1、专题 11 平面向量1 【2019 年高考全国 I 卷文数 】已知非零向量 a，b 满足 ，且 b，则 a 与 b 的夹角为|2|b()aA B6 3C D 23 56【答案】B【解析】因为 b，所以 =0，所以 ，所以 =()a2()ab2abcos，所以 a 与 b 的夹角为 ，故选 B2|1ba 3【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为 0,2 【2019 年高考全国 II 卷文数】已知向量 a=(2，3) ，b=(3 ，2)，则|a-b|=A B2C5 D50【答案】A【解析】由已知， ，(2
2、,3),(1,)ab所以 ，2|(1)ab故选 A.【名师点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错3 【2018 年高考全国 I 卷文数 】在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则ABC DEADEBA B14BC 134ACC D3 【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得 11122424BEADBCABC，所以 ，故选 A.113244BAC3【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及
3、相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.4 【2018 年高考全国 II 卷文数】已知向量 ， 满足 ， ，则ab|1ab(2)abA4 B3C2 D0【答案】B【解析】因为 所以选 B.22|13abaa,【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.5【2018 年高考浙江卷】已知 a，b，e 是平面向量，e 是单位向量若非零向量 a 与 e 的夹角为 ，向 3量 b 满足 b24eb+3=0，则|ab|的最小值是A 1 B +13 3C2 D2【答案】A【解析】设 ，则由 得 ，=(,),=(1,0),=(,),=3 =|
4、3,=122+2,=3由 b24eb+3=0 得 因此| ab|的最小值为圆心 到直线2+24+3=0,(2)2+2=1, (2,0)的距离 减去半径 1，为 选 A.=3 31.【名师点睛】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题，考查数形结合思想，考查考生的选算求解能力以及分析问题和解决问题的能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.6 【2018 年高考天津卷文数】在如图的平面图形中，已知 ,1,2,10OMNO则 的值为2,BMACNBOA B 15 9C D06【答案】C【解析】如图所示，连结 MN，由 可知点 分别为线段 上靠近点 的三等=2,=2 , , 分点，则 ，
5、=3=3()由题意可知： ， ，2=12=1 =12120=1结合数量积的运算法则可得： .=3()=332=33=6本题选择 C 选项.【名师点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用7 【2017 年高考全国 II 卷文数】设非零向量 ， 满足 ，则ab+=abA BabC D 【答案】A【解析】由向量加法与减法的几何意义可知，以非零向量 ， 的模长为边长的平行四边形是矩形，从ab而可得 .故选 A.ab【名师点睛】本题主要考查向量的数量积与向量的垂直.8 【2017 年高考北京卷
6、文数】设 m,n 为非零向量，则“存在负数 ，使得 ”是“ ”的mn0A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若 ，使 ，则两向量 反向，夹角是 ，那么0mn,n180cos180mn；n若 ，那么两向量的夹角为 ，并不一定反向，即不一定存在负数 ，使得 ， 90,18 n所以是充分而不必要条件，故选 A.【名师点睛】本题考查平面向量的线性运算，及充分必要条件的判断，属于容易题.9 【2019 年高考北京卷文数】已知向量 =（4，3）， =（6，m），且 ，则 m=_abab【答案】8【解析】向量 则 .(4,3)(6,)m， ，ab043
7、08， ，【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.10 【2019 年高考全国 III 卷文数 】已知向量 ，则 _.(2,)(8,6)abcos,ab【答案】210【解析】 2286cos,| 10()ab【名师点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键11【2019 年高考天津卷文数】在四边形 中， ，ABCD,23,5,30BADA点 在线段 的延长线上，且 ，则 _ECBEE【答案】 1【解析】建立如图所示的直角坐标系，DAB=30， 23,5,AB则 ， .(23,0)B5(,)2D因为
8、 ， ，所以 ，AC30BA30E因为 ，所以 ，EE所以直线 的斜率为 ，其方程为 ，3(23)yx直线 的斜率为 ，其方程为 .AE由 得 ， ，3(2),yx3x1y所以 .(3,1)E所以 .5,(3,1)2BDAA【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.12【2019 年高考江苏卷】如图，在 中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE=2EA，AD 与 CE 交ABC于点 .若 ，则 的值是_.O6ABCE【答案】 .3【解析】如图，过点 D 作 DF/CE，交 AB 于点 F，由 BE=2EA，D 为 BC 的中
9、点，知BF=FE=EA,AO=OD，3632AOECDAEBACE21112 33B ABC ，2 22321133ABCABCABAC得 即 故221,【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.13 【2019 年高考浙江卷】已知正方形 的边长为 1，当每个 取遍 时，ABCD(1,2345,6)i的最小值是_；最大值是_.123456| |ABC【答案】0； .5【解析】以 分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图., D则 ,(1,0)(,1)(,0)(,1)(,)(1)ABCDACBD令 2
