1、专题 18 坐标系与参数方程1【2019 年高考全国卷文数】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为2214txyt，（t 为参数）以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为2cos3in10（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值【答案】（1） ； 的直角坐标方程为 ；（2） 21()4yxl2310xy7【解析】（1）因为 ，且 ，所以C的直角坐标方程2t22214yttx为 2(1)4yx的直角坐标方程为 l 30xy（2）由（1）可设C的参数方程为 （ 为参数， ）cos,2inxC上的点到 的距离为
2、 l4cs1|2cos3i1|377当 时， 取得最小值7，故C上的点到 距离的最小值为 34s3 l7【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题2【2019 年高考全国卷文数】在极坐标系中，O 为极点，点 在曲线0(,)M上，直线 l 过点 且与 垂直，垂足为 P:4sinC(4,0)AO（1）当 时，求 及 l 的极坐标方程；0=30（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程【答案】（1） ，l 的极坐标方程为
3、 ；023cos23（2） 4cos,4【解析】（1）因为 在C上，当 时， 0,M0304sin23由已知得 |cos23OPA设 为l上除P的任意一点在 中， ，(,)QRtOPQ cos|23OP经检验，点 在曲线 上(2,)3cos23所以，l的极坐标方程为 （2）设 ，在 中， 即 (,)PRtOAP |cos4,A4cos因为P在线段OM 上，且 ，故 的取值范围是 M,2所以，P点轨迹的极坐标方程为 4cos,4【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型3【2019 年高考全国卷文数】如图，在极坐标系 Ox 中， ， ， ，弧 ， ， 所在
4、圆的圆心分别是 ，(2,0)A(,)4B(2,)C(,)DABCD(1,0)， ，曲线 是弧 ，曲线 是弧 ，曲线 是弧 11MAB23MA（1）分别写出 ， ， 的极坐标方程；23（2）曲线 由 ， ， 构成，若点 在 M 上，且 ，求 P 的极坐标1 P|O【答案】（1） 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为1M2cos042M， 的极坐标方程为 32sin43 3cos（2） 或 或 或 ,6,2,5,6【解析】（1）由题设可得，弧 所在圆的极坐标方程分别为 ， ，A,BCD2cos2sincos所以 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 ，1M2cos042M3sin4的极坐标方程为 3
5、3（2）设 ，由题设及（1）知(,)P若 ，则 ，解得 ；042cos36若 ，则 ，解得 或 ；3in32若 ，则 ，解得 cs5综上，P的极坐标为 或 或 或 3,6,32,53,6【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题4【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点 ，直线l的方程为3,2,4ABsin34（1）求A，B 两点间的距离；（2）求点B到直线l 的距离【答案】（1） ；（2）25【解析】（1）设极点为O在 OAB中，A（3， ），B（ ， ），42由余弦定理，得AB= 223()cos()5（2）因为直线l的方程为 ，sin()
6、34则直线l过点 ，倾斜角为 (32,)又 ，所以点B到直线l 的距离为 (,) 3(32)sin()24【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力5【2018 年高考全国卷文数】在直角坐标系 中，曲线 的方程为 以坐标原点为极xOy1C|2ykx点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 x 22cos30（1）求 的直角坐标方程；2C（2）若 与 有且仅有三个公共点，求 的方程1 1C【答案】（1） 的直角坐标方程为 ；（2） 的方程为 22()4xy1C4|23yx【解析】（1）由 ， 得 的直角坐标方程为 cosxsiny2()x（2）由（1）知
7、是圆心为 ，半径为 的圆2C(1,0)A由题设知， 是过点 且关于 轴对称的两条射线记 轴右边的射线为 ， 轴左边的射线为1,Byy1ly由于 在圆 的外面，故 与 有且仅有三个公共点等价于 与 只有一个公共点且 与 有2l212C1l2C2lC两个公共点，或 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点l 1l2当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 1l2CA1l 2|1k43k0经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 只有一个公共点， 与 有两个公0k1l2C43k1l2C2lC共点当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 2lCA
8、2l22|1k0k43经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 没有公共点0k1l2C43k2lC综上，所求 的方程为 14|3yx6【2018 年高考全国卷文数】在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），xOyC2cos4inxy，直线 的参数方程为 （ 为参数）l1cos2inxty， t（1）求 和 的直角坐标方程；Cl（2）若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ，求 的斜率l (1,2)l【答案】（1）曲线 的直角坐标方程为 ， 的直角坐标方程为 ；（2） 的斜率46xyl1xl为 2【解析】（1）曲线 的直角坐标方程为 C2146xy当 时， 的直角坐标方程为 ，co
