1、专题15 圆锥曲线中的椭圆问题 1、【2022年全国甲卷】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为13，A1,A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点若BA1BA2=-1，则C的方程为（）Ax218+y216=1Bx29+y28=1Cx23+y22=1Dx22+y2=12、【2022年全国甲卷】椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称若直线AP,AQ的斜率之积为14，则C的离心率为（）A32B22C12D133、【2022年新高考1卷】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为12过F
2、1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则ADE的周长是_4、【2022年新高考2卷】已知直线l与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且|MA|=|NB|,|MN|=23，则l的方程为_5、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ）ABCD26、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）ABCD7、（2021年全国新高考卷数学试题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）A13B12C9D68、（2021年全
3、国高考甲卷数学（理）试题）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为_9、【2019年高考全国理】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点若，则C的方程为ABCD10、【2019年高考北京理】已知椭圆（ab0）的离心率为，则Aa2=2b2B3a2=4b2Ca=2bD3a=4b题组一、椭圆的离心率1-1、（2022山东淄博高三期末）已知椭圆的右焦点为F，上顶点为B，直线BF与C相交于另一点A，点A在x轴上的射影为，O为坐标原点，若，则C的离心率为（ ）ABCD1-2、（2021河北保定市高三二模）已知、是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于、两点，
4、若，则该椭圆的离心率为（ ）ABCD1-3、（2021山东潍坊市高三三模）已知椭圆：（）的左，右焦点分别为，点，在椭圆上，且满足，则椭圆的离心率为_1-4、（2021河北沧州市高三二模）（多选题）设同时为椭圆与双曲线的左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为为坐标原点，若（ ）A，则B，则C，则的取值范围是D，则的取值范围是1-5、（2022江苏如东高三期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为（ ）ABCD题组二、椭圆性质的综合性问题2-1、（2022河北张家口高三期末）（多选题）已知为椭圆的左右焦点
5、，直线与椭圆交于两点，过点向轴作垂线，垂足为，则（ ）A椭圆的离心率为B四边形的周长一定是C点与焦点重合时，四边形的面积最大D直线的斜率为2-2、（2022山东德州高三期末）（多选题）已知椭圆的左右焦点分别为，过点的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则下列说法正确的是（ ）A椭圆的短轴长为B当最大时，C椭圆离心率为D面积最大值为2-3、（2022江苏海门高三期末）（多选题）已知椭圆的焦点为、，点在椭圆的内部，点在椭圆上，则（ ）AB椭圆的离心率的取值范围为C存在点使得D2-4、（2021全国高三专题练习）（多选题）设椭圆的的焦点为，是上的动点，则下列结论正确的是（ ）A离心率B的最大值
6、为3C面积的最大值为D的最小值为22-5、（2021山东泰安市高三三模）（多选题）已知椭圆的左右焦点分别为 直线与圆相切于点，与椭圆相交于两点，点在轴上方，则（ ）A弦长的最大值是B若方程为，则C若直线过右焦点，且切点恰为线段的中点，则椭圆的离心率为D若圆经过椭圆的两个焦点，且，设点在第一象限，则的周长是定值1、（2022湖北恩施土家族苗族高中高三期末）曲线的方程是，则曲线的形状是（ ）A圆B椭圆C线段D直线2、（2021山东泰安市高三其他模拟）已知椭圆C的中心在坐标原点，右焦点F为直线与x轴的交点，且在经过点F的所有弦中，最短弦的长度为，则C的方程为_3、(2022江苏如皋期初考试)椭圆与关
7、系为（ ）A有相等的长轴长B有相等的离心率C有相同的焦点D有相等的焦距4、（2022山师大附中高三模拟）已知椭圆（ab0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且AFBF，设，且，则该椭圆的离心率e的取值范围为（）ABCD5、（2022湖北江岸高三期末）已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为e，下列说法正确的是（ ）A当时，椭圆C上恰好有6个不同的点，使得为直角三角形B当时，椭圆C上恰好有2个不同的点，使得为等腰三角形C当时，椭圆C上恰好有6个不同的点，使得为直角三角形D当时，椭圆C上恰好有2个不同的点，使得为等腰三角形6、（2022江苏如东高三期末）（多选题）记椭圆与椭圆内部重
