过程中，P 始终与直线 y1 相切例 3 如图 1，已知一次函数 yx7 与正比例函数 的图象交于点 A，且与 x 轴交于点 B43yx（ 1） 求点 A 和点 B 的 坐标；（2）过点 A 作 ACy 轴于点 C，过点 B 作直线 l/y 轴动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长的速度，沿 OCA 的 路 线 向 点 A 运 动 ； 同时直线 l 从点 B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线 l交 x 轴于点 R，交线段 BA 或 线 段 AO 于 点 Q当 点 P 到 达 点 A 时 ， 点 P 和 直 线 l 都 停 止 运 动 在 运 动过
11、 程 中 ， 设 动 点 P 运 动 的 时 间 为 t 秒 当 t 为何值时，以 A、 P、 R 为顶点的三角形的面积为 8？是否存在以 A、 P、 Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由思路点拨1把图 1 复制若干个，在每一个图形中解决一个问题2求APR 的面积等于 8，按照点 P 的位置分两种情况讨论事实上，P 在 CA 上运动时，高是定值 4，最大面积为 6，因此不存在面积为 8 的可能3讨论等腰三角形 APQ，按照点 P 的位置分两种情况讨论，点 P 的每一种位置又要讨论三种情况满分解答（1）解方程组 得 所以点 A 的坐标是( 3，4)7,43y
12、x3,4.y令 ，得 所以点 B 的坐标是(7，0) 0yxx（2）如图 2，当 P 在 OC 上运动时，0t 4由 ，得8APRACPOROSS 梯 形整理，得 解得 t2 或 t6（舍去） 如图 3，113+7)4()(7)82t（ 2810t当 P 在 CA 上运动时，APR 的最大面积为 6因此，当 t2 时，以 A、 P、 R 为顶点的三角形的面积为 8图 2 图 3 图 4我们先讨论 P 在 OC 上运动时的情形，0t 4如图 1，在AOB 中，B 45 ，AOB45，OB7， ，所以 OBAB 因此2ABOABAOBB如图 4，点 P 由 O 向 C 运动的过程中，OPBRRQ
13、，所以 PQ/x 轴因此AQP45保持不变， PAQ 越来越大，所以只存在 APQ AQP 的情况此时点 A 在 PQ 的垂直平分线上， OR2CA 6所以 BR1，t1我们再来讨论 P 在 CA 上运动时的情形，4t7在APQ 中， 为定值， ， 3cos57APt5203QOARt如图 5，当 APAQ 时，解方程 ，得 52073t418t如图 6，当 QPQA 时，点 Q 在 PA 的垂直平分线上，AP2(OR OP)解方程 ，72()4tt得 t如 7，当 PAPQ 时，那么 因此 解方程 ，得12cosAP2cosQAP5032(7)35tt2643t综上所述，t1 或 或 5 或
14、 时，APQ 是等腰三角形 41863图 5 图 6 图 7考点伸展当 P 在 CA 上，QPQA 时，也可以用 来求解2cosAPQ例 4 如图 1，在 RtABC 中，ACB90，AB13，CD/ AB，点 E 为射线 CD 上一动点（不与点 C 重合） ，联结 AE 交边 BC 于 F，BAE 的平分线交 BC 于点 G （1）当 CE3 时，求 SCEF S CAF 的值；（2）设 CEx ，AE y，当 CG2GB 时，求 y 与 x 之间的函数关系式；（3）当 AC5 时，联结 EG，若AEG 为直角三角形，求 BG 的长图 1 思路点拨1第（1）题中的CEF 和CAF 是同高三角
15、形，面积比等于底边的比2第（2）题中的ABC 是斜边为定值的形状不确定的直角三角形3第（3）题中的直角三角形 AEG 分两种情况讨论满分解答（1）如图 2，由 CE/AB，得 31EFCAB由于CEF 与CAF 是同高三角形，所以 SCEF S CAF 313（2）如图 3，延长 AG 交射线 CD 于 M 图 2由 CM/AB，得 所以 CM2AB26CGAB由 CM/AB，得EMABAM学% 科网又因为 AM 平分BAE，所以BAMEAM 所以EMA EAM所以 yEAEM26x 图 3 图 4（3）在 RtABC 中， AB13，AC 5，所以 BC12如图 4，当AGE90时，延长 E
