1、6.5 复 数最新考纲 考情考向分析1.了解复数的定义、复数的模和复数相等的概念2.了解复数的加、减运算的几何意义3.理解复数代数形式的四则运算.本节主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算，与向量结合考查复数及其加法、减法的几何意义，突出考查运算能力与数形结合思想一般以选择题、填空题的形式出现，难度为低档.1复数的有关概念(1)定义：形如 abi(a，bR )的数叫做复数，其中 a 叫做复数 z 的实部，b 叫做复数 z 的虚部(i 为虚数单位)(2)分类：满足条件(a，b 为实数)ab i 为
2、实数b0ab i 为虚数b0复数的分类a bi 为纯虚数a0 且 b0(3)复数相等：abi c diac 且 bd(a，b，c，d R)(4)共轭复数：abi 与 cdi 共轭ac，bd(a，b， c，dR)(5)模：向量 的模叫做复数 zabi 的模，记作|abi|或|z| ，即OZ |z|abi| (a，bR)a2 b22复数的几何意义复数 zabi 与复平面内的点 Z(a，b) 及平面向量 (a ，b)( a，bR)是一一对应关系OZ 3复数的运算(1)运算法则：设 z1abi，z 2cdi ，a，b，c，dR .(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行如图给出的
3、平行四边形 OZ1ZZ2 可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即 OZ OZ1 ， .OZ2 Z1Z2 OZ2 OZ1 概念方法微思考1复数 abi 的实部为 a，虚部为 b 吗？提示 不一定只有当 a，bR 时，a 才是实部，b 才是虚部2如何理解复数的加法、减法的几何意义？提示 复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)方程 x2x10 没有解( )(2)复数 za bi(a，bR)中，虚部为 bi.( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小( )(4)原点是实轴与虚轴的交点( )(5
4、)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模( )题组二 教材改编2P106B 组 T2设 z 2i，则|z|等于( )1 i1 iA0 B. C1 D.12 2答案 C解析 z 2i 2i 2ii ，1 i1 i 1 i21 i1 i 2i2|z| 1.故选 C.3P112A 组 T2在复平面内，向量 对应的复数是 2 i，向量 对应的复数是13i，AB CB 则向量 对应的复数是( )CA A12i B12i C34i D34i答案 D解析 13i ( 2i)34i.CA CB BA 4P116A 组 T2若复数 z (x21)(x1)i 为纯虚数，则实数
5、 x 的值为( )A1 B0 C1 D1 或 1答案 A解析 z 为纯虚数，Error!x1.题组三 易错自纠5设 a，bR，i 是虚数单位，则“ab0”是“复数 a 为纯虚数”的( )biA充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件答案 C解析 复数 a abi 为纯 虚数， a0 且b0，即 a0 且 b0，“ab0”是bi“复数 a 为纯虚数”的必要不充分条件故 选 C.bi6若复数 z 满足 iz22i(i 为虚数单位) ，则 z 的共轭复数 在复平面内对应的点所在的象z限是( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案 B解析 由题意，z 22i ，2
6、 2ii 2 2i ii i 22i，则 z 的共轭复数 对应的点在第二象限故选 B.z z7i 2 014i 2 015i 2 016i 2 017i 2 018i 2 019i 2 020_.答案 i解析 原式i 2i 3i 4i 1i 2i 3i 4i.题型一 复数的概念1(2018丽水、衢州、湖州三地市质检)若复数 z 满足 iz32i(i 为虚数单位)，则复数 z的虚部是( )A3 B3iC3 D3i答案 C解析 因为 z 2 3i，所以复数 z 的虚部是 3.故选 C. 3 2ii2复数 的共轭复数是( )2 i1 iA i B i32 12 32 12C. i D. i32 12
7、 32 12答案 D解析 由复数 i，2 i1 i (2 i)1 i1 i1 i 3 i2 32 12所以共轭复数为 i，故选 D.32 123(2018杭州质检)设 aR，若(1 3i)(1 ai)R (i 是虚数单位)，则 a 等于( )A3 B3C. D13 13答案 B解析 由题意得，(13i)(1 ai)13a(3a)i 为实数，3a0，a3，故选 B.思维升华 复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等，在解题中要注意辨析概念的不同，灵活使用条件得出符合要求的解题型二 复数的运算命题点 1 复数的乘法运算例 1 (1)(2018全国)(1 i)(2 i) 等于( )A3i
