1、第3课时与仰角、俯角和方向角有关的问题知识点 1仰角和俯角1.2018长春 如图7-6-24,某地修建高速公路,要从A地向B地修一条隧道(点A,B在同一水平面上).为了测量A,B两地之间的距离,一架直升机从A地出发,垂直上升800米到达C处,在C处观察B地的俯角为,则A,B两地之间的距离为()图7-6-24A.800sin米 B.800tan米C.800sin米 D.800tan米2.2019苏州 如图7-6-25,小亮为了测量校园里教学楼AB的高度.将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为183 m的地面上,若测角仪的高度是1.5 m,在D处测得教学楼的顶部A处的仰角为30,则教学楼AB的高
2、度是()图7-6-25A.55.5 m B.54 mC.19.5 m D.18 m3.2018达州 在数学实验活动课上,老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度.如图7-6-26,用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30,再往雕塑方向前进4米至B处,测得雕塑顶端点C的仰角为45.则该雕塑有多高?(测角仪高度忽略不计,结果不取近似值)图7-6-26知识点 2方向角4.如图7-6-27,在距离铁轨200米的B处,观察由南宁开往百色的“和谐号”动车,当动车车头在A处时,恰好位于B处的北偏东60方向上,10秒后,动车车头到达C处,恰好位于B处的西北方向上,则这列动车的平均车速是()图7-6-
3、27A.20(1+3)米/秒 B.20(3-1)米/秒C.200米/秒 D.300米/秒5.如图7-6-28,一轮船由南向北航行到O处时,发现与轮船相距40海里的A岛在北偏东33方向.已知A岛周围20海里水域有暗礁,如果不改变航向,轮船(填“有”或“没有”)触暗礁的危险.图7-6-286.2019黄埔区一模 如图7-6-29,点P是某海域内的一座灯塔的位置,船A停泊在灯塔P的南偏东53方向的50海里处,船B位于船A的正西方向且与灯塔P相距203海里.(1)试问船B在灯塔P的什么方向?(2)求两船相距多少海里.(结果保留根号)(参考数据:sin530.80,cos530.60,tan531.33
4、)图7-6-277.2018潍坊 如图7-6-32,一艘渔船正以60海里/时的速度向正东方向航行,在A处测得岛礁P在东北方向上,继续航行1.5小时后到达B处,此时测得岛礁P在北偏东30方向,同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60方向.为了在台风到来之前用最短时间到达M处,渔船立刻加速以75海里/时的速度继续航行小时即可到达.(结果保留根号)图7-6-308.如图7-6-31所示,在甲楼的底部B处测得乙楼的顶部D点的仰角为,在甲楼的顶部A处测得乙楼的顶部D点的俯角为.如果甲、乙两楼之间的水平距离BC为10米,那么甲楼的高AB=米.(用含,的代数式表示)图7-6-319.如图7-6-32,
5、为了测出旗杆AB的高度,在旗杆前的平地上选择一点C,测得旗杆顶部A的仰角为45,在C,B之间选择一点D(C,D,B三点共线),测得旗杆顶部A的仰角为75,且CD=8 m.(1)求点D到AC的距离;(2)求旗杆AB的高.(注:结果保留根号)图7-6-3210.为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办,某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情,以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶.在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30方向上,继续行驶40秒到达B处,此时测得建筑物P在北偏西60方向上,如图7-6-33所示,求建筑物P到赛道AB的距离.(结果保留根号) 图7-6-3311.2019南京
