1、,全品大讲堂,八年级 上册,新课标（RJ）,数 学,第十三章 轴对称,章末复习,第十三章 轴对称,章末复习,知识框架,归纳整合,素养提升,中考链接,知识框架,等腰三角形,轴对称,用坐标表 示轴对称,轴 对 称,有关概念,线段的垂 直平分线,轴对称,轴对称图形,定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等,判定：与一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上,有关性质,对应线段相等,对应角相等,对称轴垂直平分连接对应点的线段,用坐标表示轴对称,关于x轴对称的两个点 的坐标特征：横坐标不 变, 纵坐标互为相反数,关于y轴对称的两个点
2、 的坐标特征：横坐标互 为相反数, 纵坐标不变,等 腰 三 角 形,等腰三角形,性质,判定,等边对等角,三线合一,定义,等角对等边,等边三 角形,性质,判定,含30角的直角三角形,三边相等, 三个内角相等且每一个内角都等于60,定义,三个角都相等的三角形,有一个角为60的等腰三角形,在直角三角形中, 如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半,【要点指导】轴对称图形的识别：方法1, 动手折叠图形, 看折痕所在直线两旁的部分能不能“完全重合”；方法2, 找对应点, 也可以从反面入手, 即先找“对称轴”, 再看是不是每一个点都有关于这条直线对称的对应点, 如果有一个点没有对应点, 那么
3、这个图形就不是轴对称图形.,归纳整合,专题一 轴对称图形的识别,例1 安顺中考下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是( ).,D,相关题1 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中, 是轴对称图形的是( ).,A,【要点指导】与轴对称有关的作图题能有效地考查同学们的动手 操作能力和空间想象能力, 一直是考试的热点. 考查的基本题型有：(1)画轴对称图形；(2)确定对应点；(3)确定对称轴. 作图的关键是作对称轴的垂线段, 确定与原图形上的点关于对称轴对称的对应点.,专题二 与轴对称有关的作图问题及其应用,例2 如图13-Z-3所示, 已知ABC和直线MN. 求作：ABC, 使ABC和ABC关
4、于直线MN对称.(不要求写作法, 只保留作图痕迹),分析 分别过点A, B, C作MN的垂线段并延长到点A, B, C, 使点A, B,C到MN的垂线段的长度分别等于点A, B, C到MN的垂线段的长度, 连接AB, AC, BC, 即得ABC.,解 如图13-Z-3所示.,相关题2 绥化中考 如图13-Z-4,在88的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1. 已知ABC的三个顶点都在格点上, 画出ABC关于直线l对称的A1B1C1.,解：如图所示,【要点指导】解决与线段垂直平分线有关的问题, 关键是要把握它的性质及与它有关的基本作图的步骤、技巧借助“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距
5、离相等”, 实现相关线段的转移.,专题三 线段垂直平分线的性质及应用,例3 遂宁中考如图13-Z-5, 在ABC中, AC=4 cm, 线段AB的垂直平分线交AC于点N. 若BCN的周长是7 cm, 则BC的长为( ). A1 cm B2 cm C3 cm D4 cm,C,分析 因为MN是线段AB的垂直平分线, 所以AN=BN. 又因为BCN的周长是7 cm, 所以AN+NC+BC=BN+NC+BC=7 cm, 而AN+NC=AC, 故AC+BC=7 cm. 因为AC=4 cm, 所以BC=7-4=3(cm).,相关题3 绥化中考 如图13-Z-6,在ABC中, 分别以点A和点B为圆心, 大于
6、 AB的长为半径画弧, 两弧相交于点M, N, 作直线MN,交BC于点D, 连接AD. 若ADC的周长为10, AB=7,则ABC的周长为( ). A7 B14 C17 D20,C,解析 由作图可知MN是线段AB的垂直平分线，得ADBD，所以ABC的周长为ACBCABACCDADAB10717.故选C.,专题四 等边三角形与全等三角形的综合应用,【要点指导】等边三角形的性质与判定和全等三角形等知识综合, 为证明线段相等、角相等、线段的倍分问题提供了很好的思路和理论依据, 此类题难度不大, 但是步骤烦琐, 属于中档题.,例4 如图13-Z-7, DAC, EBC均是等边三角形, 点A, C, B