8、 B3iC3i D3i答案 D解析 (1i)(2i)22iii 23i.(2)i 等于( )(2 3i)A32i B32iC32i D32i答案 D解析 i(23i)2i3i 232i ，故选 D.命题点 2 复数的除法运算例 2 (1)(2018全国) 等于( )1 2i1 2iA i B i45 35 45 35C i D i35 45 35 45答案 D解析 1 2i1 2i 1 2i21 2i1 2i 1 4 4i1 2i2 i. 3 4i5 35 45故选 D.(2)(2018浙江杭州地区四校联考) 设 z 的共轭复数是 ，若 z 4，z 28i，则 等于( )z zzzAi BiC
9、1 Di答案 D解析 由 z 4 可设 z2bi(bR)，由 z28i，得 b2，所以zz 8， i，故选 D.zzz z28 22i28命题点 3 复数的综合运算例 3 (1)(2018绍兴质检)在复平面内，复数 i 5 的模为 ( )11 iA. B.1052C. D.5102答案 D解析 因为 i 5 i 5 ii i，所以该复数的模为 11 i 1 i1 i1 i 12 12 12 32 (12)2 ( 32)2，故选 D.102(2)对于两个复数 1i，1i，有下列四个结论： 1 ； i； 1； 2 20， |其中正确结论的个数为( )A1 B2 C3 D4答案 C解析 对于两个复数
10、 1i ，1i ， (1i)(1i)2，故不正确； i ，故正确； 1 i1 i 1 i1 i1 i1 i 2i2 1，故正确；| | i| 2 2(1i) 2(1i) 212i112i10，故 正确故 选 C.思维升华 (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的四则运算(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭 复数跟踪训练 1 (1)已知 aR，i 是虚数单位，若 z ai ，z 4，则 a 为( )3 zA1 或1 B1C1 D不存在的实数答案 A解析 由题意得 ai，z 3故 z 3a 24a1，故选 A.z(2)(2018浙江杭州七校联考)已知复数 z2ai(aR )，|(
11、 1i)z| 3 ，则 a 的值是( )2A B.5 5C D.3 3答案 A解析 方法一 |(1i)z| |(2a)(2 a)i| 3 ，则 2 a2 2 a2 2a2 8 2a ，故选 A.5方法二 |(1i)z| 1i|z| 3 ，则 a ，故选 A.2 22 a2 2 5题型三 复数的几何意义例 4 (1)(2018浙江六校协作体联考)已知 是 z 的共轭复数，若复数 z 2，则 在复平z1 2i2 i z面内对应的点是( )A(2,1) B(2，1)C(2,1) D(2，1)答案 A解析 方法一 由 z 2 2 22i，得 2i，所以 在复平1 2i2 i 1 2i2 i2 i2 i
12、 5i5 z z面内对应的点为(2,1)，故 选 A.方法二 由 z 2 2 22i，得 2i，所以 在复平面内对1 2i2 i 1 2ii2 ii 1 2ii 1 2i z z应的点为(2,1)，故选 A.(2)(2018浙江重点中学考试)已知复数 z 满足(2i)z3 ai(i 是虚数单位)若复数 z 在复平面内对应的点在直线 y2x 4 上，则实数 a 的值为_答案 114解析 方法一 因为(2i)z 3ai，所以 z ，其在复平面内对3 ai2 i2 i2 i 6 a 2a 3i5应的点为 ，所以 4，解得 a .(6 a5 ，2a 35 ) 2a 35 12 2a5 114方法二 因
13、为复数 z 在复平面内对应的点在直线 y2x4 上，不妨设 zt(2t4)i(tR)，则(2i)t(2t4)i2t2t4(3t8)i3ai ，所以 Error!解得 a .114思维升华 复平面内的点、向量及向量 对应的复数是一一对应 的，要求某个向量 对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接 给 出结论即可跟踪训练 2 (1)已知复数 z (i 是虚数单位)，则 z 的共轭复数 对应的点在( )5i3 4i zA第四象限 B第三象限C第二象限 D第一象限答案 A解析 z i，5i3 4i 5i(3 4i)(3 4i)(3 4i) 45 35 i，则 z 的共轭复数 对应
14、的点在第四象限故选 A.z45 35 z(2)已知复数 z112i，z 21i ，z 332i ，它们所对应的点分别为 A，B，C ，O 为坐标原点，若 x y ，则 xy 的值是_OC OA OB 答案 5解析 由已知得 A(1,2) ，B(1， 1)，C(3， 2)， x y ，OC OA OB (3，2) x(1,2)y (1，1)(xy,2xy )，Error! 解得Error!故 xy5.1(2018湖州模拟)已知 i 为虚数单位，则复数 z 的虚部为( )1 i1 2iiA1 Bi C1 D i答案 C解析 由题意知，z 3i，故复数 z 的虚部为 1. 1 3ii2(2018浙江