16、G 交 AB 于 N，那么AGE AGN所以 G 是 EN 的中点所以 G 是 BC 的中点，BG 6如图 5，当AEG90时，由 CAF EGF，得 FCAEG由 CE/AB，得 FCBEA所以 又因为AFGBFA，所以AFGBFA G所以FAGB 所以GABB所以 GAGB作 GHAH ，那么 BHAH 132在 Rt GBH 中，由 cosB ，得 BG HG132694图 5 图 6考点伸展第（3）题的第种情况，当AEG90 时的核心问题是说理 GAGB如果用四点共圆，那么很容易如图 6，由 A、C、E、G 四点共圆，直接得到24上海版教材不学习四点共圆，比较麻烦一点的思路还有：如图
17、7，当AEG90时，设 AG 的中点为 P，那么 PC 和 PE 分别是 RtACG 和 RtAEG 斜边上的中线，所以 PCPE PAPG所以122，325如图 8，在等腰PCE 中，CPE 180 2( 45)，又因为CPE180(1 3) ，所以132(45)所以124所以24B所以GABB所以 GAGB图 7 图 8例 5 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 与 x 轴的交点分别为原点 O 和221534myxm点 A，点 B(2,n)在这条抛物线上（1）求点 B 的坐标；（2）点 P 在线段 OA 上，从点 O 出发向点 A 运动，过点 P 作 x 轴的垂线，与直线 OB 交于点
18、E，延长 PE到点 D，使得 EDPE ，以 PD 为斜边，在 PD 右侧作等腰直角三角形 PCD（ 当点 P 运动时，点 C、D 也随之运动） 当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时，求 OP 的长；若点 P 从点 O 出发向点 A 作匀速运动，速度为每秒 1 个单位，同时线段 OA 上另一个点 Q 从点 A 出发向点 O 作匀速运动，速度为每秒 2 个单位（当点 Q 到达点 O 时停止运动，点 P 也停止运动） 过 Q 作 x轴的垂线，与直线 AB 交于点 F，延长 QF 到点 M，使得 FMQF，以 QM 为斜边，在 QM 的左侧作等腰直角三角形 QMN（当点 Q 运动时
19、，点 M、N 也随之运动） 若点 P 运动到 t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻 t 的值图 1思路点拨1这个题目最大的障碍，莫过于无图了2把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有 t 的式子表示这些线段的长3点 C 的坐标始终可以表示为 (3t,2t)，代入抛物线的解析式就可以计算此刻 OP 的长4当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于 t 的方程就可以求解了满分解答(1) 因为抛物线 经过原点，所以 解得 ，221534myxm230m12m（舍去） 因此 所以点 B 的坐标为（2，4） 21m(2) 如图 4，设 OP 的长
20、为 t，那么 PE2t，EC2t，点 C 的坐标为(3 t, 2t)当点 C 落在抛物线上时，解得 25(3)tt9OP如图 1，当两条斜边 PD 与 QM 在同一条直线上时，点 P、Q 重合此时 3t10解得 103t如图 2，当两条直角边 PC 与 MN 在同一条直线上，PQN 是等腰直角三角形，PQPE此时解得 03t2t如图 3，当两条直角边 DC 与 QN 在同一条直线上，PQC 是等腰直角三角形，PQPD 此时解得 104t107t图 1 图 2 图 3考点伸展在本题情境下，如果以 PD 为直径的圆 E 与以 QM 为直径的圆 F 相切，求 t 的值如图 5，当 P、Q 重合时，两
