1、2017-2018学年广东省深圳市龙岗区高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）的值为（）ABCD2（5分）下列四条直线，倾斜角最大的是（）Ayx+1Byx+1Cy2x+1Dx13（5分）直线l将圆x2+y22x4y0平分，且与直线x+2y0垂直，则直线l的方程是（）A2xy0B2xy20Cx+2y30Dx2y+304（5分）把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的（）A2倍B2倍C倍D35（5分）如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，则等于（）ABCD6（5分
2、）若，且，则cos2的值为（）ABCD7（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A5+2B4+2C4+4D5+48（5分）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（）ABCD9（5分）在空间中，设m，n为两条不同直线，为两个不同平面，则下列命题正确的是（）A若m且，则mB若，m，n，则mnC若m且，则mD若m不垂直于，且n，则m必不垂直于n10（5分）已知直线4x3y+a0与C：x2+y2+4x0相交于A、B两点，且AOB120，则实数a的值为（）A3B10C11或21D3或1311（5分）如图正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF，则下
3、列结论中错误的是（）AACBEBEF平面ABCDC三棱锥ABEF的体积为定值DAEF的面积与BEF的面积相等12（5分）设，且+1，则在上的投影的取值范围（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡中的横线上）13（5分）如图是一个正方体盒子的平面展开图，在其中的两个正方形内标有数字1，2，3和3，要在其余正方形内分别填上1，2，使得按虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则A处应填 14（5分）直线l1：ax+3y+10，l2：2x+（a+1）y+20，若l1l2，则a 15（5分）函数的部分图象如图所示，则f（0） 16（5分）已知向量，实数m，n满
4、足，则（m3）2+n2的最大值为 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）化简求值（1）化简：；（2）求值：已知tan3，求18（12分）已知向量，向量，且（）求；（）若向量与平行，求的值19（12分）已知函数的最小值为2，最小正周期为（1）求yf（x）的单调递增区间；（2）将函数yf（x）图象向右平移个位后得到函数yg（x）的图象，求方程g（x）1的解20（12分）已知ABC的顶点A（3，2），C的平分线CD所在直线方程为y10，AC边上的高BH所在直线方程为4x+2y90（1）求顶点C的坐标；（2）求ABC的面积21（12分）如图是一个直
5、三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC已知A1B1B1C11，A1B1C190，AA14，BB12，CC13（1）设点O是AB的中点，证明：OC平面A1B1C1；（2）求二面角BACA1的大小；（3）求此几何体的体积22（12分）已知曲线C的方程为：ax2+ay22a2x4y0（a0，a为常数）（1）判断曲线C的形状；（2）设曲线C分别与x轴、y轴交于点A、B（A、B不同于原点O），试判断AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；（3）设直线l：y2x+4与曲线C交于不同的两点M、N，且|OM|ON|，求曲线C的方程2017-2018学年广东省深圳市龙岗区高一（下
6、）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）的值为（）ABCD【分析】利用诱导公式化简即可计算出答案【解答】解：sinsin（4）sin（）sin故选：A【点评】本题考查诱导公式的化简和计算能力，比较基础2（5分）下列四条直线，倾斜角最大的是（）Ayx+1Byx+1Cy2x+1Dx1【分析】由直线方程求出直线的斜率，再由直线的斜率得出直线的倾斜角【解答】解：直线方程yx+1的斜率为1，倾斜角为135，直线方程yx+1的斜率为1，倾斜角为45，直线方程y2x+1的斜率为2，倾斜角为（609
