1、2019年天津市部分区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1 （3 分）已知全集 Ux N|0x4 ，集合 A 1，2，3，B2 ，3，则U（ AB）（ ）A0 ，4 B0 ，1，4 C1 ，4 D0 ，12 （3 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 zx+y 最小的值为（ ）A4 B3 C2 D13 （3 分）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出 s 的值为（ ）A3 B1 C0 D14 （3 分）若 alog 2 ，b log 24.5，c2 0.6，则 a，b ，c 的大小关系为（
2、 ）Aabc Bacb Cbac Dc ab5 （3 分）已知双曲线 1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，以|F 1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（4，3） ，则此双曲线的方程为（ ）第 2 页（共 18 页）A 1 B 1C 1 D 16 （3 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a、b、c，则“sin AsinB”是“ab”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件7 （3 分）如图，AB，CD 是半径为 1 的圆 O 的两条直径， 3 ，则 的值是（ ）A B C D8
3、 （3 分）已知函数 f（x ） ，若关于 x 的方程 f（x）m（mR）恰有三个不同的实数根 a，b，c，则 a+b+c 的取值范围是（ ）A （ ） B （ ） C （ ） D （ ）二、填空题9 （3 分）已知 i 是虚数单位，则 10 （3 分）某工厂生产 A，B，C 三种不同型号的产品，产量分别为 400，800，600 件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 90 件进行检验，则应从 C 种型号的产品中抽取 件11 （3 分）已知四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，侧棱长均为 ，则四棱锥的体
4、积为 12 （3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 2xy+10，在以坐标原点 O 为第 3 页（共 18 页）极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，圆 C 的方程为 2sin，则直线 l 与圆 C的位置关系为 13 （3 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，B ，b2 ，则ABC周长的最大值是 14 （3 分）四个不同的小球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒子中，则恰有两个空盒的不同放法共有 种三、解答题（解答应写出必要的
5、文字说明，证明过程或演算步骤）15已知函数 f（x ）cos x（ sinx3cosx） ，x R（1）求 f（x）的最小正周期和最大值；（2）讨论 f（x ）在区间 上的单调性16某闯关游戏共有两关，游戏规则：先闯第一关，当第一关闯过后，才能进入第二关，两关都闯过，则闯关成功，且每关各有两次闯关机会已知闯关者甲第一关每次闯过的概率均为 ，第二关每次闯过的概率均为 假设他不放弃每次闯关机会，且每次闯关互不影响（1）求甲恰好闯关 3 次才闯关成功的概率；（2）记甲闯关的次数为 ，求随机变量 的分布列和期望 17如图，DC平面 ABC， EBDC，AC BC EB2 DC4，ACB90，P、Q 分
6、别为 AE，AB 的中点（1）证明：PQ平面 ACD（2）求异面直线 AB 与 DE 所成角的余弦值；（3）求平面 ACD 与平面 ABE 所成锐二面角的大小18各项均为正数的等比数列a n满足 a23，a 42a 3 9第 4 页（共 18 页）（1）求数列a n的通项公式；（2）设 bn（2n1）log 3a2n+2（n N*） ，数列 的前 n 项和为 Tn，证明：Tn 19已知椭圆 C： 1（ab0）的一个焦点为 F1（1，0） ，上顶点为 B1，原点 O 到直线 B1F1 的距离为 （1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若点 T 在圆 x2+y22 上，点 A 为椭圆的右顶点，是否存在
7、过点 A 的直线 l 交椭圆C 于点 B（异于点 A） ，使得 （ ）成立？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由20设 aR，函数 f（x ）lnxax（1）若 a2，求曲线 yf（x）在点 P（1，2）处的切线方程；（2）若 f（x）无零点，求 a 的取值范围；（3）若 f（x）有两个相异零点 x1、x 2，求证：x 1+x2 第 5 页（共 18 页）2019 年天津市部分区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1 （3 分）已知全集 Ux N|0x4 ，集合 A 1，2，3，B2 ，3，则U（ AB）（
8、 ）A0 ，4 B0 ，1，4 C1 ，4 D0 ，1【分析】可求出集合 U，然后进行交集、补集的运算即可【解答】解：U0，1，2，3，4，AB2 ，3； U（AB ）0，1，4故选：B【点评】考查描述法、列举法的定义，以及交集、补集的运算2 （3 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 zx+y 最小的值为（ ）A4 B3 C2 D1【分析】先作可行域，再根据目标函数表示的直线，结合图象确定最优解，即得结果【解答】解：作变量 x，y 满足约束条件 的可行域，如图：由：解得 A（1，0） ，则直线 zx+y 过点 A（1，0）时，z 取最小值 1，故选：D第 6