8、叠区域的边界为曲线C，P是曲线C上任意一点，则（ ）A椭圆C1与椭圆C2的离心率相等B曲线C关于yx对称CP到点(1，0)，(1，0)，(0，1)，(0，1)的距离之和为定值DP到原点的距离的最大值为7、（2022河北深州市中学高三期末）设A1，A2，B1分别是椭圆的左、右、上顶点，O为坐标原点，D为线段OB1的中点，过A2作直线A1D的垂线，垂足为H若H到x轴的距离为169OD，则C的离心率为_8、（2022湖北高三期末）斜率为k的直线l与椭圆相交于A，B两点，点为线段的中点，则_专题15 圆锥曲线中的椭圆问题 1、【2022年全国甲卷】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为
9、13，A1,A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点若BA1BA2=-1，则C的方程为（）Ax218+y216=1Bx29+y28=1Cx23+y22=1Dx22+y2=1【答案】B【解析】解：因为离心率e=ca=1-b2a2=13，解得b2a2=89，b2=89a2，A1,A2分别为C的左右顶点，则A1(-a,0),A2(a,0)，B为上顶点，所以B(0,b).所以BA1=(-a,-b),BA2=(a,-b)，因为BA1BA2=-1所以-a2+b2=-1，将b2=89a2代入，解得a2=9,b2=8，故椭圆的方程为x29+y28=1.故选：B.2、【2022年全国甲卷】椭圆C:x2a2+y2
10、b2=1(ab0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称若直线AP,AQ的斜率之积为14，则C的离心率为（）A32B22C12D13【答案】A【解析】解：A-a,0，设Px1,y1，则Q-x1,y1，则kAP=y1x1+a,kAQ=y1-x1+a，故kAPkAQ=y1x1+ay1-x1+a=y12-x12+a2=14，又x12a2+y12b2=1，则y12=b2a2-x12a2，所以b2a2-x12a2-x12+a2=14，即b2a2=14，所以椭圆C的离心率e=ca=1-b2a2=32.故选：A.3、【2022年新高考1卷】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)，C的上顶点为A
11、，两个焦点为F1，F2，离心率为12过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则ADE的周长是_【答案】13【解析】椭圆的离心率为e=ca=12，a=2c，b2=a2-c2=3c2，椭圆的方程为x24c2+y23c2=1，即3x2+4y2-12c2=0，不妨设左焦点为F1，右焦点为F2，如图所示，AF2=a，OF2=c，a=2c，AF2O=3，AF1F2为正三角形，过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE为线段AF2的垂直平分线，直线DE的斜率为33，斜率倒数为3， 直线DE的方程：x=3y-c，代入椭圆方程3x2+4y2-12c2=0，整理化简得到：13y2-63
12、cy-9c2=0，判别式=63c2+4139c2=6216c2，CD=1+32y1-y2=213=264c13=6， c=138， 得a=2c=134， DE为线段AF2的垂直平分线，根据对称性，AD=DF2，AE=EF2，ADE的周长等于F2DE的周长，利用椭圆的定义得到F2DE周长为DF2+|EF2|+|DE|=|DF2|+|EF2|+|DF1|+|EF1|=|DF1|+|DF2|+|EF1|+|EF2|=2a+2a=4a=13.故答案为：13.4、【2022年新高考2卷】已知直线l与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且|MA|=|NB|,|
13、MN|=23，则l的方程为_【答案】x+2y-22=0【解析】：令AB的中点为E，因为MA=NB，所以ME=NE，设Ax1,y1，Bx2,y2，则x126+y123=1，x226+y223=1，所以x126-x226+y123-y223=0，即x1-x2x1+x26+y1+y2y1-y23=0所以y1+y2y1-y2x1-x2x1+x2=-12，即kOEkAB=-12，设直线AB:y=kx+m，k0，令x=0得y=m，令y=0得x=-mk，即M-mk,0，N0,m，所以E-m2k,m2，即km2-m2k=-12，解得k=-22或k=22（舍去），又MN=23，即MN=m2+2m2=23，解得m