7、在同一条直线上, 且AE, BD分别与DC, EC交于点M, N, 连接MN. 求证：(1)AE=DB； (2)CMN为等边三角形.,(2)由(1)可知ACEDCB, CAE=CDB, 即CAM=CDN. DAC, EBC均是等边三角形, AC=DC, ACM=BCE=60. 又点A, C, B在同一条直线上, DCE=180-ACD-BCE=180-60-60=60, 即DCN=60, ACM=DCN. 在ACM和DCN中,相关题 4-1 如图13-Z-8, 已知ABC为等边三角形, D为BC延长线上的一点, CE平分ACD, CE=BD, 求证：ADE为等边三角形.,相关题 4-2 如图1
8、3-Z-9, 在ABC中, AB=AC, BAC=120, ADBC, 垂足为G, 且AD=ABEDF=60, 其两边分别交边AB, AC于点E, F (1)求证：以A, B, D为顶点的三 角形是等边三角形； (2)求证：BE=AF,专题五 构造全等三角形或等腰三角形解决问题,【要点指导】如果条件和结论之间的联系不明显, 不可能直接求证,那么可根据题目的特点, 添加辅助线构造等腰三角形或全等三角形, 利用等边对等角、等角对等边、全等三角形的判定和性质进行解决. 正确作出辅助线是解决此类问题的关键.,例5 如图13-Z-10所示, 已知ABC, AB=AC,D是CB延长线上的一点, ADB=6
9、0,E是AD上的一点, 且有DE=DB. 求证：AE=BE+BC.,分析 本题是要证明一条线段等于两条线段的和, 其基本方法是“截长补短法”, 解题的关键是弄清如何结合已知条件具体地“截长”或“补短”.,ADB=60,ADF是等边三角形(有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形),同理BDE也是等边三角形. AD=DF, BD=BE, AD-DE=DF-BD, 即AE=BF=BC+CF. 又CF=BD=BE, AE=BE+BC. (证法二)如图13-Z-11所示, 过点A作AFBC于点F. AB=AC, BF=FC= BC(等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合).,ADB=60, DAF=3
10、0, DF= AD(直角三角形中, 30角所对的直角边等于斜边的一半). ADB=60, DE=DB, BDE是等边三角形(有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形), DE=BE=DB. DB+BF= AD, 即BE+ BC= DE+ AE, AE= BE+ BC, 即AE=BE+BC.,相关题 5-1 如图13-Z-12, ABC中,AB=AC, D是AB上的一点, F是AC延长线上的一点, 连接DF交BC于点E, 若DB=CF, 求证：DE=EF.,证明：证法一：如图，过点D作AF的平行线交BC于点G, ECFDGE, DGBACB. ABAC, BACB， BDGB, DGDB. DB
11、CF, DGCF.在DGE和FCE中，DGEFCE(AAS), DEEF.,证明：如图，作FHAB交BC的延长线于点H. FHAB, FHCB. ABAC，BACB. 又ACBFCH, FHCFCH，CFFH. 又DBCF, FHDB. FHAB, BDEHFE，BFHE， DBEFHE(ASA)，DEEF.,相关题 5-2 十堰中考 如图13-Z-13,点D, E在ABC的边BC上, AB=AC, BD=CE.求证：AD=AE.,证明： ABAC，BC.在ABD和ACE中，ABDACE，ADAE.,相关题 5-3 如图13-Z-14, 已知：ABC是等腰直角三角形, A=90, BD平分AB
12、C交AC于点D, CEBD, 交BD的延长线于点E.求证：BD=2CE,【要点指导】等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形,它的边、角的特殊性在处理许多几何问题时起着很重要的作用. 求解与等腰三角形的边、角有关的计算问题时, 在条件不明确的情况下, 应根据题目的特点分类讨论.,素养提升,专题一 分类讨论思想的应用,例1 等腰三角形一腰的中线把它的周长分成12 cm和9 cm两部分, 求这个等腰三角形的腰长和底边的长.,解 如图13-Z-15, 设腰长为x cm. (1)若AB+AD=12 cm, 有x+ =12, 则x=8, 所以AB=8 cm, BC=5 cm. (2)若AB+AD=9 c