9、页（共 18 页）【点评】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基础题3 （3 分）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出 s 的值为（ ）A3 B1 C0 D1【分析】结合流程图写出前几次循环的结果，经过每一次循环判断是否满足判断框中的条件，直到满足条件输出 s 结束循环，得到所求【解答】解：经过第一次循环得到 s3，i2，不满足 i4，执行第二次循环得到 s4，i3，不满足 i4，执行第三次循环得到 s1，i4，不满足 i4，经过第四次循环得到 s0，i5，满足判断框的条件执行“是”输出 S0第 7 页（共 18 页）故选：C【点评】本题主要考查了循环结构，属于基
10、础题4 （3 分）若 alog 2 ，b log 24.5，c2 0.6，则 a，b ，c 的大小关系为（ ）Aabc Bacb Cbac Dc ab【分析】容易得出 ，2 0.62，从而得出 a，b，c 的大小关系【解答】解： ，2 0.62 12；abc故选：A【点评】考查对数的运算性质，以及对数函数、指数函数的单调性，增函数的定义5 （3 分）已知双曲线 1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，以|F 1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（4，3） ，则此双曲线的方程为（ ）A 1 B 1C 1 D 1【分析】由已知条件推导出以|F 1F2|为直
11、径的圆的方程为 x2+y2c 2，且 ，由此能求出双曲线的方程【解答】解：双曲线 1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，以|F 1F2|为直径的圆的方程为 x2+y2c 2，以|F 1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（4， 3） ， ，解得 a4，b3，第 8 页（共 18 页）双曲线的方程为 故选：D【点评】本题考查双曲线的及圆的有关知识，求解的关键是借助圆与双曲线的渐近线的交点得出 a，b，c 的等量关系，是中档题6 （3 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a、b、c，则“sin AsinB”是“ab”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条
12、件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：在三角形中，若 ab，由正弦定理 ，得 sinAsin B若 sinAsinB，则正弦定理 ，得 ab，则“sinAsinB”是“ab”的充要条件故选：C【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，利用正弦定理确定边角关系，是解决本题的关键 7 （3 分）如图，AB，CD 是半径为 1 的圆 O 的两条直径， 3 ，则 的值是（ ）A B C D【分析】根据向量表示化简数量积，再由向量的平方即为向量模的平方，结合向量共线定理，即得结果【解答】解：AB，CD 是半
13、径为 1 的圆 O 的两条直径， 3 ，可得 ， ，第 9 页（共 18 页）（ + ）（ + ）（ + ）（ ） 2 2 1 故选：B【点评】本题考查向量数量积的性质，考查基本分析求解能力，属基础题8 （3 分）已知函数 f（x ） ，若关于 x 的方程 f（x）m（mR）恰有三个不同的实数根 a，b，c，则 a+b+c 的取值范围是（ ）A （ ） B （ ） C （ ） D （ ）【分析】先作图，再确定 a，b，c 关系以及范围，即得结果【解答】解：作图可得，a ，b+c2，所以 a+b+c（ ） ，故选：D【点评】本题考查函数与方程，考查基本分析求解能力，属中档题二、填空题
14、9 （3 分）已知 i 是虚数单位，则 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案第 10 页（共 18 页）【解答】解： 故答案为： 【点评】本题考查复数除法运算法则，属基础题10 （3 分）某工厂生产 A，B，C 三种不同型号的产品，产量分别为 400，800，600 件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 90 件进行检验，则应从 C 种型号的产品中抽取 30 件【分析】因为分层抽样为随机抽样，即抽样比相等，抽样比为 ，所以抽取数为 600 30 件【解答】解：由题意得从 C 种型号的产品中抽取 60030 件故填：30【点评】本题
15、考查分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题11 （3 分）已知四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，侧棱长均为 ，则四棱锥的体积为 【分析】求出棱锥的高，然后求解棱锥的体积即可【解答】解：正四棱锥的底面边长为 2，底面面对角线的一半为 ，所以棱锥的高为h ，V Sh 故答案为： 【点评】本题考查棱锥的体积的求法，考查计算能力12 （3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 2xy+10，在以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，圆 C 的方程为 2sin，则直线 l 与圆 C的位置关系为 相交 【分析】先将圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离与
