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本文(专题3.5 参数范围与最值不等建解不宜迟-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)(原卷版))为本站会员(hua****011)主动上传,七七文库仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知七七文库(发送邮件至373788568@qq.com或直接QQ联系客服),我们立即给予删除!

专题3.5 参数范围与最值不等建解不宜迟-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)(原卷版)

1、【题型综述】参数范围与最值问题解题策略一般有以下几种:(1) 几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质构造含参数的不等式,通过解不等式解出参数的范围和最值.(2)代数法:在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑:利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系;利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;利用基本不等式求出参数的取值范围;利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围学科网参数的范围问题,是解析几何中的一类常见问题,解决这类问题的关键是构造含参数的不等

2、式,通过解不等式求出参数的范围,韦达定理、曲线与方程的关系等在构造不等式中起着重要作用.【典例指引】类型一 参数范围问题例1 【2016高考江苏卷】(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系中,已知以为圆心的圆及其上一点.(1)设圆与轴相切,与圆外切,且圆心在直线上,求圆的标准方程;(2)设平行于的直线与圆相交于两点,且,求直线的方程;(3)设点满足:存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。类型二 方程中参数范围问题例2.【2016高考江苏卷】(本小题满分10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线,抛物线(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;(2)已知抛物线C上存在关于直线

3、l对称的相异两点P和Q.求证:线段PQ的中点坐标为;求p的取值范围.【解析】类型三 斜率范围问题例3【2016高考天津理数】(本小题满分14分)设椭圆()的右焦点为,右顶点为,已知,其中 为原点,为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点的直线与椭圆交于点(不在轴上),垂直于的直线与交于点,与轴交于点,若,且,求直线的斜率的取值范围.【解析】类型四 离心率的范围问题例4.【2016高考浙江理数】(本题满分15分)如图,设椭圆(a1).(I)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a、k表示);(II)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.【扩展链

4、接】1.若椭圆方程为,半焦距为,焦点,设过的直线 的倾斜角为,交椭圆于A、B两点,则有: ;若椭圆方程为,半焦距为,焦点,设过的直线 的倾斜角为,交椭圆于A、B两点,则有: ;同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为(a为长半轴,b为短半轴,c为半焦距)结论:椭圆过焦点弦长公式:2.过椭圆左焦点的焦点弦为,则;过右焦点的弦.3. 抛物线与直线相交于且该直线与轴交于点,则有.4.设为过抛物线焦点的弦,直线的倾斜角为,则. . .;.;.;【新题展示】1【2019陕西第二次质检】已知、为椭圆()的左右焦点,点为其上一点,且(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线交椭圆于、两点,且原点在以线段为直径的圆的外

5、部,试求的取值范围【思路引导】(1)由椭圆的定义及点在椭圆上,代入椭圆方程可求得a、b,进而得椭圆的标准方程。(2)设出A、B的坐标,联立直线方程与椭圆方程,利用韦达定理表示出,代入得到关于k的不等式,解不等式即可得k的取值范围。2【2019江苏南通基地学3月联考】如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率为,且左焦点F1到左准线的距离为4(1)求椭圆的方程;(2)若与原点距离为1的直线l1:与椭圆相交于A,B两点,直线l2与l1平行,且与椭圆相切于点M(O,M位于直线l1的两侧)记MAB,OAB的面积分别为S1,S2,若,求实数的取值范围【思路引导】(1)根据椭圆的几何性质得到关系,求解得

6、到标准方程;(2)设,根据可知,又与原点距离为,即,可把化简为:,根据与椭圆相切,联立可得,由此代入化简可得的范围,再进一步求解出的范围3【2019湖北恩施2月质检】在直角坐标系中,椭圆的方程为,左右焦点分别为,为短轴的一个端点,且的面积为设过原点的直线与椭圆交于两点,为椭圆上异于的一点,且直线,的斜率都存在,(1)求的值;(2)设为椭圆上位于轴上方的一点,且轴,、为曲线上不同于的两点,且,设直线与轴交于点,求的取值范围【思路引导】(1)设点A(x1,y1)、P(x2,y2),则B(-x1,-y1),将点A、P的坐标代入椭圆C的方程,得出两个等式,将两等式相减,结合直线PA、PB的斜率之积,得

7、出=,再利用RF1F2的面积为,得出bc,联立两个方程,可求出a、b的值;(2)设直线QM的斜率为k,结合已知条件得出直线QN的斜率为-k,将直线QM的方程与椭圆方程联立,求出点M的横坐标,利用-k代替k得出点N的横坐标,然后利用斜率公式得出直线MN的斜率为,于是得出直线MN的方程为yx+d,将直线MN的方程与椭圆C的方程联立,由0并结合点Q在直线MN的上方可得出d的取值范围4【2019江苏扬州一模】在平面直角坐标系中,椭圆:的离心率为,左、右顶点分别为、,线段的长为4点在椭圆上且位于第一象限,过点,分别作,直线,交于点(1)若点的横坐标为-1,求点的坐标;(2)直线与椭圆的另一交点为,且,求

