1、【题型综述】参数范围与最值问题解题策略一般有以下几种：（1） 几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质构造含参数的不等式，通过解不等式解出参数的范围和最值.(2)代数法：在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围学科网参数的范围问题，是解析几何中的一类常见问题，解决这类问题的关键是构造含参数的不等
2、式，通过解不等式求出参数的范围，韦达定理、曲线与方程的关系等在构造不等式中起着重要作用.【典例指引】类型一 参数范围问题例1 【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点.（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；（3）设点满足：存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。类型二 方程中参数范围问题例2.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线，抛物线（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线
3、l对称的相异两点P和Q.求证：线段PQ的中点坐标为；求p的取值范围.【解析】类型三 斜率范围问题例3【2016高考天津理数】（本小题满分14分）设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中 为原点，为椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围.【解析】类型四 离心率的范围问题例4.【2016高考浙江理数】（本题满分15分）如图，设椭圆（a1）.（I）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；（II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.【扩展链
4、接】1.若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线 的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有： ；若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线 的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有： ；同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距）结论：椭圆过焦点弦长公式：2.过椭圆左焦点的焦点弦为,则；过右焦点的弦.3. 抛物线与直线相交于且该直线与轴交于点，则有.4.设为过抛物线焦点的弦，直线的倾斜角为，则. . .；.；.；【新题展示】1【2019陕西第二次质检】已知、为椭圆（）的左右焦点，点为其上一点，且（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线交椭圆于、两点，且原点在以线段为直径的圆的外
5、部，试求的取值范围【思路引导】（1）由椭圆的定义及点在椭圆上，代入椭圆方程可求得a、b，进而得椭圆的标准方程。（2）设出A、B的坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理表示出，代入得到关于k的不等式，解不等式即可得k的取值范围。2【2019江苏南通基地学3月联考】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且左焦点F1到左准线的距离为4（1）求椭圆的方程；（2）若与原点距离为1的直线l1：与椭圆相交于A，B两点，直线l2与l1平行，且与椭圆相切于点M（O，M位于直线l1的两侧）记MAB，OAB的面积分别为S1，S2，若，求实数的取值范围【思路引导】（1）根据椭圆的几何性质得到关系，求解得
6、到标准方程；（2）设，根据可知，又与原点距离为，即，可把化简为：，根据与椭圆相切，联立可得，由此代入化简可得的范围，再进一步求解出的范围3【2019湖北恩施2月质检】在直角坐标系中，椭圆的方程为，左右焦点分别为，为短轴的一个端点，且的面积为设过原点的直线与椭圆交于两点，为椭圆上异于的一点，且直线，的斜率都存在，（1）求的值；（2）设为椭圆上位于轴上方的一点，且轴，、为曲线上不同于的两点，且，设直线与轴交于点，求的取值范围【思路引导】（1）设点A（x1，y1）、P（x2，y2），则B（-x1，-y1），将点A、P的坐标代入椭圆C的方程，得出两个等式，将两等式相减，结合直线PA、PB的斜率之积，得
7、出=，再利用RF1F2的面积为，得出bc，联立两个方程，可求出a、b的值；（2）设直线QM的斜率为k，结合已知条件得出直线QN的斜率为-k，将直线QM的方程与椭圆方程联立，求出点M的横坐标，利用-k代替k得出点N的横坐标，然后利用斜率公式得出直线MN的斜率为，于是得出直线MN的方程为yx+d，将直线MN的方程与椭圆C的方程联立，由0并结合点Q在直线MN的上方可得出d的取值范围4【2019江苏扬州一模】在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为、，线段的长为4点在椭圆上且位于第一象限，过点，分别作，直线，交于点（1）若点的横坐标为-1，求点的坐标；（2）直线与椭圆的另一交点为，且，求
