1、专题 05 和差倍半公式的应用一、本专题要特别小心：1.角的范围问题2. 角的一致性问题3. 三角化简形式、名称、角的一致原则4.角成倍角的余弦之积问题 5.“1”的妙用6.辅助角的替换作用7. 角的范围对函数性质的影响8. 用已知角表示未知角问题二方法总结：1.对于任意一个三角公式，应从“顺、逆”两个方面去认识，尽力熟悉它的变式，以及能灵活运用.2.公式应用要讲究“灵活、恰当”，关键是观察、分析题设“已知”和“未知”中角之间的“和、差、倍、半”以及“互补、互余”关系，同时分析归纳题设中三角函数式的结构特征，探究化简变换目标.3.把握三角公式之间的相互联系是构建“三角函数公式体系”的条件，是牢
2、固记忆三角公式的关键.三 【题型方法】（一）正弦公式的灵活运用例 1. 若 ，则 的一个可能值是（ ）12+32=(+) A B C D6 3 6 3【答案】A【解析】 ，12sin+32cos=coscos6+sinsin6=cos(6)故 的一个可能值为 6故选：A练习 1. 已知 （其中 ）, ()=3（ +） （ +） 2（ +） +12 | 3=32所以 ，故选 A.0 +(， ) 0， 0 ，故 、 （ 2， 0） +（ ， 0）又 ， ，故选 B（ +） =+1=1 +=34练习 1. 若关于 x 的方程 在区间 上有两个根 ， ，且 ，则实(+)2+2= 0,) 1 2|12|
3、4数 m 的取值范围是 ( )A B C D0,2) 0,2 1,2+1 1,2+1)【答案】A【解析】关于 x 的方程 在区间0，）上有两个根 x1，x 2，(sin+cos)2+cos2=方程即 ，即 ，sin2+cos2=1sin(2x+4)=12 在区间0， ）上有两个根 x1，x 2，且|x 1-x2| sin(2x+4)=12 4x0， ） ，.2x+434,5474 ,94), 2212 =）A B C D30 60 120 150【答案】A【解析】在 中， ，sincos+sincos=12由正弦定理得： ， ，sinsincos+sinsincos=12sin sin0， ，
4、又 ，sincos+sincos=12 sin(+)=12 +=，又 ， 故选： sin(+)=sin()=sin=12 =30 练习 1. 中，角 的对边分别为 ，且 ， ，则 面积的最大 , ,=() =2 值为（注： 恒成立） （ ）2+22A B2 C D3 23 43【答案】A【解析】 ，=()由正弦定理得 ，即 ；22=() 2+22=由余弦定理得 ，结合 ，得 ；又 ，=2+222 =2=12 0 =3 =2由余弦定理可得 ，当且仅当 等号成立，4=2=2+22= = ，即 面积的最大值为 =121243=3 3故选：A练习 2.已知 BC中， tant3tanABAB且，3si
5、nco4，则 ABC是（ ）A正三角形 B直角三角形C正三角形或直角三角形 D直角三角形或等腰三角形【答案】A【解析】tanA+tanB 3tanAtanB，即 tanA+tanB 3（1 tanAtanB） ，1tantan（A+B） ，又 A 与 B 都为三角形的内角，A+B120，即 C 60，3sico4B，3sin2,2B 60或 120，则 A=90或 60.由题意知 90ABC 等边三角形故选：A练习 3. 在 中，内角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ，若 ，且 +=2，则 （ ）2+2=1 2+=A B C2 D022 2【答案】D【解析】因为 ，cos+cos=2cos所
6、以，由正弦定理可得 ，cos+cos=2cos即 ，(+)=2因为 ，0,=12,=3因为 ，cos2+2sinsin=1所以 ，2sinsin=1cos2=22=32，sinsin=34 (+)=12所以 ， ，=14 ()=+=14+34=1，又因为 ，=0,=+=23所以 ，所以 ，故选 D.=3= 2+=0（七）三角函数性质与三角化简例 7. 要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）=32+ 32 =2A向左平移 个单位 B向右平移 个单位12 12C向左平移 个单位 D向右平移 个单位6 6【答案】C【解析】函数 sin （2x ）sin2（x ） ，=32+ 32=32(1+2
7、)+22 32 +3 +6故把函数 的图象向左平移 个单位，可得函数 的图象，=26 =32+ 32故选：C练习 1. 函数 的递增区间是（ ）=252310A （ ） B （ ）10 , +25 25 , +10 C （ ） D （ ）35 , 10 320 , +720 【答案】C【解析】由函数 ，=252310=2525=(2+5)令 ，整理得 ，+22+52, 35+10+,所以函数的单调递增区间为 ，故选 C.35+,10+,练习 2.函数 的最小正周期和最小值分别是（ ）()=2+2+32A ，0 B ，0 C ， D ， 2 2 2 22 2【答案】C【解析】 ，最小正周期()=