7、0），直线方程x1的斜率不存在，倾斜角为90所以A中直线的倾斜角最大故选：A【点评】本题考查了直线的倾斜角，也考查了直线的倾斜角和斜率的关系，是基础题目3（5分）直线l将圆x2+y22x4y0平分，且与直线x+2y0垂直，则直线l的方程是（）A2xy0B2xy20Cx+2y30Dx2y+30【分析】设出与已知直线垂直的直线方程，利用直线平分圆的方程，求出结果即可【解答】解：设与直线l：x+2y0垂直的直线方程：2xy+b0，圆C：x2+y22x4y0化为（x1）2+（y2）25，圆心坐标（1，2）因为直线平分圆，圆心在直线2xy+b0上，所以2112+b0，解得b0，故所求直线方程为2xy0故
8、选：A【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，直线与直线垂直的方程的设法，考查计算能力4（5分）把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的（）A2倍B2倍C倍D3【分析】直接应用公式化简可得球的半径扩大的倍数，然后求出体积扩大的倍数【解答】解：设原球的半径R，球的大圆的面积扩大为原来的2倍，则半径扩大为原来的倍，体积扩大为原来的2倍故选：B【点评】本题考查球的表面积、体积和球的半径的关系，是基础题5（5分）如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，则等于（）ABCD【分析】根据题意，先判断四边形ACDO是平行四边形，再根据平行四边形的向量合成法则即可得出结论【解
9、答】解：AB是圆O的直径，；又点C、D是半圆弧的两个三等分点，BACBOD60，又ACODR，四边形ACDO是平行四边形，+故选：A【点评】本题考查了平面向量的平行四边形合成法则，是基础题6（5分）若，且，则cos2的值为（）ABCD【分析】利用诱导公式求得sin，再利用二倍角公式求得cos2的值【解答】解：sin（）sin，且，cos212sin2，故选：C【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题7（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A5+2B4+2C4+4D5+4【分析】由题意判断几何体的形状，然后求解几何体的表面积即可【解答】解：几何体是组合体，下
10、部是半圆柱，上部是球，圆柱的底面半径与球的半径相同为1，圆柱的高为2，几何体的表面积为：12+12+22+24+4故选：C【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状8（5分）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（）ABCD【分析】根据平面向量数量积的定义与夹角公式，求出夹角的余弦值，再求夹角大小【解答】解：非零向量，满足|，且，则0，3+203+|cos20，3+|cos20，cos，与的夹角为故选：B【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与夹角运算问题，是基础题9（5分）在空间中，设m，n为两条不同直线，为两个不同平面，则下列命题正确的是（）A若m且
11、，则mB若，m，n，则mnC若m且，则mD若m不垂直于，且n，则m必不垂直于n【分析】在A中，m或m；在B中，m与n相交、平行或异面；在C中，由线面垂直的判定定理得m；在D中，m有可能垂直于n【解答】解：由m，n为两条不同直线，为两个不同平面，知：在A中，若m且，则m或m，故A错误；在B中，若，m，n，则m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，若m且，则由线面垂直的判定定理得m，故C正确；在D中，若m不垂直于，且n，则m有可能垂直于n，故D错误故选：C【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养10（5分）已知直线4x3y+a0与C：x2+y2+4x0相
12、交于A、B两点，且AOB120，则实数a的值为（）A3B10C11或21D3或13【分析】C：x2+y2+4x0的圆心C（2，0），半径r2，推导出圆心C（2，0）到直线4x3y+a0的距离：d2cos601，由此能求出a【解答】解：C：x2+y2+4x0的圆心C（2，0），半径r2，直线4x3y+a0与C：x2+y2+4x0相交于A、B两点，且AOB120，圆心C（2，0）到直线4x3y+a0的距离：d2cos601，解得a3或a13由4x3y+a0，得y，y可以在及y+1之间，a13，否则AOB为锐角，综上，a3故选：A【点评】本题考查实数值的求法，考查圆、点到直线的距离公式等基础知识，考