10、21234561356456y 00.又因为 可取遍 ，(,5,6)i1所以当 时，有最小值 .1342,min0y因为 和 的取值不相关， 或 ，5245616所以当 和 分别取得最大值时，y 有最大值，13所以当 时，有最大值 .1256341,2max4025y故答案为 0； .【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.14 【2018 年高考全国 III 卷文数 】已知向量 ， ， 若 ，则=1,2a,b=1,c2ca+b_【答案】12【解析】由题可得 ， ， ， ，即 ，故答案为 .4,2abca+b=1,c4201
11、212【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题.解题时，由两向量共线的坐标关系计算即可.15 【2018 年高考北京卷文数】设向量 a=（1,0） ，b=（1,m）,若 ，则 m=_.()ab【答案】 1【解析】 ， ，=(1,0),=(1,)=(,0)(1,)=(+1,)由 得： ， ，即 .() ()=0 ()=+1=0 =1【名师点睛】如果 a=(x1，y 1)，b=(x 2，y 2)(b0)，则 a b 的充要条件是 x1x2+y1y2=016 【2018 年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点 、 ， 、 是 轴上的两个动A， B， EF点，且
12、，则 的最小值为_|2EFABF【答案】-3【解析】根据题意，设 E（0，a） ，F（0，b） ； ；2aba=b+2，或 b=a+2；且 ；1,AEBF， ；2当 a=b+2 时， ；2bbb 2+2b2 的最小值为 ；843 的最小值为3，同理求出 b=a+2 时， 的最小值为3AEBF AEBF故答案为：3【名师点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式17 【2018 年高考江苏卷】在平面直角坐标系 中， 为直线 上在第一象限内的点，xOyA:2lyx，以 为直径的圆 与直线 交于另一点 若 ，则点 的横坐标为5,0B
13、AClD0BCA_【答案】3【解析】设 ，则由圆心 为 中点得 易得,2(0)AaCAB5,2a，与 联立解得点 的横坐标 所以 .所以:5Cxya2yxD1,Dx,2，5,21,BaD由 得 或 ，0AC2520,30,aaa1因为 ，所以a3.【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.18【2017 年高考全国 III 卷文数 】已知向量 ，且 ，则 m=_(2,3)(,)abab【答案】2【解析】由题意可得 解得 .00,mab【名
14、师点睛】 （1）向量平行： ， ,121 xy, 0Rabab.BACOBOC（2）向量垂直： .1200xyab（3）向量的运算： .212(,),|,|cos,abab19 【2017 年高考全国 I 卷文数 】已知向量 a=（1，2），b=（m，1）若向量 a+b 与 a 垂直，则m=_【答案】7【解析】由题得 ，因为 ，所以 ，解得 (1,3)mab()0ab(1)2307m【名师点睛】如果 a=(x1，y 1)，b=(x 2，y 2)(b0)，则 a b 的充要条件是 x1x2+y1y2=020【2017 年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为 1，1， ，OA
15、BC与 的夹角为 ，且 =7， 与 的夹角为 45若 ，OACtanBCOAnB(,)R则 _mn【答案】3【解析】由 可得 ， ，根据向量的分解，tan772sin102cos10易得 ，即 ，即 ，即得 ，cos45s2ini0m7201mn5107nm57,4n所以 3【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题
16、的一般方法（3）向量的两个作用：载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题21 【2017 年高考浙江卷】已知向量 a，b 满足 则 的最小值是_，最大1,2bab值是_【答案】4， 25【解析】设向量 的夹角为 ，则 ，,ab212cos54cosab，21cos54cosab则 ，54令 ，则 ，coscsy221056cos1,0y据此可得： ，max min, 4abab即 的最小值是 4，最大值是 2【名师点睛】本题通过设向量 的夹角为 ，结合模长公式，可得,b54cosab，再利用三角函数的
17、有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处54cos理能力有一定的要求22 【2017 年高考天津卷文数】在 中， ， ， 若 ，ABC 60 3AB2CBDCAEC，且 ，则 的值为_()BR4DE【答案】31【解析】由题可得 ，则1232cos603,3ABCADBC12()3ADEBAC1()494C【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，则可获解本题中 已知模和夹角，作为基底易于计算数量积,ABC23 【2017 年高考山东卷文数】已知向量 a=（2,6）,b= ,若 ,则 _(1)ab【答案】 3【解析】由 可得 ab1623.【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：（1）利用两向量共线求参数如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若 a(x 1,y1),b(x 2,y2),则 的充要条件是 x1y2x 2y1”解题比较方便（2）利用两向量共线的条件求向量坐标一般地,在求与一个已知向量 a 共线的向量时,可设所求向量为 a(R),然后结合其他条件列出关于 的方程,求出 的值后代入 a 即可得到所求的向量（3）三点共线问题A,B,C 三点共线等价于 与 共线.AB AC
