1、2018 年天津市部分区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知全集 U1，2，3，4，5，6，7，集合 M2，3，4，5 ，集合N4，5，6，则集合 U（MN ）（ ）A1 ，2，3，5 B2 ，3，6，7C1，2，3，5，6，7 D1 ，2， 3，6，72 （5 分）设变量 x、y 满足约束条件 ，则目标函数 z2x+y 的最小值为（ ）A6 B4 C3 D23 （5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（ ）A15 B37 C83 D1774 （5 分）已知双曲线
2、（a0，b0）的一条渐近线方程是 y ，且它的一个焦点在抛物线 y224x 的准线上，则双曲线的方程是（ ）A BC D第 2 页（共 21 页）5 （5 分）设 xR，则“x 1”是“| x5|4”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件6 （5 分）已知向量 与 的夹角为 120，| |5，| |2，若 ，且6，则实数 的值为（ ）A B C D7 （5 分）将函数 f（x ）sin2x 的图象向右平移 （0 ）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若 g（x）在区间0， 上单调递增，则实数 的取值范围是（ &n
3、bsp;）A B ） C （ D （0， 8 （5 分）设函数 f（x ）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时 f（x）lnx，记af（ ） ） ，bf （ ） ，cf （3） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Acba Bbca Cbac Dabc二、填空题：本大题共有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9 （5 分）已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z（1+i ）2 3i，则 z 的虚部为 10 （5 分）已知函数 f（x ） ，f（x）为 f（x）的导函数，则 f（1） 11 （5 分）已知直线 k（x
4、+1）+y+20 恒过定点 C，且以 C 为圆心，5 为半径的圆与直线3x+4y+10 相交于 A、B 两点，则弦 AB 的长为 12 （5 分）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积为 cm3第 3 页（共 21 页）13 （5 分）已知函数 yalog 2xb（a0，b0）的图象过点（ ） ，则 的最小值为 14 （5 分）已知函数 f（x ） ，若函数 g（x） f（x）+b 在区间2，6内有 3 个零点，则实数 b 的取值范围是 三、解答题：本大题共
5、 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15 （13 分）已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且a+c 6，b2，cosB （）求 c 和 sinA 的值；（）求 sin（2AB）的值16 （13 分）某区的区大代表中有教师 6 人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为 A1，A 2，乙校教师记为 B1，B 2，丙校教师记为 C，丁校教师记为 D现从这 6 名教师代表中选出 3 名教师组成十九大报告宣讲团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中，每校至多选出 1 名（）请列出十九大报告宣讲团组成人员的全部可能结果；（）求教师 A1 被选中的概
6、率；（）求宣讲团中没有乙校教师代表的概率17 （13 分）在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，直线 FC平面 ABCD，EDFC，点 G 为AB 的中点，且 FCAB 2ED 2CD2，ABC60（）求证：AE平面 GCF；（）求证：平面 ACF平面 BCF；（）求直线 FB 与平面 ADE 所成角的正弦值第 4 页（共 21 页）18 （13 分）已知数列a n为等比数列，数列b n为等差数列，且b1a 11，b 2a 1+a2，a 32b 36（）求数列a n，b n的通项公式；（）设 cn ，数列c n的前 n 项和为 Tn，证明： 19 （14 分）已知椭圆 C： （ab0）的离心率为
