1、第四篇 三角函数与解三角形专题 4.04 三角函数的图象与性质【考试要求】 1.能画出三角函数 ysinx，ycosx，ytanx 的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值；2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在0，2上，正切函数在 上的性质.( 2，2)【知识梳理】1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数 ysinx ，x0， 2的图象中，五个关键点是：(0，0)， ，( ，0)， ，(2，0).(2，1) (32， 1)(2)余弦函数 ycosx，x0， 2的图象中，五个关键点是：(0 ，1)， ，(，1)， ，(2 ，1).(2，0) (32，0)2.正弦、余
2、弦、正切函数的图象与性质(下表中 kZ)函数 ysin x ycos x ytan x图象定义域 R R x xk |x R，且 )2值域 1，1 1，1 R周期性 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数递增区间 2k 2，2k 2 2k，2k (k 2，k 2)递减区间 2k 2，2k 32 2k，2k 无对称中心 (k，0) (k 2，0) (k2，0)对称轴方程xk2xk 无【微点提醒】1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是 个周期.14(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.对于 ytan
3、x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间 (kZ)内为增函数.(k 2，k 2)【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打 “”或“”)(1)余弦函数 ycos x 的对称轴是 y 轴.( )(2)正切函数 ytan x 在定义域内是增函数 .( )(3)已知 yksin x1，xR，则 y 的最大值为 k1.( )(4)ysin|x|是偶函数 .( )【答案】 (1) (2) (3) (4)【解析】 (1)余弦函数 ycos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条.(2)正切函数 ytan x 在每一个区间 (kZ )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不(k 2，k
4、2)是增函数.(3)当 k0 时，y maxk 1；当 k ，由正弦曲线得 2k0， ) 12 6 56所以不等式组的解集为 .( 116， 76) (6，56) (136，8【规律方法】1.三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数 ytan x 的定义域求函数 yAtan(x)的定义域转化为求解简单的三角不等式.(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式.2.简单三角不等式的解法(1)利用三角函数线求解.(2)利用三角函数的图象求解.【训练 1】 (1)函数 y 的定义域为_.sin x cos x(2)函数 ylg(sin x ) 的定义域为_.cos x 12【答案
5、】 (1) x|4 2k x 54 2k，k Z【解析】 (1)要使函数有意义，必须使 sin xcos x0.利用图象，在同一坐标系中画出0，2上 ysin x和 ycos x 的图象，如图所示.在0，2上，满足 sin xcos x 的 x 为 ， 再结合正弦、余弦函数的周期是4 542，所以原函数的定义域为.x|4 2k x 54 2k，k Z(2)要使函数有意义必须有 sin x0，cos x 12 0，)即 解得 (kZ)，sin x0，cos x 12，) 2kbc B.acbC.cab D.bac【答案】 A【解析】 令 2kx 2k ，k Z，6解得 2k x2k ，kZ，6
