1、 1八年级上册导学案第十五章 分式从分数到分式一、学习目标：1、了解分式的概念以及分式与整式概念的区别与联系。2、掌握分式有意义的条件，进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感。3、以描述实际问题中的数量关系为背景，体会分式是刻画现实生活中数量关系的一类代数式。二、学习重点： 分式的概念和分式有意义的条件。三学习难点： 分式的特点和分式有意义的条件。四温故知新：1、 什么是整式？ ，整式中如有分母，分母中 （含、不含）字母2、 下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？两者有什么区别？ a；2x+y ； 2yx ； a1 ； xy2 ；3a ；5 .3、 阅读“引言”， “引言”中出现的式子是整式
2、吗？4、 自主探究：完成“思考”，通过探究发现， as 、 sV、 v201、 6与分数一样，都是 的形式，分数的分子 A 与分母 B 都是 ，并且 B 中都含有 。5、 归纳：分式的意义： 。 代数式 a1 、 xy2、 as 、 V、 v201、 6都是 。分数有意义的条件是 。那么分式有意义的条件是 。五、学习互动：例 1、在下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？（1）5x-7 （2）3x 2-1 （3） 12ab （4） 7)(pnm（5）5 （6） 12xy（7） （8） cb5例 2、填空：（1）当 x 时，分式 3有意义（2）当 x 时，分式 1x有意义（3）当 b 时，分式 b5
3、1有意义（4）当 x、y 满足关系 时，分式 yx有意义例 3、x 为何值时，下列分式有意义？（1） （2） 162x （3） 24a六、拓展延伸：例 4、x 为何值时，下列分式的值为 0？2（1） x （2） 39x （3） 1x七、自我检测：1、下列各式中，（1） yx（2） 13（3） x（4） 22yx（5） ba（6）0.（7）43（ x+y）整式是 ，分式是 。（只填序号）2、当 x= 时，分式 2x没有意义。3、当 x= 时，分式 1的值为 0 。4、当 x= 时，分式 2x的值为正，当 x= 时，分式 132a的值为非负数。5、甲,乙两人分别从两地同时出发,若相向而行,则 小时
4、相遇; 若同而行则 b 小时甲追上乙,那么甲的速度是乙的速度的（ ）倍. . ba . ba . ab . b6、“循环赛”是指参赛选手间都要互相比赛一次的比赛方式如果一次乒乓球比赛有 x 名选手报名参加，比赛方式采用“循环赛”，那么这次乒乓球比赛共有 场7、使分式 63|2x没有意义的 x 的取值是（ ）A.3 B.2 C. 3 或2 D. 3五、小结与反思：3分式的基本性质（1）学习目标：1、能类比分数的基本性质，推出分式的基本性质。2、理解并掌握分式的基本性质，能进行分式的等值变形。学习重点：分式的基本性质及其应用。学习难点：利用分式的基本性质，判断分式是否有意义。学习过程：一、温故知新
5、：1.若 A、B 均为_式, 且 B 中含有_. 则式子 叫 做 分 式BA。值 为 负 的 条 件 是值 为 正 的 条 件 是值 为 零 的 条 件 是 无 意 义 的 条 件 是有 意 义 的 条 件 是、 式 子 _,_,23、小学里学过的分数的基本性质的内容是什么？由分数的基本性质可知，如数 c0,那么 c32， 544、你能通过分数的基本性质猜想分式的基本性质吗？试一试归纳：分式的基本性质： _ 用式子表示为 5、 分解因式（1）x 2-2x = （2）3x 2+3xy= （3）a 2-4= (4) a2-4ab+b2= 二、学习互动：1、把书中 “例 2”整理在下面。(包括解析)
6、2、填空：（1） abyx、 （2） zyx2)(36。3、下列分式的变形是否正确？为什么？（1） 2xy 、 （2） 2)(ba。4、不改变分式的值，使分式 ba32的分子与分母各项的系数化为整数45、将分式 yx2中的 X,Y 都扩大为原来的 3 倍,分式的值怎么变化?解: yx236 所以分式中的 X Y 都扩大原来的 3 倍,但分式的值不变。三 1、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“”号：（1） ba2、 （2） yx3、 （3） nm4、（4） nm5 （5） ba （6） ax2四、反馈检测：1、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“”号：（1） nm2= 、（
7、2） 2ba= 。2、填空：（1） )1(ab= （2） 2)(42a 、（3） ab23.若 X,Y,Z 都扩大为原来的 2 倍,下列各式的值是否变化?为什么 ?(1) zyx (2) zy4、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数。（1） 2x （2） 32x （3） 1x。5、 下列各式的变形中，正确的是（ ）A. 2abB. cba1C. 13D. yx25.06、 下面两位同学做的两种变形,请你判断正误,并说明理由. 5甲生： 22)()(yxyxyx; 乙生： 26分式的基本性质（2）（约分）学习目标：1、进一步理解分式的基本性质，并能用其进行分式的约分。2