7、 ，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为 2（）求椭圆 C 的方程；（）已知直线 yk （x 1） （k0）与椭圆 C 相交于 A、B 两点，且与 x 轴，y 轴交于M、N 两点（i）若 ，求 k 的值；（ii）若点 Q 的坐标为（ ） ，求证： 为定值20 （14 分）设函数 f（x ）2lnx+ ，g（x）2xalnx（aR） （）求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程；（）若函数 g（x）在（0，e 2上恰有 2 个零点，求 a 的取值范围；（）当 a1 时，若 h（x）f （x）+2g（x）时，若对任意的正整数 n 在区间上始终存在 m+5 个数使得 h（a 1）
8、+h（a 2）+h（a 3）+h（a m）h（a m+1）+ h（a m+2）+h（a m+3）+h（a m+4）+h（a m+5）成立，试问：正整数 m 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值， ；若不存在，说明理由第 5 页（共 21 页）2018 年天津市部分区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知全集 U1，2，3，4，5，6，7，集合 M2，3，4，5 ，集合N4，5，6，则集合 U（MN ）（ ）A1 ，2，3，5 B2 ，3，6，7C1，2，3，5，6，7 D1 ，2， 3，6，7【
9、分析】根据交集与补集的定义计算即可【解答】解：全集 U1，2，3，4，5，6，7，集合 M2 ，3，4，5，集合 N4，5，6 ，MN4 ， 5，集合 U（M N）1，2，3 ，6，7故选：D【点评】本题考查了集合的定义与应用问题，是基础题2 （5 分）设变量 x、y 满足约束条件 ，则目标函数 z2x+y 的最小值为（ ）A6 B4 C3 D2【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由变量 x、y 满足约束条件 作出可行域如图，化目标函数 z2x+y 为 y2x +z，由图可知，当直线 y2x +z 过 A（1，1）时直线
10、在 y 轴上的截距最小， z 最小，为21+13故选：C第 6 页（共 21 页）【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题3 （5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（ ）A15 B37 C83 D177【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：当 i1 时，不满足退出循环的条件： S1，i 3；当 i3 时，不满足退出循环的条件： S5，i 5；当 i5 时，不满足退出循环的条件： S15，i 7；当 i7 时，不满足退出循环的条件： S37，
11、i 9；当 i9 时，满足退出循环的条件，故输出的 S 值为 37，第 7 页（共 21 页）故选：B【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答4 （5 分）已知双曲线 （a0，b0）的一条渐近线方程是 y ，且它的一个焦点在抛物线 y224x 的准线上，则双曲线的方程是（ ）A BC D【分析】由双曲线的一条渐近线方程得 ，求出抛物线 y224x 的准线l：x6，得到双曲线的半焦距 c6，由此利用双曲线的简单性质能求出双曲线的方程【解答】解：双曲线 1（a0，b0）的一条渐近线方程是 y x，它的一个焦点在抛物线 y224x 的准线
12、 l：x6 上， ，解得 a3，b3 ，双曲线方程为 故选：C【点评】本题考查双曲线标准方程的求法，是基础题，解题时要注意双曲线、抛物线标准方程及其简单几何性质的合理运用，是基础题5 （5 分）设 xR，则“x 1”是“| x5|4”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】 “|x5|4”4x54 1x9，即可判断出结论【解答】解：“|x 5|4”4x54 1x9，第 8 页（共 21 页）“x1”是“|x5| 4”的必要不充分条件故选：B【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6 （
13、5 分）已知向量 与 的夹角为 120，| |5，| |2，若 ，且6，则实数 的值为（ ）A B C D【分析】根据条件： ， ， ， ，即可得到 ，进行数量积的运算即可求出 【解答】解： ， ， ； 255（1）+46；解得 故选：B【点评】考查向量减法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式7 （5 分）将函数 f（x ）sin2x 的图象向右平移 （0 ）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若 g（x）在区间0， 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）A B ） C （ D （0， 【分析】根据平移关系求出 g（x）的解析式，结合函数的单调性建立不等式关系进行求