6、56函数 f(x)2cos 在 上是减函数，(x 6) 6，56 f f .(7) (6) (4)角度 3 利用单调性求参数【例 33】 (2018全国卷) 若 f(x)cos xsin x 在 a，a是减函数，则 a 的最大值是( )A. B. C. D.4 2 34【答案】 A【解析】 f(x)cos xsin x cos ，2 (x 4)由题意得 a0，故a 0， ) 4 4【规律方法】 1.已知三角函数解析式求单调区间：(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；(2)求形如 yAsin(x )或 yAcos(x)(其中 0)的单调区间
7、时，要视“x ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果 0)在 上单调递增，在区间 上单调递减，则 _.0，3 3，2【答案】 (1)C (2)sin 68cos 23cos 97 (3)32【解析】 (1)由 x ，得 2x ，此时函数 f(x)先减后增；由 x ，得 2x 2，0 3 43， 3 0，2 3，此时函数 f(x)先增后减；由 x ，得 2x ，此时函数 f(x)单调递减；由 x 3，23 2，56 3 23，43，得 2x ，此时函数 f(x)先减后增.56， 3 43，53(2)sin 68cos 22，又 ycos x 在0，180上是减函数，sin 68cos 23cos
8、 97.(3)法一 由于函数 f(x)sin x(0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知， 为函数3f(x)的 周期，故 ，解得 .14 2 43 32法二 由题意，得 f(x)maxf sin 1.(3) 3由已知并结合正弦函数图象可知， 2k (kZ )，解得 6k( kZ )，所以当 k0 时， .3 2 32 32考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 角度 1 三角函数奇偶性、周期性【例 41】 (1)(2018全国卷) 已知函数 f(x)2cos 2xsin 2x2，则( )A.f(x)的最小正周期为 ，最大值为 3B.f(x)的最小正周期为 ，最大值为 4C.f
9、(x)的最小正周期为 2，最大值为 3D.f(x)的最小正周期为 2，最大值为 4(2)(2019杭州调研)设函数 f(x)sin cos 的图象关于 y 轴对称，则 ( )(12x ) 3 (12x )(|0，| 2) 4 4在 上单调，则 的最大值为( )(18，536)A.11 B.9 C.7 D.5【答案】 (1)C (2)B【解析】 (1)因为函数 f(x)asin xcos x(a 为常数，x R)的图象关于直线 x 对称，6所以 f(0)f ，所以 1 a ，a ，(3) 32 12 33所以 g(x)sin x cos x sin ，33 233 (x 6)函数 g(x)的对称
10、轴方程为 x k (kZ)，即 xk (kZ)，当 k0 时，对称轴为直线 x ，所以6 2 3 3g(x)sin xacos x 的图象关于直线 x 对称.3(2)因为 x 为 f(x)的零点，x 为 f(x)的图象的对称轴，所以 ，即4 4 4 ( 4) T4 kT2 T (kZ)，所以 2k1(kZ ).2 2k 14 2k 14 2又因为 f(x)在 上单调，所以 ，即 12，11 验证不成立( 此时求得 f(x)sin(18，536) 536 18 12 T2 22在 上单调递增，在 上单调递减) ，9 满足条件，由此得 的最大值为 9.(11x 4) (18，344) (344，5
11、36)【规律方法】 1.对于可化为 f(x)Asin(x )形式的函数，如果求 f(x)的对称轴，只需令 x k(kZ)，求 x 即可；2如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令 x k(kZ) ，求 x 即可.2.对于可化为 f(x)Acos(x )形式的函数，如果求 f(x)的对称轴，只需令 x k (kZ )，求 x；如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令 x k (kZ) ，求 x 即可.2【训练 4】 (1)(2018全国卷) 函数 f(x) 的最小正周期为( )tan x1 tan2xA. B. C. D.24 2(2)设函数 f(x) cos ，则下列结论错误的是 ( )(