21、圆内切， 103t如图 6，当两圆外切时， 32t图 4 图 5 图 6【变式训练】1 （2017 年贵州省毕节地区第 27 题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（1，0） ，B（4，0） ，C（ 0，4）三点，点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点 P，使POC 是以 OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点 P 运动到什么位置时，PBC 面积最大，求出此时 P 点坐标和PBC 的最大面积【答案】 （1）抛物线解析式为 y=x23x4；（2）存在满足条件的 P 点，其坐标为（ ，2
22、）317（3）P 点坐标为（2，6）时，PBC 的最大面积为 8【解析】试题分析：（1）由 A、B、C 三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由题意可知点 P在线段 OC 的垂直平分线上，则可求得 P 点纵坐标，代入抛物线解析式可求得 P 点坐标；（3）过 P 作PEx 轴 ，抛物线解析式为 y=x23x4；（2）作 OC 的垂直平分线 DP，交 OC 于点 D，交 BC 下方抛物线于点 P，如图 1，PO=PD，此时 P 点即为满足条件的点，C （0，4） ，D （0，2） ，P 点纵坐标为2，代入抛物线解析式可得 x23x4=2，解得 x= （小于 0，舍去）或 x= ，31
23、73+17存在满足条件的 P 点，其坐标为（ ，2） ；+（3）点 P 在抛物线上，可设 P（t，t 23t4） ，过 P 作 PEx 轴于点 E，交直线 BC 于点 F，如图 2，B（4，0） ，C（0，4） ，直线 BC 解析式为 y=x4，F（t，t 4） ，PF=（ t4） （t 23t4 ）=t 2+4t，S PBC =SPFC +SPFB = PFOE+ PFBE= PF（OE+BE）= PFOB= （t 2+4t）4= 2（t2）11122+8，当 t=2 时，S PBC 最大值为 8，此时 t23t 4=6，当 P 点坐标为（2，6）时，PBC 的最大面积为 8考点：二次函数综
24、合题2 （2017 年贵州省黔东南州第 24 题）如图，M 的圆心 M（1，2） ，M 经过坐标原点 O，与 y 轴交于点 A，经过点 A 的一条直线 l 解析式为：y= x+4 与 x 轴交于点 B，以 M 为顶点的抛物线经过 x 轴上点 D（2，0）和点 C（4，0） （1）求抛物线的解析式；学科￥网（2）求证：直线 l 是M 的切线；（3）点 P 为抛物线上一动点，且 PE 与直线 l 垂直，垂足为 E，PFy 轴，交直线 l 于点 F，是否存在这样的点 P，使PEF 的面积最小？若存在，请求出此时点 P 的坐标及PEF 面积的最小值；若不存在，请说明理由【答案】 （1）y= x2 x+
25、 （2）证明见解析（3） 941650412【解析】 x2 x+ ），则 F（x， x+4）然后可得到 PF 与 x 的函数关系式，最后利用二次函数的性质941612求解即可试题解析：（1）设抛物线的解析式为 y=a（x2）（x+4），将点 M 的坐标代入得：9a=2，解得：a=29抛物线的解析式为 y= x2 x+ 9416（2）连接 AM，过点 M 作 MGAD，垂足为 G把 x=0 代入 y= x+4 得： y=4，12MAG+OAB=90，即MAB=90l 是 M 的切线（3）PFE+FPE=90 ，FBD+PFE=90 ，来源:Z*xx*k.ComFPE=FBDtanFPE= 12P
26、F：PE：EF= ：2：15P（ ， ）18532PEF 的面积的最小值为= （ ） 2= 15735041考点：二次函数综合题3 （2017 年湖北省荆州市第 25 题） （本题满分 12 分）如图在平面直角坐标系中，直线 与 x34y轴、y 轴分别交于 A、 B 两点，点 P、 Q 同时从点 A 出发，运动时间为 秒.其中点 P 沿射线 AB 运动，速度为每秒 4 个单位长度，点 Q 沿射线 AO 运动，速度为每秒 5 个单位长度.以点 Q 为圆心，PQ 长为半径作Q.（1）求证：直线 AB 是Q 的切线；（2）过点 A 左侧 x 轴上的任意一点 C（m ，0）,作直线 AB 的垂线 CM