14、解即可【解答】解：将函数 f（x ）sin2x 的图象向右平移 （0 ）个单位长度后得到函数 g（x）的图象，则 g（x）sin2（x）sin（2x2） ，若 g（x）在区间0 ， 上单调递增，则 2k 2x22k + ，k Z，第 9 页（共 21 页）得 2k +22x2k + +2，k Z，即 k +xk + +，k Z，即函数的单调递增区间为k +，k + +，kZ，若 g（x）在区间0 ， 上单调递增，满足 ，即 ，则k k + ，k Z，当 k0 时， ，又因为：0所以 的取值范围是（0， ，故选：D【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式结合函数的单调性建立不等
15、式关系是解决本题的关键8 （5 分）设函数 f（x ）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时 f（x）lnx，记af（ ） ） ，bf （ ） ，cf （3） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Acba Bbca Cbac Dabc【分析】根据 x0 时 f（x）解析式即可知 f（x ）在（0，+）上单调递增，由 f（x ）为奇函数即可得出 ，然后比较 的大小关系，根据 f（x）在（ 0，+）上单调递增即可比较出 a，b，c 的大小关系【解答】解：x0 时，f（x）lnx；f（x）在（0 ，+）上单调递增；f（x）是定义在 R 上的奇函数； ；， ；第 10 页（共 21 页）
16、 ； ；abc；即 cba故选：A【点评】考查对数函数的单调性，奇函数的定义，以及增函数的定义，熟悉指数函数的图象二、填空题：本大题共有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9 （5 分）已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z（1+i ）2 3i，则 z 的虚部为 【分析】把已知等式变形，再直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由 z（1+ i）23i ，得 ，则 z 的虚部为 故答案为： 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题10 （5 分）已知函数 f（x ） ，f（x）为 f（x）的导函数，则 f（1） &n
17、bsp; 【分析】根据商的导数的计算公式求出 f（x ） ，然后便可得出 f（1）的值【解答】解： ； 故答案为： 【点评】考查基本初等函数和商的导数的求导公式，已知函数求值的方法11 （5 分）已知直线 k（x +1）+y+20 恒过定点 C，且以 C 为圆心，5 为半径的圆与直线3x+4y+10 相交于 A、B 两点，则弦 AB 的长为 2 【分析】求出直线过的定点坐标 C，以及圆心到直线的距离 d，根据直线和圆相交的弦第 11 页（共 21 页）长公式进行计算即可【解答】解：由 得 ，即直线恒过定点 C（1，2） ，以 C 为圆心，5 为半径的圆的标准方程为（ x+1） 2
18、+（y+2 ） 225，圆心到直线的距离 d ，则 AB 的长度为|AB|2 2 2 ，故答案为：2【点评】本题主要考查直线和圆相交的弦长公式的应用，求出直线的定点坐标以及点到直线的距离是解决本题的关键12 （5 分）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积为 cm3【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是四棱锥与半个圆柱的组合体，由此求出它的体积即可【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是上部为四棱锥，下部为半个圆柱的组合体，四棱锥的高为 2，底面矩形的宽为 2，长为 4，圆柱的高为 4，底面半径为 1，该组合体的体积为 V 242+ 124 +2故答案为：
19、+2【点评】本题考查了应用空间几何体的三视图求体积的问题，是基础题目13 （5 分）已知函数 yalog 2xb（a0，b0）的图象过点（ ） ，则 的最小第 12 页（共 21 页）值为 9 【分析】由函数 yalog 2xb（a0，b0）的图象图象过点（ ） ，2a+b1，可得 （2a+b） （ ）4+ +1+ ，即可【解答】解：函数 yalog 2xb（a0，b0）的图象过点（ ） ，alog 2 b12a+b1， （2a+b） （ ）4+ +1+ ， （当且仅当 ，即 ab 时取等号） 故答案为：9【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于中档题14 （5 分）已知函数 f（x ） ，若