8、的取值范围【思路引导】(1)先求出椭圆的方程，设直线的方程为分别表示出直线与的方程，联立方程组，求出点的坐标，利用点的横坐标为，求出，进而可求出点的坐标；(2 )联立消去，整理得，求得由，可得 ，结合即可求出的取值范围5【2019河北五个一名校联盟一诊】椭圆的离心率是，过点做斜率为的直线，椭圆与直线交于两点，当直线垂直于轴时（）求椭圆的方程；（）当变化时，在轴上是否存在点，使得是以为底的等腰三角形，若存在求出的取值范围，若不存在说明理由【思路引导】（）由椭圆的离心率为得到，于是椭圆方程为有根据题意得到椭圆过点，将坐标代入方程后求得，进而可得椭圆的方程（）假设存在点，使得是以为底的等腰三角形，则
9、点为线段AB的垂直平分线与x轴的交点由题意得设出直线的方程，借助二次方程的知识求得线段的中点的坐标，进而得到线段的垂直平分线的方程，在求出点的坐标后根据基本不等式可求出的取值范围6【2019辽宁沈阳一模】椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1求椭圆C的方程；点为椭圆C上一动点，连接，设的角平分线PM交椭圆C的长轴于点，求实数m的取值范围【思路引导】(1)由题意分别确定a，b的值求解椭圆方程即可；(2)利用角平分线到两边的距离相等，结合椭圆方程分类讨论求解实数m的取值范围即可7【2019广东惠州三调】已知椭圆过点，且左焦点与抛物线的焦点重合。（1）求
10、椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于不同的两点、，线段的中点记为，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。【思路引导】（1）由左焦点与抛物线的焦点重合，可以求得c，再利用椭圆过点求得、，从而求出椭圆方程。（2）由直线与椭圆交于不同的两点，可以由 得到k与m的不等关系，再由AG直线与直线垂直，斜率乘积为-1，得到k与m的等量关系，将等量关系代入不等关系来限定k的取值范围。8【2019陕西彬州一模】已知椭圆经过点，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆的右焦点为，右顶点为，经过点的动直线与椭圆交于两点，记和的面积分别为和，求的最大值【思路引导】（1）由题意，列出方程组，求的，即可得到椭圆的
11、标准方程；（2）由（1），设直线的方程为，联立方程组，利用根和系数的关系，得到，利用基本不等式，即可求解。【同步训练】1已知椭圆的右焦点为，离心率为.（1）若，求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于两点，分别为线段的中点，若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围.【思路点拨】(1)结合所给的数据计算可得，所以椭圆的方程为.(2)联立直线与椭圆的方程，集合韦达定理和平面向量数量积的坐标运算法则可得 ，结合离心率的范围可知则的取值范围是.【详细解析】2.在 中，顶点 所对三边分别是 已知 ,且 成等差数列.(1)求顶点 的轨迹方程；(2) 设顶点A的轨迹与直线 相交于不同的两点 ，如果存在过点
12、的直线 ,使得点 关于 对称，求实数 的取值范围【思路点拨】(1 ) 由 成等差数列，可得 ；结合椭圆的定义可求得 的轨迹方程为；(2)将 与椭圆方程联立，判别式大于得 .根据点关于直线 对称，得.讨论 ， 两种情况即可求出 的取值范围.【详细解析】3.已知A，B，C是椭圆C： （ab0）上的三点，其中点A的坐标为(2，0)，BC过椭圆的中心，且0，|2|(1)求椭圆C的方程；(2)过点(0，t)的直线l(斜率存在)与椭圆C交于P，Q两点，设D为椭圆C与y轴负半轴的交点，且|，求实数t的取值范围【思路点拨】（1）根据点的坐标求出a，然后根据求出b,即可求出椭圆方程。（2）根据题意设出直线方程，
13、与（1）中椭圆方程联立，设运用违达定理运算，求出t的取值范围。【详细解析】4.已知椭圆的方程是，双曲线的左右焦点分别为的左右顶点，而的左右顶点分别是的左右焦点.（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点，且与的两个交点A和B 满足，求的取值范围.【思路点拨】（1）求出椭圆的焦点即为双曲线的顶点，椭圆的顶点即为双曲线的焦点，即有a=，c=2，b=1即可得到双曲线方程；（2）联立直线方程和双曲线方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量的数量积的坐标运算，化简和整理得到k的不等式，解出求它们的交集即可【详细解析】5.已知椭圆：（）的短轴长为2，离心率是.（1
14、）求椭圆的方程；（2）点，轨迹上的点，满足，求实数的取值范围.【思路点拨】（1）由已知即可以解得a,b,c的值；（2）先要考虑斜率不存在的情况，斜率存在时，联立直线与椭圆，韦达定理结合向量的横坐标，得出，化简得，结合解得，从而解出的取值范围.学科网【详细解析】6.已知点为圆上一动点，轴于点，若动点满足（其中为非零常数）（1）求动点的轨迹方程；（2）若是一个中心在原点，顶点在坐标轴上且面积为8的正方形，当时，得到动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线相交于两点，当线段的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线斜率的取值范围.【思路点拨】(1)由相关点法得到Q点轨迹；（2）求出线段中点坐标，点在正方形内