13、m, 有x+ =9, 则x=6, 所以AB=6 cm, BC=9 cm. 所以这个等腰三角形的腰长和底边的长分别为8 cm, 5 cm或6 cm, 9 cm.,相关题1-1 若等腰三角形的一个内角的补角是130, 则底角的度数为( ). A80 B50 C50或65 D50或70,C,解析 若130角为顶角的补角，则顶角为50，所以底角为(18050)265；若130角为底角的补角，则底角为50.所以等腰三角形的底角的度数为50或65.故选C.,相关题1-2 一个等腰三角形的一边长是5 cm, 周长是20 cm, 求其他两边的长.,【要点指导】转化思想贯穿于数学学习整个过程中, 解题时要将复杂
14、问题转化为简单问题.本章进行转化的依据主要是边与角的转化, 如等边对等角, 等角对等边, 直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半等.,专题二 转化思想,例2 如图13-Z-16, 在ABC中, AD平分BAC, 过点C作AD的垂线,垂足为D, DEAB交AC于点E. 求证：AE=CE.,证明 如图13-Z-16, AD平分BAC, 1=2. DEAB, 1=3, 2=3, AE=DE. 又CDAD, ADC=90, 3+4=90, 2+ACD=90. 又2=3, 4=ACD, DE=CE, AE=CE.,相关题2 如图13-Z-17, 四边形ABCD中, AD=4, BC=1,A=30,
15、 B=90, ADC=120, 求CD的长.,解：如图，延长AD，BC交于点E. A30， B90， E60. ADC120， EDC60， EDC是等边三角形设CDCEDEx.AD4, BC1, A30， 2(1x)x4, 解得x2. 故CD2.,中考链接,母题1 (教材P64习题13.1第2题)下列各图形是轴对称图形吗？如果是, 画出它们的一条对称轴.,考点：轴对称图形的概念. 考情：识别轴对称图形, 常常与中心对称图形一起考查, 多以选择题的形式出现. 策略：根据轴对称图形的概念进行判断.,链接1 永州中考誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”, 摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文, 其中
16、悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值, 下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是( ).,C,C,链接2 河北中考图13-Z-20是由“”和“”组成的轴对称图形, 该图形的对称轴是直线( ). Al 1 Bl 2 Cl 3 Dl 4,母题2 (教材P65习题13.1第4题)如图13-Z-21, ABC和ABC关于直线l对称, B=90, AB=6 cm. 求ABC的度数和AB的长.,考点：轴对称的性质. 考情：考查轴对称的性质, 常以对折、剪纸、线段的垂直平分线等形式出现. 策略：关于对称轴对称的两个图形全等.,链接3 南充中考如图13-Z-22, 直线MN是四边形AMBN的对称轴, P是直
17、线MN上的一点, 下列结论错误的是( ). AAM=BM BAP=BN CMAP=MBP DANM=BNM,B,母题3 (教材P71习题13.2第2题)分别写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标：(3, 6), (-7,9), (6, -1), (-3, -5), (0,10).,考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标特征. 考情：求已知点关于x轴、y轴对称的点的坐标是中考高频考题. 策略：关于x轴对称的两点, 横坐标相等, 纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点, 横坐标互为相反数, 纵坐标相等.,链接4 武汉中考点A(2, -5)关于x轴对称的点的坐标是( ). A(2, 5) B(-2, 5
18、) C(-2, -5) D(-5, 2),A,分析 点A(2, -5)关于x轴对称的点的坐标为(2, 5). 故选A.,分析 点A(1+m, 1-n)与点B(-3, 2)关于y轴对称, 1+m=3, 1-n=2, 解得m=2, n=-1, m+n=2-1=1. 故选D.,链接5 贵港中考若点A(1+m, 1-n)与点B(-3, 2)关于y轴对称, 则m+n的值是( ). A-5 B-3 C3 D1,D,母题4 (教材P65习题13.1第6题)如图13-Z-23, 在ABC中, DE是AC的垂直平分线, AE=3 cm, ABD的周长为13 cm, 求ABC的周长.,考点：线段的垂直平分线的性质