20、函数 g（x） f（x）+b 在区间2，6内有 3 个零点，则实数 b 的取值范围是 （ 【分析】作出函数 yf（x）和 y x+b 的图象利用两个图象的交点个数问题确定 b的取值范围【解答】解：若 0x2，则2x20，f（x）f（x2）1|x2+1|1|x 1|，0x2若 2x4，则 0x 22，f（x）f（x2）1|x21|1| x3|，2x4若 4x6，则 2x 24，f（x）f（x2）1|x23|1| x5|，4x6f（1）1，f（2）0，f（3）1，f （5）1，设 yf（x）和 y x+b，则方程 f（x） x+b 在区间2，6 内有 3 个不等实根，等价为函数 yf（x）和 y
21、x+b 在区间2，6 内有 3 个不同的零点作出函数 f（x）和 y x+b 的图象，如图：第 13 页（共 21 页）当直线经过点 F（4，0）时，两个图象有 2 个交点，此时直线 y x+b 为 y x ，当直线经过点 D（5，1） ，E（ 2，0）时，两个图象有 3 个交点；当直线经过点 O（0，0）和 C（3，1）时，两个图象有 3 个交点，此时直线 y x+b为 y x，当直线经过点 B（1，1）和 A（2，0）时，两个图象有 3 个交点，此时直线 y x+b为 y x+ ，要使方程 f（x ） x+b，两个图象有 3 个交点，在区间2，6内有 3 个不等实根，则 b（ ，故答案为：
22、（ 【点评】本题主要考查方程根的个数的应用，将方程转化为函数，利用数形结合是解决此类问题的基本方法三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15 （13 分）已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且a+c 6，b2，cosB （）求 c 和 sinA 的值；（）求 sin（2AB）的值【分析】 （）根据题意，利用余弦定理和正弦定理，即可求得 c 和 sinA 的值；（ II）根据同角的三角函数关系和三角恒等变换，计算即可【解答】解：（）ABC 中，由余弦定理b2a 2+c22ac cosB，（1 分）第 14 页（共 21 页）
23、得 b2（a+c） 22ac （1+cosB） ，（2 分）又 a+c6，b2，cosB ，所以 ac9，解得a3，c3；（3 分）在ABC 中，sinB ， （4 分）由正弦定理得 sinA ，（5 分）c3，sin A ；（6 分）（ II）因 ac，则 A 为锐角，所以cosA ，（7 分）sin2A2sinAcosA2 ，（9 分）cos2A12sin 2A12 ；（11 分）sin（2AB）sin2AcosB cos2 AsinB （ ） （13 分）【点评】本题考查了解三角形与三角函数求值问题，是基础题16 （13 分）某区的区大代表中有教师 6 人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校
24、，其中甲校教师记为 A1，A 2，乙校教师记为 B1，B 2，丙校教师记为 C，丁校教师记为 D现从这 6 名教师代表中选出 3 名教师组成十九大报告宣讲团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中，每校至多选出 1 名（）请列出十九大报告宣讲团组成人员的全部可能结果；（）求教师 A1 被选中的概率；第 15 页（共 21 页）（）求宣讲团中没有乙校教师代表的概率【分析】 （）某区的区大代表中有教师 6 人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为 A1，A 2，乙校教师记为 B1，B 2，丙校教师记为 C，丁校教师记为D从这 6 名教师代表中选出 3 名教师组成十九大政策宣讲团，利用列举法能求出
25、组成人员的全部可能结果（II）组成人员的全部可能结果中，利用列举法求出 A1 被选中的结果有 5 种，由此能求出教师 A1 被选中的概率（III）利用列举法求出宣讲团中没有乙校代表的结果有 2 种，由此能求出宣讲团中没有乙校教师代表的概率【解答】 （本小题满分 13 分）解：（）某区的区大代表中有教师 6 人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为 A1，A 2，乙校教师记为 B1，B 2，丙校教师记为 C，丁校教师记为D从这 6 名教师代表中选出 3 名教师组成十九大政策宣讲团，组成人员的全部可能结果有12 种，分别为：A1，B 1，C， A1，B 1，D， A1，B 2，C ，A