15、（包括边界）的条件是即，解出来即可；【详细解析】7.已知曲线C上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=-3的距离小2（1）求曲线C的方程（2）过点F且斜率为K的直线L交曲线C于A、B两点，交圆F：于M、N两点（A、M两点相邻）若 ，当 时，求K的取值范围【思路点拨】（1）由动点P（x，y）到F（0，1）的距离比到直线y=3的距离小2，可得动点P（x，y）到F（0，1）的距离等于它到直线y=3的距离，利用抛物线的定义，即可求动点P的轨迹W的方程；（2）由题意知，直线l方程为y=kx+1，代入抛物线得x24kx4=0，利用条件，结合韦达定理，可得4k2+2= ，利用函数的单调性，即可求k的取值范
16、围；【详细解析】8.如图，椭圆C：=1（ab0）的右顶点为A（2，0），左、右焦点分别为F1、F2，过点A且斜率为的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点F1（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P且斜率大于的直线与椭圆交于M，N两点（|PM|PN|），若SPAM：SPBN=，求实数的取值范围【思路点拨】（1）利用已知条件列出方程组，求解椭圆的几何量，然后求解椭圆C的方程（2）利用三角形的面积的比值，推出线段的比值，得到设MN方程：y=kx1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程，利用韦达定理，求出，解出，将椭圆方程，然后求解实数的取值范围【详细解析】9.
17、如图，椭圆E的左右顶点分别为A、B，左右焦点分别为F1、F2，|AB|=4，|F1F2|=2，直线y=kx+m（k0）交椭圆于C、D两点，与线段F1F2及椭圆短轴分别交于M、N两点（M、N不重合），且|CM|=|DN|（1）求椭圆E的离心率；（2）若m0，设直线AD、BC的斜率分别为k1、k2，求的取值范围【思路点拨】（1）由，求出a，c，然后求解椭圆的离心率（2）设D（x1，y1），C（x2，y2）通过，结合0推出m24k2+1，利用韦达定理|CM|=|DN|求出直线的斜率，然后表示出，然后求解它的范围即可学#科网【详细解析】10.在平面直角坐标系xOy中，过椭圆右焦点F的直线x+y2=0交
18、C于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过点F的直线l（不与坐标轴垂直）与椭圆交于D，E两点，若在线段OF上存在点M（t，0），使得MDE=MED，求t的取值范围【思路点拨】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用平方差法，结合，设P（x0，y0），推出a2=3b2，结合c=2然后求解椭圆C的方程（2）设线段DE的中点为H，说明MHDE，设直线l的方程为y=k（x2），代入椭圆C的方程为，设D（x3，y3），E（x4，y4），利用韦达定理求出H的坐标，通过kMHkl=1，求解即可【详细解析】11.已知椭圆C：（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，
19、离心率为，点A在椭圆C上，|AF1|=2，F1AF2=60，过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点（）求椭圆C的方程；（）若P，Q的中点为N，在线段OF2上是否存在点M（m，0），使得MNPQ？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，说明理由【思路点拨】（1）利用离心率以及椭圆的定义，结合余弦定理，求解椭圆C的方程（2）存在这样的点M符合题意设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），设直线PQ的方程为y=k（x1），邻里中心与椭圆方程，利用韦达定理求出，通过点N在直线PQ上，求出N的坐标，利用MNPQ，转化求解m的范围【详细解析】12.已知椭圆E：mx2+y2=1（m0）（1）若椭圆E的右焦点坐标为，求m的值；（2）由椭圆E上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形若以B（0，1）为直角顶点的椭圆E的内接等腰直角三角形恰有三个，求m的取值范围【思路点拨】（1）化椭圆E的方程为标准形式，通过焦点在x轴上，求出a，然后求解m即可（2）设椭圆E内接等腰直角三角形的两直角边分别为BA，BC，设A（x1，y1），C（x2，y2），BA与BC不与坐标轴平行，且kBAkBC=10，设直线BA的方程为y=kx+1（k0），则直线BC的方程为，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式，通过数据线的形状，转化求解即可学%科网【详细解析】