14、=2或m=-2（舍去），所以直线AB:y=-22x+2，即x+2y-22=0；故答案为：x+2y-22=05、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ）ABCD2【答案】A【解析】设点，因为，所以，而，所以当时，的最大值为故选：A6、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】设，由，因为，所以，因为，当，即时，即，符合题意，由可得，即；当，即时，即，化简得，显然该不等式不成立故选：C7、（2021年全国新高考卷数学试题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则
15、的最大值为（ ）A13B12C9D6【答案】C【解析】由题，则，所以（当且仅当时，等号成立）故选：C8、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为_【答案】【解析】因为为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，设，则，所以， ，即四边形面积等于.故答案为：.9、【2019年高考全国理】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点若，则C的方程为ABCD【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有在中，由余弦定理推论得在中，由余弦定理得，解得所求椭圆方程为，故选B法二：由已知可设，则，由
16、椭圆的定义有在和中，由余弦定理得，又互补，两式消去，得，解得所求椭圆方程为，故选B10、【2019年高考北京理】已知椭圆（ab0）的离心率为，则Aa2=2b2B3a2=4b2Ca=2bD3a=4b【答案】B【解析】椭圆的离心率，化简得，故选B题组一、椭圆的离心率1-1、（2022山东淄博高三期末）已知椭圆的右焦点为F，上顶点为B，直线BF与C相交于另一点A，点A在x轴上的射影为，O为坐标原点，若，则C的离心率为（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意得，设因为，所以，所以，得，即，因为点在椭圆上，所以，化简得，所以离心率，故选：A1-2、（2021河北保定市高三二模）已知、是椭圆的两个焦点，过的
17、直线与椭圆交于、两点，若，则该椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】D【解析】如下图所示，设，则，所以，所以，由椭圆定义可得，所以，所以，为等腰直角三角形，可得，所以，该椭圆的离心率为.故选：D.1-3、（2021山东潍坊市高三三模）已知椭圆：（）的左，右焦点分别为，点，在椭圆上，且满足，则椭圆的离心率为_【答案】【解析】设，因为，所以，又因为，所以，又因为，且，所以，所以，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，故答案为：.1-4、（2021河北沧州市高三二模）设同时为椭圆与双曲线的左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为为坐标原点，若（ ）A，则B，则C，则的取值
18、范围是D，则的取值范围是【答案】BD【解析】如图，设，焦距为，由椭圆定义可得，由双曲线定义可得，解得，当时，则，所以，即，由离心率的公式可得，故正确.当时，可得，即，可得，由，可得，可得，即，则，可设，则，由在上单调递增，可得，则，故正确.故选：1-5、（2022江苏如东高三期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】B【解析】：设关于平分线的对称点为，则三点共线，设，则，又，所以为等边三角形，所以，又，所以，在中，由余弦定理可得：，即，所以，所以.故选：B.题组二、椭圆性质的综合性问题2-1、（2022河北张家
19、口高三期末）已知为椭圆的左右焦点，直线与椭圆交于两点，过点向轴作垂线，垂足为，则（ ）A椭圆的离心率为B四边形的周长一定是C点与焦点重合时，四边形的面积最大D直线的斜率为【答案】ABD【解析】由的方程可得离心率为，故A正确；由椭圆定义可知，同理，所以四边形的周长一定是，故B正确；四边形的面积，当点与焦点重合时，此时四边形的面积，故C错误；设，故，则，故D正确.故选：ABD2-2、（2022山东德州高三期末）已知椭圆的左右焦点分别为，过点的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则下列说法正确的是（ ）A椭圆的短轴长为B当最大时，C椭圆离心率为D面积最大值为【答案】BC【解析】由题意：，根据椭
20、圆的定义可知，则的最大值为5，根据椭圆的性质可知：当轴时，最小，此时最大，如图：将代入椭圆方程得：，则.所以短轴长为，A错误；此时，B正确；，C正确； 对D，设，代入椭圆方程得：，则，所以，记，于是，由对勾函数的图象和性质可知：函数在上是增函数，则函数在上是减函数.于是，当u=1，即t=0时，面积最大值为.故D错误.故选：BC.2-3、（2022江苏海门高三期末）已知椭圆的焦点为、，点在椭圆的内部，点在椭圆上，则（ ）AB椭圆的离心率的取值范围为C存在点使得D【答案】ACD【解析】对于A选项，由已知可得，可得，则，A对；对于B选项，椭圆的离心率为，B错；对于C选项，设、分别为椭圆的左、右焦点，