16、半径大小关系确定位置关系【解答】解：因为圆 C 的方程为 2sin ，所以 x2+y22y，x 2+（y1） 21，因此圆心到直线距离为 1，所以直线 l 与圆 C 相交故答案为：相交第 11 页（共 18 页）【点评】本题考查极坐标方程化为直角坐标方程以及直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属基础题13 （3 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，B ，b2 ，则ABC周长的最大值是 6 【分析】根据余弦定理以及基本不等式即可求最值【解答】解：因为 b2a 2+c22accos ，B ，b2 ，所以 12a 2+c2ac （a+ c） 23ac （a+
17、c） 23（ ） 2 ，当且仅当ac 时取等号，因此（a+c） 248，可得：a+c4 ，可得：a+b+c6 ，即ABC 周长的最大值是 6 故答案为：6 【点评】本题考查余弦定理以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题14 （3 分）四个不同的小球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒子中，则恰有两个空盒的不同放法共有 84 种【分析】根据题意，分 2 步进行分析：，在 4 个盒子中任选 2 个，作为“空盒” ，将 4 个不同的小球放进剩下的 2 个盒子中，每个盒子中至少放一个，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析：，在 4 个盒子中任选 2 个，作为
18、“空盒” ，有 C426 种不同的情况，将 4 个不同的小球放进剩下的 2 个盒子中，每个盒子中至少放一个，有 24214种不同的放法，则恰有 2 个空盒的放法共 61484 种；故答案为：84【点评】本题考查分步计数原理，解题的过程中注意这种有条件的排列要分两步走，先选元素再排列三、解答题（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15已知函数 f（x ）cos x（ sinx3cosx） ，x R第 12 页（共 18 页）（1）求 f（x）的最小正周期和最大值；（2）讨论 f（x ）在区间 上的单调性【分析】 （1）先根据二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数
19、性质求周期与最值，（2）根据正弦函数性质求单调性【解答】解：（1）由题意，得 f（x ）cos xsinx cos2x sin2x （1+cos2x） sin2x cos2xsin（2x ） 所以 f（x）的最小正周期 T ，其最大值为 1 （2）令 z2x则函数 y2sinz 的单调递增区间是 +2k， +2k，kZ 由 +2k2x +2k，得 +kx +k，kZ设 A ， ，Bx| +kx +k，kZ，易知 AB ， 所以，当 x ， 时，f（x ）在区间 ， 上单调递增；在区间 ， 上单调递减【点评】本题考查二倍角公式、配角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题16某闯关游
20、戏共有两关，游戏规则：先闯第一关，当第一关闯过后，才能进入第二关，两关都闯过，则闯关成功，且每关各有两次闯关机会已知闯关者甲第一关每次闯过的概率均为 ，第二关每次闯过的概率均为 假设他不放弃每次闯关机会，且每次闯关互不影响（1）求甲恰好闯关 3 次才闯关成功的概率；（2）记甲闯关的次数为 ，求随机变量 的分布列和期望 【分析】 （1）先分类，再分别根据独立事件概率乘法公式求解，最后求和得结果，（2）先确定随机变量，再分别求对应概率，列表得分布列，根据数学期望公式得结第 13 页（共 18 页）果【解答】解：（1）设事件 A 为“甲恰好闯关 3 次才闯关成功的概率” ，则有，P（A） （1 ）
21、+（1 ） （2）由已知得：随机变量 的所有可能取值为 2，3，4，所以，P（2） + ，P（3） （1 ） +（1 ） + ，P（4）（1 ） （1 ）从而 2 3 4P E（）2 +3 +4 【点评】本题考查分布列以及数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题17如图，DC平面 ABC， EBDC，AC BC EB2 DC4，ACB90，P、Q 分别为 AE，AB 的中点（1）证明：PQ平面 ACD（2）求异面直线 AB 与 DE 所成角的余弦值；（3）求平面 ACD 与平面 ABE 所成锐二面角的大小【分析】 （1）根据三角形中位线性质得线线平行，再根据线面平行判
22、定定理得结果；（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，利用向量数量积求直线方向向量夹角，即得异面直线所成角；（3）先根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，利用方程组解得平面法向量，根第 14 页（共 18 页）据向量数量积得法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角关系得结果【解答】 （1）证明：P、Q 分别是 AE、AB 的中点，PQBE，PQ ，又 DCBE ，DC ，PQDC，PQ平面 ACD，DC平面 ACD，PQ平面 ACD；（2）解：DC平面 ABC， ACB90，以点 C 为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系则 C（0，0，0） ，A