27、，垂足为 M，若 CM 与Q 相切于点 D，求 m 与 t 的函数关系式（不需写出自变量的取值范围） ；（3）在（2）的条件下，是否存在点 C，直线 AB、 CM、 y 轴与Q 同时相切，若存在，请直接写出此时点 C 的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】 （1）证明见解析（2）m=4 t 或 m=4 t（3）存在， （ ，0）或（ ，0）或35443827（ ，0）或（ ，0）2732【解析】（3）分两种情形讨论即可，一共有四个点满足条件试题解析：（1）如图 1 中，连接 QP在 Rt AOB 中，OA=4 ，OB=3，AB= =5，2OBAAP=4t，AQ=5t， ，45PQPAQ= BA
28、O，PAQ BAO，APQ= AOB=90 ，QPAB ，AB 是O 的切线（2）如图 2 中，当直线 CM 在O 的左侧与Q 相切时，设切点为 D，则四边形 PQDM 是正方形OC+AQCQ=4，m+5t t=4，154m=4 t（3）存在理由如下：如图 4 中，当Q 在 y 则的右侧与 y 轴相切时，3t+5t=4 ，t= ，12由（2）可知，m= 或 3827综上所述，满足条件的点 C 的坐标为（ ，0）或（ ，0）或（ ，0）或（ ，0） 38272732考点：一次函数综合题4 （2017 年山东省东营市第 25 题）如图，直线 y= x+ 分别与 x 轴、y 轴交于 B、C 两点，点
29、 A3在 x 轴上，ACB=90，抛物线 y=ax2+bx+ 经过 A， B 两点（1）求 A、B 两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点 M 是直线 BC 上方抛物线上的一点，过点 M 作 MHBC 于点 H，作 MDy 轴交 BC 于点 D，求DMH 周长的最大值【答案】 （1） （1，0）（2）y= x2+ x+ （3） 39+8【解析】性质可求得其最大值学&科 *网试题解析： （1）直线 y= x+ 分别与 x 轴、y 轴交于 B、C 两点，3B（3，0），C（0， ），OB=3，OC= ，3tanBCO= = ，BCO=60，ACB=90，ACO=30， =tan30= ，即
30、= ，解得 AO=1，AOC3AO3A（1，0）；（2）抛物线 y=ax2+bx+ 经过 A，B 两点，3 ，解得 ，309ab32ab抛物线解析式为 y= x2+ x+ ；33DM= t2+ t+ （ t+ ）= t2+ t= （t ） 2+ ，333334当 t= 时， DM 有最大值，最大值为 ，4此时 DM= = ，3+2349+8即DMH 周长的最大值为 考点：1、二次函数的综合应用，2、待定系数法，3、三角函数的定义，4 方程思想5 （2017 年四川省内江市第 28 题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 （a0）与 y 轴2yxbc交与点 C（0，3） ，与 x 轴交于 A、B
31、两点，点 B 坐标为（ 4，0） ，抛物线的对称轴方程为 x=1（1）求抛物线的解析式；（2）点 M 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动，同时点 N 从 B 点出发，在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设 MBN 的面积为 S，点 M 运动时间为 t，试求 S 与 t 的函数关系，并求 S 的最大值；（3）在点 M 运动过程中，是否存在某一时刻 t，使MBN 为直角三角形？若存在，求出 t 值；若不存在，请说明理由【答案】 （1） ；（2）S= ，运动 1 秒使PBQ 的面积最大，最大面积
32、是2384yx29105t；（3）t= 或 t= 907019【解析】（4，0） 、点 C（0，3） ，分别代入 （a0） ，得： ，解得： ，2yxbc423016ab3843abc所以该抛物线的解析式为： ；2384yx（2）设运动时间为 t 秒，则 AM=3t，BN =t，MB=63t由题意得，点 C 的坐标为（0，3） 在 RtBOC 中，BC= =5如图 1，过点 N 作 NHAB 于点 H，NHCO ，BHNBOC，234，即 ，HN= t，S MBN = MBHN= （63t ） t，即 S= =HNBOC35t312529105t，29(1)0t综上所述：t= 或 t= 时，