8、的取值范围【思路引导】(1)先求出椭圆的方程,设直线的方程为分别表示出直线与的方程,联立方程组,求出点的坐标,利用点的横坐标为,求出,进而可求出点的坐标;(2 )联立消去,整理得,求得由,可得 ,结合即可求出的取值范围5【2019河北五个一名校联盟一诊】椭圆的离心率是,过点做斜率为的直线,椭圆与直线交于两点,当直线垂直于轴时()求椭圆的方程;()当变化时,在轴上是否存在点,使得是以为底的等腰三角形,若存在求出的取值范围,若不存在说明理由【思路引导】()由椭圆的离心率为得到,于是椭圆方程为有根据题意得到椭圆过点,将坐标代入方程后求得,进而可得椭圆的方程()假设存在点,使得是以为底的等腰三角形,则

9、点为线段AB的垂直平分线与x轴的交点由题意得设出直线的方程,借助二次方程的知识求得线段的中点的坐标,进而得到线段的垂直平分线的方程,在求出点的坐标后根据基本不等式可求出的取值范围6【2019辽宁沈阳一模】椭圆的左、右焦点分别为、,离心率为,过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1求椭圆C的方程;点为椭圆C上一动点,连接,设的角平分线PM交椭圆C的长轴于点,求实数m的取值范围【思路引导】(1)由题意分别确定a,b的值求解椭圆方程即可;(2)利用角平分线到两边的距离相等,结合椭圆方程分类讨论求解实数m的取值范围即可7【2019广东惠州三调】已知椭圆过点,且左焦点与抛物线的焦点重合。(1)求

10、椭圆的标准方程;(2)若直线与椭圆交于不同的两点、,线段的中点记为,且线段的垂直平分线过定点,求的取值范围。【思路引导】(1)由左焦点与抛物线的焦点重合,可以求得c,再利用椭圆过点求得、,从而求出椭圆方程。(2)由直线与椭圆交于不同的两点,可以由 得到k与m的不等关系,再由AG直线与直线垂直,斜率乘积为-1,得到k与m的等量关系,将等量关系代入不等关系来限定k的取值范围。8【2019陕西彬州一模】已知椭圆经过点,离心率为(1)求椭圆的标准方程;(2)若椭圆的右焦点为,右顶点为,经过点的动直线与椭圆交于两点,记和的面积分别为和,求的最大值【思路引导】(1)由题意,列出方程组,求的,即可得到椭圆的

11、标准方程;(2)由(1),设直线的方程为,联立方程组,利用根和系数的关系,得到,利用基本不等式,即可求解。【同步训练】1已知椭圆的右焦点为,离心率为.(1)若,求椭圆的方程;(2)设直线与椭圆相交于两点,分别为线段的中点,若坐标原点在以为直径的圆上,且,求的取值范围.【思路点拨】(1)结合所给的数据计算可得,所以椭圆的方程为.(2)联立直线与椭圆的方程,集合韦达定理和平面向量数量积的坐标运算法则可得 ,结合离心率的范围可知则的取值范围是.【详细解析】2.在 中,顶点 所对三边分别是 已知 ,且 成等差数列.(1)求顶点 的轨迹方程;(2) 设顶点A的轨迹与直线 相交于不同的两点 ,如果存在过点

12、的直线 ,使得点 关于 对称,求实数 的取值范围【思路点拨】(1 ) 由 成等差数列,可得 ;结合椭圆的定义可求得 的轨迹方程为;(2)将 与椭圆方程联立,判别式大于得 .根据点关于直线 对称,得.讨论 , 两种情况即可求出 的取值范围.【详细解析】3.已知A,B,C是椭圆C: (ab0)上的三点,其中点A的坐标为(2,0),BC过椭圆的中心,且0,|2|(1)求椭圆C的方程;(2)过点(0,t)的直线l(斜率存在)与椭圆C交于P,Q两点,设D为椭圆C与y轴负半轴的交点,且|,求实数t的取值范围【思路点拨】(1)根据点的坐标求出a,然后根据求出b,即可求出椭圆方程。(2)根据题意设出直线方程,

13、与(1)中椭圆方程联立,设运用违达定理运算,求出t的取值范围。【详细解析】4.已知椭圆的方程是,双曲线的左右焦点分别为的左右顶点,而的左右顶点分别是的左右焦点.(1)求双曲线的方程;(2)若直线与双曲线恒有两个不同的交点,且与的两个交点A和B 满足,求的取值范围.【思路点拨】(1)求出椭圆的焦点即为双曲线的顶点,椭圆的顶点即为双曲线的焦点,即有a=,c=2,b=1即可得到双曲线方程;(2)联立直线方程和双曲线方程,消去y,得到x的方程,运用韦达定理和判别式大于0,再由向量的数量积的坐标运算,化简和整理得到k的不等式,解出求它们的交集即可【详细解析】5.已知椭圆:()的短轴长为2,离心率是.(1