13、查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题11（5分）如图正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF，则下列结论中错误的是（）AACBEBEF平面ABCDC三棱锥ABEF的体积为定值DAEF的面积与BEF的面积相等【分析】连结BD，则AC平面BB1D1D，BDB1D1，点A、B到直线B1D1的距离不相等，由此能求出结果【解答】解：连结BD，则AC平面BB1D1D，BDB1D1，ACBE，EF平面ABCD，三棱锥ABEF的体积为定值，从而A，B，C正确点A、B到直线B1D1的距离不相等，AEF的面积与BEF的面积不相等，故D错误故选：D【点评】本题考查命题
14、真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养12（5分）设，且+1，则在上的投影的取值范围（）ABCD【分析】由条件求得|、 的值，可得在上的投影为x，分类讨论，求得的范围得答案【解答】解：，且+1，|，设在上的投影为x，则x|x，x当0时，x0，当0时，故当1时，取得最小值，为1，即1，0x1当0时，即，x0综上可得，x（，1，故选：D【点评】本题考点是向量在几何中的应用，综合考查了向量的线性运算，向量的数量积的运算及数量积公式，熟练掌握向量的相关公式是解题的关键，是中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡中的横线上）13（5分）如图是一个正
15、方体盒子的平面展开图，在其中的两个正方形内标有数字1，2，3和3，要在其余正方形内分别填上1，2，使得按虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则A处应填2【分析】由图可得，A与2所在的面为相对面，根据相反数的定义即可作答【解答】解：由图可得，A与2所在的面为相对面，相对面上的两数互为相反数，则A处应填2故答案为：2【点评】本题主要考查了棱柱的结构特征注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题14（5分）直线l1：ax+3y+10，l2：2x+（a+1）y+20，若l1l2，则a2或3【分析】由a（a+1）60，解得a经过验证即可得出【解答】解：由a（a+1）60，解得a2或3经过
16、验证可得：a2或3都满足l1l2，故答案为：2或3【点评】本题考查了向量平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题15（5分）函数的部分图象如图所示，则f（0）【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，从而求得f（0）的值【解答】解：根据函数的部分图象，A1，由 ，1再根据五点法作图可得 1+，f（x）sin（x+），f（0）sin（），故答案为：【点评】本题主要考查由函数yAsin（x+）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于基础题16（5分）已知向量，实数m，n满足，则（m3）2+n
17、2的最大值为16【分析】利用下了的运算法则及两向量相等的公式求出m，n；表示出（m3）2+n2，据三角函数的有界性求出三角函数的最值【解答】解：（m+n，mn）m+n，mnmsin（），n（m3）2+n2m2+n26m+9106sin（）sin1，1（m3）2+n2的最大值为16故答案为16【点评】本题考查下了的运算法则；向量相等的坐标公式；三角函数的有界性三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）化简求值（1）化简：；（2）求值：已知tan3，求【分析】（1）利用诱导公式化简所求即可得解；（2）利用同角三角函数基本关系式可求原式，由已知代入即
18、可计算得解【解答】解：（1）1；（2）tan3，【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18（12分）已知向量，向量，且（）求；（）若向量与平行，求的值【分析】（）利用向量的坐标运算法则，求出，利用向量垂直能求出x，从而，由此能求出求（）先求出，2，再由向量与平行，由此能求出的值【解答】解：（）（1分）由（2分）（5分）（）（1，2），（9，2）（19，2+2），2+（11，2）（7分）向量与2+平行，（19）211（2+2）0（9分）解得： （10分）（其余合理解法同样给分）【点评】本题考查向量的模的求法，考查实数
19、值的求法，考查向量的坐标运算法则、向量的模、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题19（12分）已知函数的最小值为2，最小正周期为（1）求yf（x）的单调递增区间；（2）将函数yf（x）图象向右平移个位后得到函数yg（x）的图象，求方程g（x）1的解【分析】（1）由题意求得A、的值，写出f（x）的解析式，再求f（x）的单调递增区间；（2）根据图象平移求得g（x）的解析式，利用g（x）1求得方程的解【解答】解：（1）函数的最小值为2，A2；又最小正周期为T，3；f（x）2sin（3x+），令+2k3x+2k，kZ，+kx+k，kZ；f（x）的单调递增区间为+k，