26、 1，B 2，D ，A 1，C，D，A 2，B 1，C，A2，B 1，D，A 2，B 2，C， A2，B 2，D ，A 2，C，D ，B 1，C，D，B2，C，D （6 分）（ II）组成人员的全部可能结果中，A 1 被选中的结果有A 1，B 1，C，A 1，B 1，D ，A1，B 2，C， A1，B 2，D， A1，C ，D ，共有 5 种，所以教师 A1 被选中的概率为p （10 分）（ III）宣讲团中没有乙校代表的结果有 A1，C，D ， A2，C ，D ，共 2 种结果，所以宣讲团中没有乙校教师代表的概率为p （13 分）【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考
27、查运算求解能力，第 16 页（共 21 页）考查函数与方程思想，是基础题17 （13 分）在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，直线 FC平面 ABCD，EDFC，点 G 为AB 的中点，且 FCAB 2ED 2CD2，ABC60（）求证：AE平面 GCF；（）求证：平面 ACF平面 BCF；（）求直线 FB 与平面 ADE 所成角的正弦值【分析】 （I）取 FC 中点 N，连接 EN，推导出四边形 EDCN 是平行四边形，从而EN DC，连接 NG，推导出四边形 EAGN 是平行四边形，从而 EANG，由此能证明AE平面 GCF（II）由 DC AG，得四边形 AGCD 为平行四边形，从而 A
28、DGC，推导出ACBC，ACCF，从而 AC平面 BCF，由此能证明平面 ACF平面 BCF（III）推导出 ED平面 GCF，AE平面 GCF，从而平面 ADE平面 GCF，进而直线FB 与平面 ADE 所成角也为直线 FB 与平面 GCF 所成角由此能求出直线 FB 与平面ADF 所成角正弦值【解答】 （本小题满分 13 分）证明：（I）取 FC 中点 N，连接 EN，因为 EDFC ，FC2ED ，所以 ED NC，所以四边形 EDCN 是平行四边形，所以 EN DC，连接 NG，EN DC，又 DC AG，所以 EN AG，所以四边形 EAGN 是平行四边形，所以 EANG，（2 分）
29、又 EA平面 GCF，NC平面 GCF，所以 AE平面 GCF（4 分）解：（II）DC AG，四边形 AGCD 为平行四边形，ADGC，ADBC，BCGC， ABC60，BCG 为等边三角形，第 17 页（共 21 页）AB2，BC BG 1，由余弦定理得 AC2AB 2+BC22ABBC cosABC3，所以 AC2+BC2AB 2，ACB90， （6 分）所以 ACBC，又 ACCF，BC FC C，所以 AC平面 BCF，又 AC平面 ACF，所以平面 ACF平面 BCF（8 分）（III）因为 EDFC，ED平面 GCF，FC 平面 GCF，所以 ED平面 GCF，由（I）知 AE平
30、面 GCF，且 ADEDD ，所以平面 ADE平面 GCF，所以直线 FB 与平面 ADE 所成角也为直线 FB 与平面 GCF所成角由（II）知 CGBG BC1，设 Q 为 CG 中点，连接 BQ、FQ，所以 BQGC因为 FC平面 ABCD，所以 FCBQ，因为 FCGCC，所以 BQ平面 GCF，所以BFQ 为直线 FB 与平面 GCF 所成角，（11 分）因为 BQ CG ，在直角BCF 中，FB ，sinBFQ ，所以直线 FB 与平面 ADF 所成角正弦值为 （13 分）【点评】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基
31、础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题18 （13 分）已知数列a n为等比数列，数列b n为等差数列，且b1a 11，b 2a 1+a2，a 32b 36第 18 页（共 21 页）（）求数列a n，b n的通项公式；（）设 cn ，数列c n的前 n 项和为 Tn，证明： 【分析】 （ I）设数列 an的公比为 q，数列 bn的公差为 d，由题意得：1+d1+q，q 22（1+2 d） 6，解得：dq2，即可（ II）证明：因为 cn ，T n即可得 【解答】解：（ I）设数列a n的公比为 q，数列 bn的公差为d（1 分）由题意得：1+d1+ q，q 22（1+2 d）
32、6，（2 分）解得：dq2，（3 分）所以：a n n1 ，b n2n1（5 分）（II）证明：因为 cn ，（7 分）所以 Tn （ 1 ）+ （ ）+ + （1+ ） （10 分） ，n+时， 因为 Tn 在1 ， +）单调递增，所以当 n1 时，T n 取最小值 T1 ，（12 分）所以 （13 分）【点评】本题考查等差数列和等比数列通项公式的求法，训练了裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题19 （14 分）已知椭圆 C： （ab0）的离心率为 ，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为 2（）求椭圆 C 的方程；（）已知直线 yk （x 1） （k0）与椭圆 C 相交