21、则、，记，设点，因为，则，所以，点在圆上，联立可得，即圆与椭圆有公共点，C对；对于D选项，D对.故选：ACD.2-4、（2021全国高三专题练习）设椭圆的的焦点为，是上的动点，则下列结论正确的是（ ）A离心率B的最大值为3C面积的最大值为D的最小值为2【答案】AD【解析】：因为椭圆，所以，所以，所以，故A正确；设，所以，所以，因为，所以当时，即，故B错误；因为，又，所以当时，即在短轴的顶点时面积的取得最大值，故C错误；对于D：，因为，所以，所以，故D正确；故选：AD2-5、（2021山东泰安市高三三模）已知椭圆的左右焦点分别为 直线与圆相切于点，与椭圆相交于两点，点在轴上方，则（ ）A弦长的最
22、大值是B若方程为，则C若直线过右焦点，且切点恰为线段的中点，则椭圆的离心率为D若圆经过椭圆的两个焦点，且，设点在第一象限，则的周长是定值【答案】BCD【解析】对于选项A，当直线与圆相切于点时，由得，此时，故选项A错误；对于选项B ，圆心到直线的距离为，得，故选项B正确；对于选项C，为的中点，为的中点，直线与圆相切于点，且，由椭圆的定义知，化简得， 故选项C正确；对于选项D，圆过椭圆的两个焦点，所以，故椭圆的方程为，设，在第一象限， ， ， 同理，的周长，故选项D正确故选：BCD.1、（2022湖北恩施土家族苗族高中高三期末）曲线的方程是，则曲线的形状是（ ）A圆B椭圆C线段D直线【答案】B【解
23、析】方程表示动点到两定点的距离之和为4而，因此的轨迹是以为焦点的椭圆故选：B2、（2021山东泰安市高三其他模拟）已知椭圆C的中心在坐标原点，右焦点F为直线与x轴的交点，且在经过点F的所有弦中，最短弦的长度为，则C的方程为_【答案】【解析】由题得，设，则解得，所以的方程为故答案为：.3、(2022江苏如皋期初考试)椭圆与关系为（ ）A有相等的长轴长B有相等的离心率C有相同的焦点D有相等的焦距【答案】D【解析】由题意，对于椭圆，焦点在x轴上，a5，b3，所以c4，则离心率e，对于椭圆，因为25k9k0，所以焦点在y轴上，a5，b3，所以c4，则离心率e，故选项D正确，其他选项错误；所以答案选D.
24、4、（2022山师大附中高三模拟）已知椭圆（ab0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且AFBF，设，且，则该椭圆的离心率e的取值范围为（）ABCD【答案】A【解析】如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，则四边形为矩形因此所以，其中，故选：A5、（2022湖北江岸高三期末）已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为e，下列说法正确的是（ ）A当时，椭圆C上恰好有6个不同的点，使得为直角三角形B当时，椭圆C上恰好有2个不同的点，使得为等腰三角形C当时，椭圆C上恰好有6个不同的点，使得为直角三角形D当时，椭圆C上恰好有2个不同的点，使得为等腰三角形【答案】A【解析】对于A，当时，可得，要
25、使得为直角三角形，则或或.易知：当为上、下顶点时，有种情况，当时，有种情况，同理，当，也有种情况.故共有6个不同的点，使得为直角三角形，选项A正确.对于B，当时，可得，要使得为等腰三角形，则或或.根据对称性易知，以上每一种情况都有种等腰三角形，故共有个等腰三角形，故B错误.对于C，当时，可得，当点在上顶点或下顶点时最大，且最大角为，故要使得为直角三角形，则或.当时，有种情况，同理，当，也有种情况.共有4个不同的点，使得为直角三角形，故选项C错误.对于D，要使得为等腰三角形，则或或.根据对称性易知，以上每一种情况都有种等腰三角形，故共有个等腰三角形，故D错误.故选：A6、（2022江苏如东高三期
26、末）记椭圆与椭圆内部重叠区域的边界为曲线C，P是曲线C上任意一点，则（ ）A椭圆C1与椭圆C2的离心率相等B曲线C关于yx对称CP到点(1，0)，(1，0)，(0，1)，(0，1)的距离之和为定值DP到原点的距离的最大值为【答案】ABD【解析】由已知椭圆的长轴长和短轴长都分别相等，因此焦点也相等，从而离心率相同，A正确；用替换方程中的得的方程，同样用替换中的得方程，因此椭圆与椭圆关于直线对称，同理可得它们也关于直线对称，因此它们的公共部分边界线关于直线对称，B正确；是椭圆的两个焦点，是椭圆的两个焦点，在椭圆上时，是定值，但不是定值，所以不是定值，C错；设椭圆上在第一象限内的点，则，随的增大而增
27、大，由对称性，曲线上，当点在直线上时，最大，因此，D正确故选：ABD7、（2022河北深州市中学高三期末）设A1，A2，B1分别是椭圆的左、右、上顶点，O为坐标原点，D为线段OB1的中点，过A2作直线A1D的垂线，垂足为H若H到x轴的距离为169OD，则C的离心率为_【答案】#【解析】直线A1D的方程为y=b2a(x+a)，直线A2H的方程为y=-2ab(x-a)，联立y=b2a(x+a),y=-2ab(x-a),得y=4a2b4a2+b2169OD=169b2=8b9，4a2b4a2+b2=8b9，e=1-b2a2=22故答案为：.8、（2022湖北高三期末）斜率为k的直线l与椭圆相交于A，B两点，点为线段的中点，则_【答案】【解析】设，则 ，两式相减，得，因为点为线段的中点，所以，又因为，所以，则.故答案为：.