14、)求椭圆的方程;(2)点,轨迹上的点,满足,求实数的取值范围.【思路点拨】(1)由已知即可以解得a,b,c的值;(2)先要考虑斜率不存在的情况,斜率存在时,联立直线与椭圆,韦达定理结合向量的横坐标,得出,化简得,结合解得,从而解出的取值范围.学科网【详细解析】6.已知点为圆上一动点,轴于点,若动点满足(其中为非零常数)(1)求动点的轨迹方程;(2)若是一个中心在原点,顶点在坐标轴上且面积为8的正方形,当时,得到动点的轨迹为曲线,过点的直线与曲线相交于两点,当线段的中点落在正方形内(包括边界)时,求直线斜率的取值范围.【思路点拨】(1)由相关点法得到Q点轨迹;(2)求出线段中点坐标,点在正方形内

15、(包括边界)的条件是即,解出来即可;【详细解析】7.已知曲线C上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=-3的距离小2(1)求曲线C的方程(2)过点F且斜率为K的直线L交曲线C于A、B两点,交圆F:于M、N两点(A、M两点相邻)若 ,当 时,求K的取值范围【思路点拨】(1)由动点P(x,y)到F(0,1)的距离比到直线y=3的距离小2,可得动点P(x,y)到F(0,1)的距离等于它到直线y=3的距离,利用抛物线的定义,即可求动点P的轨迹W的方程;(2)由题意知,直线l方程为y=kx+1,代入抛物线得x24kx4=0,利用条件,结合韦达定理,可得4k2+2= ,利用函数的单调性,即可求k的取值范

16、围;【详细解析】8.如图,椭圆C:=1(ab0)的右顶点为A(2,0),左、右焦点分别为F1、F2,过点A且斜率为的直线与y轴交于点P,与椭圆交于另一个点B,且点B在x轴上的射影恰好为点F1(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点P且斜率大于的直线与椭圆交于M,N两点(|PM|PN|),若SPAM:SPBN=,求实数的取值范围【思路点拨】(1)利用已知条件列出方程组,求解椭圆的几何量,然后求解椭圆C的方程(2)利用三角形的面积的比值,推出线段的比值,得到设MN方程:y=kx1,M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程,利用韦达定理,求出,解出,将椭圆方程,然后求解实数的取值范围【详细解析】9.

17、如图,椭圆E的左右顶点分别为A、B,左右焦点分别为F1、F2,|AB|=4,|F1F2|=2,直线y=kx+m(k0)交椭圆于C、D两点,与线段F1F2及椭圆短轴分别交于M、N两点(M、N不重合),且|CM|=|DN|(1)求椭圆E的离心率;(2)若m0,设直线AD、BC的斜率分别为k1、k2,求的取值范围【思路点拨】(1)由,求出a,c,然后求解椭圆的离心率(2)设D(x1,y1),C(x2,y2)通过,结合0推出m24k2+1,利用韦达定理|CM|=|DN|求出直线的斜率,然后表示出,然后求解它的范围即可学#科网【详细解析】10.在平面直角坐标系xOy中,过椭圆右焦点F的直线x+y2=0交

18、C于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为(1)求椭圆C的标准方程;(2)设过点F的直线l(不与坐标轴垂直)与椭圆交于D,E两点,若在线段OF上存在点M(t,0),使得MDE=MED,求t的取值范围【思路点拨】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),利用平方差法,结合,设P(x0,y0),推出a2=3b2,结合c=2然后求解椭圆C的方程(2)设线段DE的中点为H,说明MHDE,设直线l的方程为y=k(x2),代入椭圆C的方程为,设D(x3,y3),E(x4,y4),利用韦达定理求出H的坐标,通过kMHkl=1,求解即可【详细解析】11.已知椭圆C:(ab0)的左右焦点分别为F1,F2,

19、离心率为,点A在椭圆C上,|AF1|=2,F1AF2=60,过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P,Q两点()求椭圆C的方程;()若P,Q的中点为N,在线段OF2上是否存在点M(m,0),使得MNPQ?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,说明理由【思路点拨】(1)利用离心率以及椭圆的定义,结合余弦定理,求解椭圆C的方程(2)存在这样的点M符合题意设P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0),设直线PQ的方程为y=k(x1),邻里中心与椭圆方程,利用韦达定理求出,通过点N在直线PQ上,求出N的坐标,利用MNPQ,转化求解m的范围【详细解析】12.已知椭圆E:mx2+y2=1(m0)(1)若椭圆E的右焦点坐标为,求m的值;(2)由椭圆E上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形若以B(0,1)为直角顶点的椭圆E的内接等腰直角三角形恰有三个,求m的取值范围【思路点拨】(1)化椭圆E的方程为标准形式,通过焦点在x轴上,求出a,然后求解m即可(2)设椭圆E内接等腰直角三角形的两直角边分别为BA,BC,设A(x1,y1),C(x2,y2),BA与BC不与坐标轴平行,且kBAkBC=10,设直线BA的方程为y=kx+1(k0),则直线BC的方程为,联立直线与椭圆方程,利用韦达定理以及弦长公式,通过数据线的形状,转化求解即可学%科网【详细解析】