9、s0l tanta当 时， 的直角坐标方程为 1x（2）将 的参数方程代入 的直角坐标方程，整理得关于 的方程l t2(3cos)4(cosin)80t因为曲线 截直线 所得线段的中点 在 内，所以有两个解，设为 ， ，则 Cl1,C1t2120t又由得 ，故 ，于是直线 的斜率 1224(csin)3otcosin0ltank7【2018 年高考全国卷文数】在平面直角坐标系 中， 的参数方程为 （ 为参数），xOy cosinxy，过点 且倾斜角为 的直线 与 交于 两点02， l AB，（1）求 的取值范围；（2）求 中点 的轨迹的参数方程ABP【答案】（1） 的取值范围是 ；（2）点 的
10、轨迹的参数方程是(,)4P2sin,coxy为参数， (4)【解析】（1） 的直角坐标方程为 OA21xy当 时， 与 交于两点2l当 时，记 ，则 的方程为 与 交于两点当且仅当 ，解tankl2ykxlOA2|1k得 或 ，即 或 1k(,)42(,)4综上， 的取值范围是 (,)（2） 的参数方程为 为参数， lcos,(2inxtty4)设 ， ， 对应的参数分别为 ， ， ，则 ，且 ， 满ABPAtBPt2ABtAtB足 2sin10tt于是 ， 又点 的坐标 满足iABt 2sinPtP(,)xycos,2in.Pt所以点 的轨迹的参数方程是 为参数， P2sin,coxy(4)
11、8 【 2018 年 高 考 江 苏 卷 数 学 】 在 极 坐 标 系 中 ， 直 线 l 的 方 程 为 ， 曲 线 C 的 方 程 为sin(26，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长4cos【答案】直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 23【解析】因为曲线 C 的极坐标方程为 ，=4cos所以曲线 C 的圆心为（2，0），直径为 4 的圆因为直线 l 的极坐标方程为 ，sin()26则直线 l 过 A（4，0），倾斜角为 ，所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点设另一个交点为 B，则OAB= 6连结 OB，因为 OA 为直径，从而OBA= ，2所以 4cos236A因此，直线 l 被曲
12、线 C 截得的弦长为 39【2017 年高考全国卷文数】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），3cos,inxy直线 l 的参数方程为 4,1xaty（ 为 参 数 ）（1）若 ，求 C 与 l 的交点坐标；a（2）若 C 上的点到 l 距离的最大值为 ，求 17a【答案】（1） ， ；（2） 或 (3,0)14,)58a16【解析】（1）曲线 的普通方程为 C29xy当 时，直线 的普通方程为 al430由 解得 或2430,19xy,xy21,54.从而 与 的交点坐标为 ， Cl(3,0)21,)5（2）直线 的普通方程为 ，故 上的点 到 的距离为4xyaC(
13、3cos,in)l|3cos4in|17d当 时， 的最大值为 ad917a由题设得 ，所以 ；9178当 时， 的最大值为 4ad17a由题设得 ，所以 176综上， 或 8a6【名师点睛】本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表示出椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数 的值a10【2017 年高考全国卷文数】在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 1Ccos4（1）M 为曲线 上的
14、动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 ，求点 P 的轨迹 的直|16OM2C角坐标方程；（2）设点 A 的极坐标为 ，点 B 在曲线 上，求 面积的最大值(2,)32COAB【答案】（1） ；（2） 40xyx3【解析】（1）设 的极坐标为 ，M 的极坐标为 ，P(,)1(,)0由题设知 cosOM=14,由 得 的极坐标方程 16P2Ccos(0)因此 的直角坐标方程为 224xyx（2）设点 B 的极坐标为 ，,0B由题设知 ，于是 的面积,4cosOAOABS1 3sin|in()|2sin()|2.23B 当 时，S 取得最大值 ，所以 面积的最大值为 2AB【名师点睛】本题考查了极
15、坐标方程的求法及应用。重点考查了转化与化归能力遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解解题时要结合题目自身特点，确定选择何种方程11【2017 年高考全国卷文数】在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为 （t 为参数），直2+,xyk线 l2 的参数方程为 设 l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C2,xmyk（ 为 参 数 ）（1）写出 C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 ，M 为3:cosin20ll3 与 C 的交点，求 M
16、 的极径【答案】（1） ；（2）240xy5【解析】（1）消去参数 得 的普通方程 ；消去参数 m 得 l2 的普通方程t1l1:2lykx2:lyxk设 ，由题设得 ，消去 k 得 ,Pxy21ykx240xy所以 C 的普通方程为 240xy（2）C 的极坐标方程为 22cosin42,联立 得 22cosin,0sicosin故 ，从而 1tan32291s,in代入 得 ，所以交点 M 的极径为 2cosin455【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接
17、利用极坐标的几何意义求解要结合题目本身特点，确定选择何种方程12【2017 年高考江苏卷数学】在平面直角坐标系 中，已知直线 的参考方程为 （ 为参数）xOyl82xty，曲线 的参数方程为 （ 为参数）设 为曲线 上的动点，求点 到直线 的距离的最C2xsyPCPl小值【答案】45【解析】直线 的普通方程为 l280xy因为点 在曲线 上，设 ，PC(,)Ps从而点 到直线 的的距离 ，l2 22|4|()451()sd当 时， 2smin45因此当点 的坐标为 时，曲线 上点 到直线 的距离取到最小值 P(,)CPl45【名师点睛】（1）将参数方程化为普通方程，消参数时常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法；（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中 x及 y 的取值范围的影响