15、高考研究联盟联考) 复数 的模是( )3 4iiA4 B5 C7 D25答案 B解析 |43i| 5.|3 4ii | 16 93(2018浙江金华名校统练) 设复数 z 满足 2i ，则 z 等于( )1 z1 zA i B i35 45 35 45C. i D. i35 45 35 45答案 A解析 由 2i，得 1z2i(2i)z，所以 z i，故选 A.1 z1 z 1 2i1 2i 1 2i21 2i1 2i 35 454(2018温州测试)若复数 z1，z 2 在复平面内关于虚轴对称，且 z11i(i 为虚数单位) ，则等于( )z1z2Ai Bi C2i D2i答案 A解析 依题
16、意得，z 21i，所以 i.故选 A.z1z2 1 i 1 i 1 i2 1 i1 i 2i 25已知 i 为虚数单位，aR，若 为纯虚数，则 a 等于( )i 2a iA. B C2 D212 12答案 B解析 由题意知 i 2a i (i 2)(a i)(a i)(a i) 2a 1 a 2ia2 1 i，又由 为纯虚数， 2a 1a2 1 a 2a2 1 i 2a i所以2a10 且 a20，解得 a ，故 选 B.126(2018浙江七彩阳光联盟联考) 已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足 1i，则 z 等于( )41 z zA4 B5 C6 D8答案 B解析 由 1i，得 z 11
17、2i，所以 12i，则 z (1 2i)(12i)5，故 选 B.41 z 41 i z z7已知复数 z 满足 z21216i ，则 z 的模为( )A20 B12 C2 D25 3答案 C解析 设 zabi，a，bR，则由 z21216i，得 a2b 22abi1216i，则Error! 解得Error!或Error!即|z| 2 .故选 C.a2 b2 16 4 58已知集合 M1，m,3(m 25m 6)i，N1,3，若 MN 3，则实数 m 的值为_答案 3 或 6解析 MN3，3M 且1M，m1,3(m 25m6)i3 或 m3，m 25m60 且 m1 或 m3，解得 m6 或
18、m3，经检验符合题意9(2019嘉兴测试)若复数 z 43i ，其中 i 是虚数单位，则|z| _，z 2_.答案 5 724i解析 |z|4 3i| 5， z2(4 3i) 2724i.42 3210若复数 z 满足(3i)z2 i(i 为虚数单位)，则 z_；|z|_.答案 i 12 12 22解析 由题意可知 z i，所以 |z| .2 i3 i 2 i3 i3 i3 i 6 5i i29 i2 12 12 (12)2 ( 12)2 2211(2018浙江十校联盟考试) 复数 z (i 为虚数单位)的虚部为_，其共轭复数在2i1 i复平面内对应的点位于第_象限答案 1 四解析 因为 z
19、1i ，所以 z 的虚部为 1， 1i，故复数 z 的共轭复数在2i1 i 2i1 i1 i1 i z复平面内对应的点位于第四象限12(2018浙江重点中学考前热身联考) 若 a 为实数， 3i，且 z1 i，则17 ai4 5i a11a_，|z|_.答案 11 2解析 由题意得 17ai(45i)(3i)1711i，所以 a11.故z1i ，|z| .12 12 213(2018台州模拟)已知复数 z 的共轭复数 满足( i)(1i)13i(i 为虚数单位)，则 z 在z z复平面内对应的点位于第_象限，|z| _.答案 三 10解析 由( i)(1i)13i，得 i i 13i ，所以
20、z13i，所z z1 3i1 i 1 3i1 i1 i1 i以 z 在复平面内对应的点为(1，3)，位于第三象限， |z| . 12 32 1014(2017浙江)已知 a，b R，( abi) 234i(i 是虚数单位)，则a2b 2_，ab_.答案 5 2解析 (abi) 2a 2b 22ab i.由(abi) 23 4i.得Error!解得 a24，b 21.所以 a2b 25，ab2.15已知复数 zbi(bR)， 是实数，i 是虚数单位z 21 i(1)求复数 z；(2)若复数(mz) 2 所表示的点在第一象限，求实数 m 的取值范围解 (1)因为 z bi(bR)，所以 z 21
21、i bi 21 i bi 21 i1 i1 i i.b 2 b 2i2 b 22 b 22又因为 是实数，所以 0，z 21 i b 22所以 b2，即 z2i.(2)因为 z2i，mR，所以(mz) 2 (m2i) 2m 2 4mi4i 2(m 24) 4mi，又因为复数(mz) 2 所表示的点在第一象限，所以Error! 解得 mb，则 ai bi；若 aR，则(a1)i 是纯虚数；若 zi，则 z31 在复平面内对应的点位于第一象限其中正确的命题是_(填上所有正确命题的序号)答案 解析 由复数的概念及性质知， 错误；错误；若 a1，则 a10，不满足纯虚数的条件，错误；z31(i) 31i1，正确20复数 z1，z 2 满足 z1m(4m 2)i，z 22cos (4sin )i(m，R)，并且 z1z 2，求 的取值范围解 由复数相等的充要条件可得Error!化 简得 44cos 24sin ，由此可得 4cos24sin 44(1sin 2)4sin 44sin 24sin 4 21，(sin 12)因为 sin 1,1，所以 4sin24sin 1,8所以 的取值范 围是1,8