33、于 A、B 两点，且与 x 轴，y 轴交于M、N 两点第 19 页（共 21 页）（i）若 ，求 k 的值；（ii）若点 Q 的坐标为（ ） ，求证： 为定值【分析】 （）根据椭圆的离心率和三角形的面积即可求出 a24，b 22，则椭圆方程可得，（） （i）根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出，（ii）根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出【解答】解：（）e ，a 22c 2，代入 a2b 2+c2 得 bc 又椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为 2，即 b2c2，即 bc2，以上各式联立解得 a24，b 22，则椭圆方程为 + 1（） （）直线 yk （x 1
34、 ）与 x 轴交点为 M（1，0） ，与 y 轴交点为 N（0，k） ，联立 消去 y 得：（1+2k 2）x 4k 2x+2k24 0，16k 44（1+2k 2） （2k 2 4）24k 2+160，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 x1+x2 ，又 （x 21，y 2） ， （x 1，ky 1） ，由 得：x 1+x2 1，解得：k 由 k0 得 k ；证明（）由（）知 x1+x2 ，x 1x2 ， （x 1 ，y 1）（x 2 ，y 2）（x 1 ）（x 2 ）+y 1y2，（x 1 ）（x 2 ）+k 2（x 11） （x 21） ，（1+k 2）
35、x 1x2+（ k 2） （x 1+x2）+k 2+ ，第 20 页（共 21 页）（1+k 2） +（ k 2） +k2+ ， + 4+ 为定值 为定值【点评】本题考查了椭圆的方程的求法，直线和椭圆的位置关系，向量的数量积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题20 （14 分）设函数 f（x ）2lnx+ ，g（x）2xalnx（aR） （）求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程；（）若函数 g（x）在（0，e 2上恰有 2 个零点，求 a 的取值范围；（）当 a1 时，若 h（x）f （x）+2g（x）时，若对任意的正整数 n 在区间上始终存在 m+5 个数使得
36、h（a 1）+h（a 2）+h（a 3）+h（a m）h（a m+1）+ h（a m+2）+h（a m+3）+h（a m+4）+h（a m+5）成立，试问：正整数 m 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值， ；若不存在，说明理由【分析】 （）求出函数的导数，计算 f（1） ，f （1）的值，求出切线方程即可；（）得到 ，令 p（x） ，结合函数的单调性求出 a 的范围即可；（）求出 h（x）的导数，根据函数的单调性求出 h（x）的最值，从而求出 m 的范围即可【解答】解：（I）函数 f（x）的定义域为（0，+） ，所以 f（x） （2 分）所以 f（1）1 且 f（1）1，由导数几何意义知
37、f（x ）在点（1，f（1） ）处切线方程为： y1x1，即 xy0（4 分）（II）由 g（x）2xalnx 0， （5 分）令 p（x） ，所以 p（x） ，所以 p（x）在（0，e ）上单调递增，在（e ，e 2上单调递减，所以当 xe 时，p（x ）取得极大值，也是最大值 （7 分）第 21 页（共 21 页）因为 p（e） ，p（e 2） 且 x0 时，p（x），故 ，所以 2eae 2（9 分）（III）由题意 h（x ） +4x，h（x） （10 分）因为 x ，6+n+ ，所以 h（x）0，所以 h（x）在 ，6+ n+ 单调递增，h（x） minh（ ）4，h（x） maxh（6+ n+ ） 由题意，mh（ ）5h（6+n+ ）恒成立（12 分）令 k6+n+ 8，且 h（k）在6+n+ ，+）上单调递增，hmin（k） ，因此 4m5 ，而 m 是正整数，故 m40，所以 m40 时，存在 a1a 2a 40 ，am+1a m+2a m+3a m+4a m+58 时，对所有 n 满足题意，m max40 （14 分）【点评】本题考查了求切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题