23、（0，4， 0） ，B （0，0，4） ，D（2，0，0） ，E（4，0，4） ， ，cos ，异面直线 AB 与 DE 所成角的余弦值 ；（3）解：由（）可知 ， ，设平面 ABE 的法向量为 则 ，取 z1，得 由已知可得平面 ACD 的法向量为 （0，0，4） ，cos 故所求平面 ACD 与平面 ABE 所成锐二面角的大小为 45第 15 页（共 18 页）【点评】本题考查线面平行判定定理以及利用空间向量求异面直线所成角与二面角，考查基本分析论证与求解能力，属中档题18各项均为正数的等比数列a n满足 a23，a 42a 3 9（1）求数列a n的通项公式；（2）设 bn（2n1）lo
24、g 3a2n+2（n N*） ，数列 的前 n 项和为 Tn，证明：Tn 【分析】 （1）列方程解出公比与首项，再代入等比数列通项公式得结果；（2）先化简 bn，再利用裂项相消法求和，即证得结果【解答】解：（1）设等比数列a n的公比为 q，q0，由 a23，a 42a 39 得 3（q 22q）9，解得 q3 或 q1因为数列a n为正项数列，所以 q3，所以，首项 a1 1，故其通项公式为 an3 n1 ，n N*；（2）证明：由（1）得 bn（2n1）log 3a2n+2（2n1）log 332n+1（2n1） （2n+1） ，所以 （ ） ，即有前 n 项和 Sn （1 + + ） （
25、1 ） 【点评】本题考查等比数列通项公式以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属第 16 页（共 18 页）中档题19已知椭圆 C： 1（ab0）的一个焦点为 F1（1，0） ，上顶点为 B1，原点 O 到直线 B1F1 的距离为 （1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若点 T 在圆 x2+y22 上，点 A 为椭圆的右顶点，是否存在过点 A 的直线 l 交椭圆C 于点 B（异于点 A） ，使得 （ ）成立？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由【分析】 （1）根据条件列方程组，解得 a、b 即可， （2）设直线方程，与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理解得 B 点坐标，再根据条件
26、得 T 点坐标，代入圆方程，解得直线斜率，即得结果【解答】解：（1）由椭圆的一个焦点为 F1（1，0）知：c1，即 a2b 21又因为直线 B1F1 的方程为 bxy +b0，即 ，所以 b 由解得 a2 4故所求椭圆 C 的标准方程为 （2）假设存在过点 A 的直线 l 适合题意，则结合图形易判断知直线 l 的斜率必存在，于是可设直线 l 的方程为 yk（x2） ，由 ，得（3+4k 2）x 216k 2x+16k2120 （ *）因为点 A 是直线 l 与椭圆 C 的一个交点，且 xA2所以 xAxB ，所以 xB ，即点 B（ ， ） 所以 （ ， ） ，即 （ ， ） 第 17 页（共
27、 18 页）因为点 T 在圆 x2+y22 上，所以 2，化简得 48k48k 2210，解得 k2 ，所以 k 经检验知，此时（*）对应的判别式0，满足题意故存在满足条件的直线 l，其方程为 y （x2） 【点评】本题考查椭圆标准方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题20设 aR，函数 f（x ）lnxax（1）若 a2，求曲线 yf（x）在点 P（1，2）处的切线方程；（2）若 f（x）无零点，求 a 的取值范围；（3）若 f（x）有两个相异零点 x1、x 2，求证：x 1+x2 【分析】 （1）先求导数，根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式得结果，（2）先求导数，
28、再根据导函数零点讨论函数单调性，根据单调性确定函数最大值，最后根据最大值小于零得结果（3）根据零点解得 a ，化简欲证不等式，再令 t ，构造关于 t 的函数，利用导数证不等式【解答】解：（1）当 a2 时，f（x ）lnx2x，所以 f（x） 2故切线的斜率 kf（1）1，则切线方程为 y+2（x 1） ，即 x+y+10（2）f（x） a，当 a 0 时， f（x ）lnx 有唯一零点 x1，不合题意；当 a 0 时，则 f（x ） 0，f （x）在区间（0，+）上的增函数，因为 f（1）a0，f（e a）aae aa（1e a）0，所以函数 f（x）在区间（ 0，+）有唯一零点，不合题意
29、；当 a 0 时，令 f（x ） 0 得 x ，所以，当 x（ 0， ）时，f（x）0，函数 f（x）在（ 0， ）上是增函数；第 18 页（共 18 页）当 x（ ，+）时，f（x）0，函数 f（x）在（ ，+）上是减函数所以在区间（0，+）上，函数 f（x ）有极大值为 f（ ）ln 1lna1，e aa0，故 ，且 ea1，f（ ）a a （1+ ）0，且当 x+ 时，f （x ），若 f（x）无零点，则 f（ ）0，即lna 10，解得 a ，故所求实数 a 的取值范围是（ ，+） （3）设 x1x 20，由 f（x 1）f （x 2）0 可得 lnx1ax 10，lnx 2ax 20，lnx 1lnx 2a（x 1x 2） ，即 a ，要证：x 1+x2 ，只需证 a（x 1+x2）2，即证：ln 令 t 1，于是 ln lnt 设函数 h（t）lnt （t 1） ，求导得 h（t） 0，所以函数 h（t）在（1，+）上是增函数，所以 h（t）h（1）0，即不等式 lnt 在（1，+）上恒成立，故所证不等式 x1+x2 成立【点评】本题考查导数几何意义、利用导数研究函数零点以及利用导数计算函数最值，考查综合分析求解能力，属较难题