12、x 3)A.f(x)的一个周期为2B.yf(x)的图象关于直线 x 对称83C.f(x)的一个零点为 x6D.f(x)在 单调递减(2，)【答案】 (1)C (2)D【解析】 (1)f (x)的定义域为 .x|x k 2，k Zf(x) sin xcos x sin 2x，sin xcos x1 (sin xcos x)2 12f(x)的最小正周期 T .22(2)A 项，因为 f(x)的周期为 2k(kZ 且 k0) ，所以 f(x)的一个周期为2，A 项正确.B 项，因为 f(x)图象的对称轴为直线 xk (kZ)，当 k3 时，直线 x 是其对称轴，B 项正确.3 83C 项，f (x)
13、cos ，将 x 代入得到 f cos 0，所以 x 是 f(x)的一个零点，C 项正确.(x 43) 6 (76) 32 6D 项，因为 f(x)cos 的递减区间为 (kZ )，递增区间为 (kZ )，(x 3) 2k 3，2k 23 2k 23，2k 53所以 是减区间， 是增区间，D 项错误.(2，23) 23，)【反思与感悟】1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成 yAsin(x )(0)的形式.2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等) 可以通过换元的方法令 tx ，将其转化为研究 ysin t(或 ycos t)的性质 .3.数形结合是本节的重要数学思想.【易错防
14、范】1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.2.要注意求函数 yA sin(x )的单调区间时 A 和 的符号，尽量化成 0 时情况，避免出现增减区间的混淆.3.求三角函数的单调区间时，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明 kZ.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时： 40 分钟)一、选择题1.(2017山东卷)函数 y sin 2xcos 2x 的最小正周期为( )3A. B. C. D.22 23【答案】 C【解析】 y2 2sin ，(32sin 2x 12cos 2x) (2x 6)T .222.(2019石家庄检测)若 是
15、函数 f(x)sin xcos x 图象的一个对称中心，则 的一个取值是( )(8，0)A.2 B.4 C.6 D.8【答案】 C【解析】 因为 f(x)sin xcos x sin ，由题意，知 f sin 0，所以2 (x 4) (8) 2 (8 4) k(kZ)，即 8k2( kZ )，当 k1 时，6.8 43.已知函数 f(x)2sin x (0)在区间 上的最小值是2，则 的最小值等于( ) 3，4A. B. C.2 D.323 32【答案】 B【解析】 0， x ， x .3 4 3 4由已知条件知 ， .3 2 324.(2019湖南十四校联考)已知函数 f(x)2sin x
16、cos x(0)，若 f(x)的两个零点 x1，x 2 满足|x1 x2|min2，则 f(1)的值为( )A. B. C.2 D.2102 102【答案】 C【解析】 依题意可得函数的最小正周期为 2|x 1x 2|min224，即 ，所以 f(1)2sin cos 2 2 2 2.25.若 f(x)为偶函数，且在 上满足：对任意 x10，则 f(x)可以为( )(0，2) f（x1） f（x2）x1 x2A.f(x)cos B.f(x)|sin(x )|(x 52)C.f(x) tan x D.f(x)1 2cos22x【答案】 B【解析】 f(x )cos sin x 为奇函数，排除 A
17、；f(x )tan x 为奇函数，排除 C；f (x)(x 52)12cos 22xcos 4x 为偶函数，且单调增区间为 (kZ)，排除 D；f(x) |sin( x)|sin x|为k2，k2 4偶函数，且在 上单调递增.(0，2)二、填空题6.(2019烟台检测)若函数 f(x)cos (00).若 f(x)f 对任意的实数 x 都成立，则 的最小值为(x 6) (4)_.【答案】 23【解析】 由于对任意的实数都有 f(x)f 成立，故当 x 时，函数 f(x)有最大值，故(4) 4f 1， 2k (kZ)，8k (kZ ).又 0， min .(4) 4 6 23 23三、解答题9.