33、MBN 为直角三角形2417309考点：二次函数综合题；最值问题；二次函数的最值；动点型；存在型；分类讨论；压轴题6 （2017 年湖北省黄冈市第 24 题）已知：如图所示，在平面直角坐标系 xoy中，四边形 OABC是矩形，4,3OAC.动点 P从点 C出发，沿射线 B方向以每秒 2 个单位长度的速度运动；同时，动点 Q从点 出发，沿 x轴正半轴方向以每秒 1 个单 位长度的速度运动.设点 P、点 Q的运动时间为 ts.（1）当 ts时，求经过点 ,OPA 三点的抛物线的解析式；（2）当 时，求 tanQ的值；（3）当线段 P与线段 B相交于点 M，且 2BA时，求 ts的值；（4）连接 C
34、，当点 ,在运动过程中，记 CQP与矩形 OB重叠部分的面积为 S，求 与的函数关系式【答案】 （1） （2） （3）t=3（4）34yx3(024=(tStt ） ) ）【解析】 P 点的坐标为（2，3）设经过 O、P、 A 三点的抛物线的解析式为 y=ax（x-4 ）将 P（2，3）代入解析式中，则有 2（2-4 ）a=3a=- 4 23()4yxx依题意有 CP=2t，OQ=tBP=2t-4，AQ=4-tCBOABMPAMQ 2BPMAQBP=2AM，即 2t-4=2（4-t）解得 t=3（2）当 0t2 时，S= ；1=2t3CPQS当 2t4设线段 AB 与线段 PQ 相较于点 D，
35、过点 Q 作 QNCP 于点 N则BDP NQP BDPNQ来源:学科网 ZXXK当 t4 时，设线段 AB 与 CQ 相交于点 M，过点 Q 作 QNCP 于点 N则CBM CNQ 学科网 CBMNQ又CB=OA=4，CN=OQ=t，NQ=3 43tBM= 12所以 S= 124=CBMStA 3(024=(tStt ） ) ）考点：二次函数综合题7 （2017 年山东省日照市第 22 题）如图所示，在平面直角坐标系中，C 经过坐标原点 O，且与 x 轴，y轴分别相交于 M（4，0） ，N（0，3）两点已知抛物线开口向上，与C 交于 N，H，P 三点，P 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点
36、 C 且垂直 x 轴于点 D（1）求线段 CD 的长及顶点 P 的坐标；（2）求抛物线的函数表达式；（3）设抛物线交 x 轴于 A， B 两点，在抛物线上是否存在点 Q，使得 S 四边形 OPMN=8SQAB ，且QABOBN 成立？若存在，请求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1) CD= ， P（2，1） ；(2) y=x 24x+3；(3) 存在满足条件的点 Q，其坐标为（2，1） 3试题分析：（1）连接 OC，由勾股定理可求得 MN 的长，则可求得 OC 的长，由垂径定理可求得 OD 的长，在 Rt OCD 中，可求得 CD 的长，则可求得 PD 的长，可求得 P 点坐标
37、；（2）可设抛物线的解析式为顶点式，再把 N 点坐标代入可求得抛物线解析式；（ 3）由抛物线解析式可求得 A、B 的坐标，由 S 四边形OPMN=8SQAB 可求得点 Q 到 x 轴的距离，且点 Q 只能在 x 轴的下方，则可求得 Q 点的坐标，再证明QABOBN 即可试题解析：（1）如图，连接 OC，PD=PCCD= =1，523P（2，1） ；（2）抛物线的顶点为 P（2，1） ，设抛物线的函数表达式为 y=a（x2） 21，抛物线过 N（0，3） ，3=a（02） 21，解得 a=1，抛物线的函数表达式为 y=（x2） 21，即 y=x24x+3；（3）在 y=x24x+3 中，令 y=0 可得 0=x24x+3，解得 x=1 或 x=3，A（1，0） ，B（3，0） ，AB=31=2，ON=3 ，OM=4，PD=1，S 四边形 OPMN=SOMP +SOMN = OMPD+ OMON= 41+ 43=8=8SQAB ，1212ON=OB=3，OBN 为等腰直角三角形，QABOBN，综上可知存在满足条件的点 Q，其坐标为（2，1） 来源:学+科 +网考点：二次函数综合题来源:Z*xx*k.Com