20、+k，kZ；（2）yf（x）图象向右平移个单位后得yf（x）2sin（3x+）2sin（3x）；g（x）2sin（3x）；令g（x）1，得sin（3x），3x+2k，或3x+2k，kZ；解得x+k，或x+k，kZ；g（x）1的解为x|x+k或x+k，kZ【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题20（12分）已知ABC的顶点A（3，2），C的平分线CD所在直线方程为y10，AC边上的高BH所在直线方程为4x+2y90（1）求顶点C的坐标；（2）求ABC的面积【分析】（1）由高BH所在直线方程为4x+2y90，可得kBH由于直线ACBH，可得kACkBH1即可得到kAC，进而得到
21、直线AC的方程，与CD方程联立即可得出点C的坐标；（2）求出直线BC的方程，进而得到点B的坐标，利用点到直线的距离公式可得点B到直线AC的距离，利用两点间的距离公式可得|AC|，利用三角形的面积计算公式可得【解答】解：（1）由高BH所在直线方程为4x+2y90，2直线ACBH，kACkBH1，直线AC的方程为，联立点C的坐标C（1，1）（2），直线BC的方程为，联立，即点B到直线AC：x2y+10的距离为又，【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、角平分线的性质、点到直线的距离公式、两点间的距离公式、三角形的面积计算公式，属于基础题21（12分）如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面
22、）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC已知A1B1B1C11，A1B1C190，AA14，BB12，CC13（1）设点O是AB的中点，证明：OC平面A1B1C1；（2）求二面角BACA1的大小；（3）求此几何体的体积【分析】（1）由题意及图形，利用直三棱柱的特点，因为O为中点连接OD，由题意利用借助线面垂直的判定定理证明OC平面A1B1C1； （2）由题意利用三垂线定理找到二面角的平面角，在三角形中进行求解二面角的大小；（3）由题意及图形利用体积分割的方法，把不规则的几何体分割成两个规则的几何体，利用相应的体积公式进行求解【解答】（1）证明：作ODAA1交A1B1于D，连C1D则ODBB1C
23、C1因为O是AB的中点，所以OD则ODC1C是平行四边形，因此有OCC1DC1D平面C1B1A1且OC平面C1B1A1，则OC面A1B1C1（2）如图，过B作截面BA2C2面A1B1C1，分别交AA1，CC1于A2，C2作BHA2C2于H，连CH因为CC1面BA2C2，所以CC1BH，则BH平面A1C又因为AB，BC，AC所以BCAC，根据三垂线定理知CHAC，所以BCH就是所求二面角的平面角因为BH，所以sinBCH，故BCH30，即：所求二面角的大小为30（3）因为BH，所以21所求几何体体积为【点评】此题重点考查了线面平行的判定定理，还考查了利用图形及三垂线定理求二面角的平面角的大小；还
24、考查了利用分割法求几何体的体积22（12分）已知曲线C的方程为：ax2+ay22a2x4y0（a0，a为常数）（1）判断曲线C的形状；（2）设曲线C分别与x轴、y轴交于点A、B（A、B不同于原点O），试判断AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；（3）设直线l：y2x+4与曲线C交于不同的两点M、N，且|OM|ON|，求曲线C的方程【分析】（1）把方程化为圆的标准方程，可得结论；（2）求出A，B的坐标，即可得出AOB的面积S为定值；（3）由圆C过坐标原点，且|OM|ON|，可得圆心（a，）在MN的垂直平分线上，从而求出a，再判断a2不合题意即可【解答】解：（1）将曲线C的方程化为（2分）可知
25、曲线C是以点（a，）为圆心，以为半径的圆（4分）（2）AOB的面积S为定值（5分）证明如下：在曲线C的方程中令y0得ax（x2a）0，得点A（2a，0），（6分）在曲线C的方程中令x0得y（ay4）0，得点B（0，），（7分）S|OA|OB|2a|4（为定值）（9分）（3）圆C过坐标原点，且|OM|ON|，圆心（a，）在MN的垂直平分线上，a2，（11分）当a2时，圆心坐标为（2，1），圆的半径为，圆心到直线l：y2x+4的距离d，直线l与圆C相离，不合题意舍去，（13分）a2，这时曲线C的方程为x2+y24x2y0（14分）【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题