6、如图7-6-34,山顶有一塔AB,塔高33 m.计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF.从与点E相距80 m的C处测得A,B的仰角分别为27,22,从与点F相距50 m的D处测得A的仰角为45.求隧道EF的长度.(参考数据:tan220.40,tan270.51)图7-6-34教师详解详析1.D解析 由题中条件可知,在RtABC中,ABC=,AC=800米,tan=ACAB,可得AB=800tan米.2.C解析 如图,过点D作DEAB于点E.在D处测得教学楼顶部A处的仰角为30,ADE=30.由题意知DE=BC=183m,BE=CD=1.5 m,AE=DEtan30=18 m,AB=AE+
7、BE=AE+CD=18+1.5=19.5(m).故选C.3.解:设雕塑的高CD为x米.在RtACD中,AD=xtan30米,在RtBCD中,BD=xtan45=x米,根据题意,得AD-BD=4米,即xtan30-x=4,解得x=23+2.答:雕塑的高CD为(23+2)米.4.A解析 过点B作BDAC于点D,则BD=200,CBD=45,ABD=60,在RtABD中,AD=2003;在RtBCD中,DC=200,AC=DC+AD=200+2003,动车的平均速度是(200+2003)10=20+203=20(1+3)米/秒.5.没有解析 过点A作轮船航线的垂线,垂足为B.OA=40海里,AOB=
8、33,AB=40sin3321.79海里20海里,轮船没有触暗礁的危险.6.解:(1)过点P作PCAB交AB延长线于点C.在RtAPC中,C=90,APC=53,AP=50海里,PC=APcos53=500.60=30(海里).在RtPBC中,PB=203海里,PC=30海里,cosBPC=PCPB=32,BPC=30,船B在灯塔P的南偏东30方向上;(2)AC=APsin53=500.80=40(海里),BC=12PB=103海里,AB=AC-BC=(40-103)海里.答:两船相距(40-103)海里.7.18+635解析 过点P作PQAB,垂足为Q,过点M作MNAB,垂足为N.由题意,得
9、AB=601.5=90(海里).设PQ=MN=x海里,由点P在点A的东北方向,可知PAQ=45,AQ=PQ=x海里,BQ=(x-90)海里.在RtPBQ中,PBQ=90-30=60,tan60=PQBQ,即3=xx-90,解得x=135+453.在RtBMN中,MBN=90-60=30,BM=2MN=2(135+453)=(270+903)海里,航行时间为270+90375=18+635(时).8.10(tan+tan)解析 如图,过点A作AHCD,交CD的延长线于点H,则AH=BC=10.在RtDBC中, tanDBC=CDBC,CD=BCtanDBC=10tan.在RtAHD中, tanD
10、AH=DHAH,DH=AHtanDAH=10tan,AB=CH=CD+DH=10tan+10tan=10(tan+tan)米.9.解:(1)过点D作DEAC于点E.在RtCDE中, sinC=DECD,DE=CDsinC=8sin45=42(m).答:点D到AC的距离为42 m.(2)在RtCDE中,C=45,CDE为等腰直角三角形,CE=DE=42 m.ADB=75,C=45,EAD=ADB-C=30.在RtADE中,tanEAD=DEAE,AE=DEtanEAD=46 m,AC=AE+CE=(46+42)m.在RtABC中, sinC=ABAC,AB=ACsinC=(46+42)sin45
11、=(43+4)m.答:旗杆AB的高为(43+4)m.10.解:过点P作PCAB于点C,由题意知PAC=60,PBC=30.在RtPAC中,PCAC=tanPAC,AC=33PC.在RtPBC中,PCBC=tanPBC,BC=3PC.AB=AC+BC=33PC+3PC=1040=400,PC=1003(米).答:建筑物P到赛道AB的距离为1003米.11.解:如图,延长AB交CD于点H,则AHCD.在RtACH中,ACH=27,tan27=AHCH,AH=CHtan27.在RtBCH中,BCH=22,tan22=BHCH,BH=CHtan22.AB=AH-BH,CHtan27-CHtan22=33解得CH300(m).AH=CHtan27153.在RtADH中,D=45,tan45=AHHD,DH=AH=153(m).EF=CD-CE-FD=CH+HD-CE-FD=300+153-80-50=323(m).因此,隧道EF的长度约为323 m.