8、2+2+32=1+2+(1+2)=2+2(2+4)为 ，当 时，取得最小值为 .(2+4)=1 2 2故选 C.练习 3.已知 是函数 的最大值，若存在实数 使得对任意实数()=2(2018+4)+(20184) 1,2总有 成立，则 的最小值为（ ） (1)()(2) |12|A B C D22018 22018 32018 42018【答案】C【解析】()=2(2018+4)+(20184)sin2018x cos2018x cos2018x sin2018x，=2 +2+22 +22（ cos2018x sin2018x）3sin（2018x ） ，=322 +22 +4A f（x） m
9、ax3，周期 T ，又存在实数 x1，x 2，对任意实数 x 总有 f（x 1）f（x）f（x 2）=22018= 1009成立，f（x 2）f（x ） max 3，f （x 1）f （x） min3，|x1x2|的最小值为 T ，又 A3，A| x1x2|的最小值为 12 = 2018 32018故选：C（八）角的一致性原则例 8. （ ）32020=A1 B2 C3 D4【答案】D【解析】 ，32020 =3202020 =320202020 =2(32201220)2020，故选 D。=2(6020)2020 = 2402020=420202020=4练习 1. ( )2sin80cos
10、70cos20 =A B1 C D2 3 3【答案】C【解析】2807020=2(60+20)7020= = = =26020+260207020 26020+207020 2602020.260=3练习 2. 计算： 的结果是（ ）310 1170A-4 B-2 C2 D4【答案】A【解析】310 1170= 310 1(18010)= 310 110=310101010=2(32101210)1010 =2(1030)10104= 2201221010=42020=故选：A练习 3. 的值为（ ）12 3684+32212A4 B8 C16 D32【答案】C【解析】： 12 3684+32
11、212=126066 +16(22121)+16=121260601212 +1624+16=1260126012121260 +1624+16=(1260)1824+1624+16，=224241824+1624+16=16故选 C.（九）三角综合例 9.设函数 f(0)(x)sin x，定义 f(1)(x)ff (0)(x)，f (2)(x)f f(1)(x)，f (n)(x)f f(n1) (x)，则 f(1)(15)f (2)(15)f (3)(15)f (2017)(15)的值是A B6+24 6 24C0 D1【答案】A【解析】因为 f(0)(x)sin x ，f (1)(x)ff
12、 (0)(x)=cosx，f (2)(x)ff (1)(x)=-sinx，f (3)(x)f f(2)(x)=-cosxf(4)(x)ff (3)(x)=sinx，f (5)(x)f f(4)(x)=cosx因为 f(1)(x)f (5)(x)，所以 f(n)(x)是以 4 为周期的函数f(1)(x)+f(2)(x)+ f(3)(x)+f(4)(x)0则 f(1)(15)f (2)(15)f (3)(15)f (2017)(15)= f(1)(15) =cos15由余弦的差角公式，计算可得 cos15= cos（45-30）=cos45cos30+sin45sin30= 6+24所以选 A练习
13、 1. 如图，这个美妙的螺旋叫做特奥多鲁斯螺旋，是由公元 5 世纪古希腊哲学家特奥多鲁斯给出的，螺旋由一系列直角三角形组成（图） ，第一个三角形是边长为 的等腰直角三角形，以后每个直角三角形1以上一个三角形的斜边为直角边，另一个直角边为 将这些直角三角形在公共顶点处的角依次记为1则与 最接近的角是 ( )1,2,3, 1+2+3+4参考值： ， ， ，551.428601.732652.14521.414A B C D120 130 135 140【答案】C【解析】由题意可得， 都是锐角，且 ， ，1,2,3,41=45， 2=22 3= 33， 又 3=30， 4=14=12 1+3=75 (2+4)=，故 接近 ，故与 最2+4124=22+121 2212=6+527 1.8760(2+4) 60 1+2+3+4接近的角是 ，故选：C75+60=135练习 2. 已知双曲线21(0,)xyab的两条渐近线分别为直线 1l， 2，经过右焦点 F且垂直于 1l的直线 l分别交 1l， 2于 ,AB两点，且 2FA，则该双曲线的离心率为（ ）A3B 3C43D43【答案】A【解析】由题得 |,|2,|OAa,FAb由题得tantaBO，所以22ttn1()bbaABF，所以2223,9,(3baca，所以e.故选：A