19、. 考情：由线段垂直平分线的性质求线段的长度或求三角形的周长或证明有关结论是热点考题. 策略：利用线段的垂直平分线的性质进行线段转换和角度转换.,链接6 黄冈中考如图13-Z-24, 在ABC中, DE是AC的垂直平分线, 且分别交BC,AC于点D, E, B=60, C=25, 则BAD的度数为( ). A50 B70 C75 D80,B,分析 DE是AC的垂直平分线, DA=DC, DAC=C=25. B=60, C=25, BAC=95, BAD=BAC-DAC=70. 故选B.,链接7 仙桃中考如图13-Z-25, 在ABC中,AB=AC, A=120, BC=6 cm, AB的垂直平
20、分线交BC于点M, 交AB于点E, AC的垂直平分线交BC于点N, 交AC于点F, 则MN的长为 ( ). A4 cm B3 cm C2 cm D1 cm,C,母题5 (教材P66习题13.1第12题)如图13-Z-26所示,电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔. 按照设计要求, 发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等,到两条高速公路m和n的距离也必须相等. 发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置.,考点：角平分线的性质、线段垂直平分线的性质. 考情：角平分线与线段垂直平分线的性质在实际生活中的应用是中考的高频考题. 策略：到角两边距离相等的点在角平分线上；与一条线段两个端点距离相等的点,
21、 在这条线段的垂直平分线上.,链接8 綦江中考为了推进农村新型合作医疗制度改革, 准备在某镇新建一个医疗点P, 使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等(A, B, C不在同一直线上, 地理位置如图13-Z-27), 请你用尺规作图的方法确定点P的位置.要求：写出已知、求作；不写作法, 保留作图痕迹.,解：已知：A, B, C三点不在同一直线上. 求作：一点P, 使PA=PB=PC. 如图13-Z-28, 正确作出连接任意两点的两条线 段的垂直平分线, 并标出交点P.,母题6 (教材P82习题13.3第6题)如图13-Z-29, 点D, E在ABC的边BC上,AB=AC, AD
22、=AE. 求证：BD=CE.,考点：等腰三角形的性质与判定. 考情：考查等腰三角形的性质与判定, 是中考的热点考题. 策略：等边对等角、等角对等边与全等三角形结合运用.,链接9 绥化中考已知等腰三角形的一个外角为130, 则它的顶角的度数为_.,50或80,分析 与130的外角相邻的内角为50. 当50角为顶角时, 其他两角为65, 65； 当50角为底角时, 其他两角为50, 80. 所以等腰三角形的顶角为50或80 故答案为50或80,证明 如图13-Z-30, 连接AD AB=AC, D是BC边的中点, AD平分BAC(“三线合一”性质). DE, DF分别垂直AB, AC于点E, F
23、DE=DF(角平分线上的点到角两边的距离相等).,链接10 历下中考如图13-Z-30, 在ABC中, AB=AC, D是BC边的中点, DE, DF分别垂直AB,AC于点E, F. 求证：DE=DF.,母题7 (教材P83习题13.3第12题)如图13-Z-31, ABD, AEC 都是等边三角形. 求证：BE=DC.,考点：等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质. 考情：等边三角形的性质常与全等三角形结合在一起考查, 是中考的热点考题, 分值较大, 常以填空题、选择题和解答题的形式出现, 有的还以探究题的形式出现. 策略：充分利用等边三角形的性质和全等三角形的性质与判定进行计算与证明.,
24、链接11 福建中考如图13-Z-32, 在等边三角形ABC中, ADBC, 垂足为D, 点E在线段AD上,EBC=45, 则ACE的度数为( ). A15 B30 C45 D60,A,分析 在等边三角形ABC中, ADBC, BD=CD, 则AD是BC的垂直平分线. 点E在AD上,BE=CE, EBC=ECB. EBC=45,ECB=45. ABC是等边三角形, ACB=60,ACE=ACB-ECB=15. 故选A.,链接12 梧州中考如图13-Z-33, 点B, C, E在同一条直线上, ABC与CDE都是等边三角形, 则下列结论不一定成立的是( ). AACEBCD BBGCAFC CDCGECF DADBCEA,D,由ACEBCD, 得DBC=EAC. 又由BC=AC, BCG=ACF=60, 可知BGCAFC(ASA), 排除选项B； ACEBCD, BDC=AEC. 又CD=CE, DCG=ECF, DCGECF(ASA), 排除选项C； 根据已知条件, ADBCEA不一定成立. 故选D.,谢 谢 观 看！,