18、(2018北京卷)已知函数 f(x)sin 2x sin xcos x.3(1)求 f(x)的最小正周期；(2)若 f(x)在区间 上的最大值为 ，求 m 的最小值. 3，m 32【答案】见解析【解析】(1)f(x) cos 2x sin 2x12 12 32sin .(2x 6) 12所以 f(x)的最小正周期为 T .22(2)由(1)知 f(x)sin .(2x 6) 12由题意知 xm，3所以 2x 2m .56 6 6要使得 f(x)在 上的最大值为 ， 3，m 32即 sin 在 上的最大值为 1.(2x 6) 3，m所以 2m ，即 m .6 2 3故实数 m 的最小值为 .31
19、0.(2019北京通州区质检)已知函数 f(x)sin xcos x(0)的最小正周期为 .(1)求函数 yf(x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数 f(x)在 上的单调性 .0，2【答案】见解析【解析】(1)f (x)sin xcos x sin ，且 T，2 (x 4)2，于是 f(x) sin .2 (2x 4)令 2x k (kZ )，得 x (kZ ).4 2 k2 38即函数 f(x)图象的对称轴方程为 x (kZ).k2 38(2)令 2k 2x 2k (kZ)，2 4 2得函数 f(x)的单调递增区间为 (kZ ).k 8，k 38注意到 x ，所以令 k 0，0，2得函数
20、f(x)在 上的单调递增区间为 ；0，2 0，38同理，其单调递减区间为 .38，2【能力提升题组】(建议用时： 20 分钟)11.若对于任意 xR 都有 f(x)2f(x)3cos xsin x，则函数 f(2x)图象的对称中心为( )A. (kZ) B. (kZ)(k 4，0) (k 8，0)C. (kZ) D. (kZ )(k2 4，0) (k2 8，0)【答案】 D【解析】 因为 f(x)2f(x)3cos xsin x，所以 f(x) 2f(x )3cos x sin x.解得 f(x)cos xsin x sin ，2 (x 4)所以 f(2x) sin .2 (2x 4)令 2x
21、 k(k Z)，得 x (kZ).4 k2 8所以 f(2x)图象的对称中心为 (kZ).(k2 8，0)12.(2017天津卷)设函数 f(x)2sin(x )，xR ，其中 0，| |.若 f 2，f 0，且 f(x)的最小(58) (118)正周期大于 2，则( )A. ， B. ，23 12 23 1112C. ， D. ，13 1124 13 724【答案】 A【解析】 f 2，f 0，且 f(x)的最小正周期大于 2，(58) (118)f(x)的最小正周期为 4 3，(118 58) ，f (x)2sin .23 23 (23x )2sin 2，得 2k (kZ )，(2358
22、) 12又|，取 k0，得 .1213.已知 x0 是函数 f(x)sin(2x)的一个极大值点，则 f(x)的单调递减区间是_.3【答案】 (kZ )k 3，k 56【解析】 因为 x0 是函数 f(x)sin(2x)的一个极大值点，3所以 sin 1，解得 2k (kZ).(23 ) 6不妨取 ，此时 f(x)sin ，6 (2x 6)令 2k 2x 2k (kZ)，2 6 32得 f(x)的单调递减区间是 (kZ ).k 3，k 5614.已知函数 f(x)sin sin x cos2x .(2 x) 3 32(1)求 f(x)的最大值及取得最大值时 x 的值；(2)若方程 f(x) 在
23、(0 ，) 上的解为 x1，x 2，求 cos(x1x 2)的值.23【答案】见解析【解析】(1)f(x)cos xsin x (2cos2x1)32 sin 2x cos 2xsin .12 32 (2x 3)当 2x 2k(k Z )，即 x k( kZ)时，函数 f(x)取最大值，且最大值为 1.3 2 512(2)由(1)知，函数 f(x)图象的对称轴为 x k (kZ)，当 x(0，)时，对称轴为 x .512 512又方程 f(x) 在(0，)上的解为 x1，x 2.23x 1x 2 ，则 x1 x 2，56 56cos(x 1x 2)cos sin ，(56 2x2) (2x2
24、3)又 f(x2)sin ，(2x2 3) 23故 cos(x1x 2) .23【新高考创新预测】15.(思维创新) 已知函数 f(x)sin ，若对任意的实数 ，都存在唯一的实数 0，m，(x 6) 56， 2使 f()f( )0，则实数 m 的最小值是 _.【答案】 2【解析】 因为 ，所以 ，则 f()sin ，因为对任意的 56， 2 6 ， 23 ( 6) 32，0实数 ，都存在唯一的实数 0 ，m ，使 f()f() 0，所以 f()在0，m 上单调，且 f() 56， 2，则 sin ，则 ，所以 ，即实数 m 的最小值是 . 0，32 ( 6) 0，32 6 0，3 6，2 2