8、、了解最简分式的意义，并能把分式化成最简分式。3、通过思考、探讨等活动，发展学生实践能力和合作意识。学习重点：分式的约分。学习难点：利用分式的基本性质把分式化成最简分式。学习过程：1、温故知新：1、分式的基本性质是：_.用式子表示 _。2、分解因式：（1）x 2y2 =_（2）x 2+xy=_（3）9a 2+6ab+b2 =_（4）-x 2+6x-9 =_3、(1)使分式 4X有意义的 X 的取值范是(2)已知分式 1的值是 0,那么 X(3)使式子 有意义 X 的取值范围是(4)当 X 时分式 24是正数。 5、自主探究：“思考”部分。归纳：分式的约分定义： 最大公因式：所有相同因式的最 次
9、幂的积最简分式： 二、学习互动：1、例 1、(“例 3”整理)通过上面的约分，你能说出分式进行约分的关键是确定分子和分母_2、例 2、约分：（1） 305xy、 （2） 42m、想一想：分式约分的方法：1、（1）当分子和分母的都是单项式时，先找出分子和分母的最大公因式（即系数的_与相同字母的最_次幂的积）,然后将分子和分母的最大公因式约去。（2）、当分式的分子和分母是多项式时，应先把多项式_,然后约去分子与分母的_。2、约分后，分子和分母没有_,称为最简分式。化简分式时，通常要使结果成为_分式或7_得形式。三、拓展延伸： 1.约分：（1） 2502m、 （2）、 22yx2.请将下面的代数式尽
10、可能地化简，在选择一个你喜欢的数（要合适哦！）带入求值： 1)(22a四、反馈检测：1下列各式中与分式 ab的值相等的是（ ）.（A） ab (B) (C) (D) ab2如果分式21x的值为零，那么 x 应为（ ）.（A）1 （B）-1 （C）1 （D）03下列各式的变形： xy； xy； xy； yxy其中正确的是（ ）.（A） （B） （C） （D）4、约分：（1） dbac102356、 （2）、 23510cba （3） 1682a、 （4） m24 、（5） m21 。 （6） 22405yx 8分式的基本性质（3）（通分）学习目标：1、了解分式通分的步骤和依据。2、掌握分式通分的
11、方法。3、通过思考、探讨等活动，发展学生实践能力和合作意识。学习重点：分式的通分。学习难点：准确找出不同分母的分式的最简公分母。学习过程一、温故知新：1、分式的基本性质的内容是 _用式子表示 _2、计算： 31 ，运算中应用了什么方法？ _.这个方法的依据是什么？_.4、猜想：利用分式的基本性质能对不同分母的分式进行通分吗？_.自主探究：“思考”。归纳：分式的通分： 二、学习互动：例 1、(整理“例 4”。)最简公分母： 通分的关键是准确找出各分式的 例 2、分式 2(1)x， 3()x， 51的最简公分母（ ） A（x-1 ） 2 B（x-1） 3 C（x-1）D（x-1） 2（1-x） 3
12、例 3、求分式 ba、 、 ba的最简公分母 ，并通分。三、拓展延伸：“练习”的 2.五.反馈检测：1、通分：（1） bcayx29,6、 9（2） 16,2a 、（3） x32,1 2、通分：（1） a, （2） 2,4x （3） bca215, 1622a与3、 分式 12,1,22aa的最简公分母是（ ）. 2)1(a . )( . )( . 4)1(a3.先约分再计算： 4422xx963922x4.通分并计算： 12x12a10分 式 的 乘 除 （ 一 ）学 习 目 标 1.理解并掌握分式的乘除法则，运用法则进行简单的分式乘除运算；2.经历探索分式的乘除法运算法则的过程，并能结合具
13、体情境说明其合理性。3 培养学生的观察、类比、归纳能力和与同伴合作交流的情感学 习 重 点 ： 掌握分式的乘除运算学 习 难 点 ： 正确运用分式的基本性质约分学 习 过 程 ：一 、 温 故 知 新 ：阅 读 课 本与同伴交流，猜一猜 ab cd ab cd= a、c 不为 观察上面运算，可知：分数的乘法法则：_分数的除法法则：_你能用类比的方法的出分式的乘除法法则吗？分式的乘法法则：_分式的除法法则：_ _. 用式子表示为：即 ab cd ab cd 这里字母 a，b，c，d 都是整数，但a，c，d 不为 二、 学习互动 ： 例 1、计算：分 式 乘 法 运 算 ,进 行 约 分 化 简
14、,其 结 果 通 常 要 化 成 最 简 分 式 或 整 式 （1） yx34 2 （2） a a21 （3）2694xx例 2 计算：（分 式 除 法 运 算 ,先 把 除 法 变 乘 法 ）（1）3xy 2 xy6 （2） xyx2 （3） 412a 2三、课堂小测1计算：（1） 24bca （2） xyx3462 11（3） yx12 2 （4） ba 2 （5）（a 2a） 1 （6） yx12 22代数式 324x有意义的 x的值是（ ）A 且 B 3 且 4x C 且 D 2 且 且 3甲队在 n 天内挖水渠 a 米，乙队在 m 天内挖水渠 b 米，如果两队同时挖水渠，要挖 x 米
15、，需要多少天才能完成？(用代数式表示 )_.4若将分式 x2化简得 1，则 x 应满足的条件是（ ）A. x0 B. x0 C.x 0 D. x 15若 m 等于它的倒数，则分式 242m的值为 6计算(1) 221aa(2). 24369a (3) 22105yxab (4) )4(31262m四.能力提升1.先化简后求值: ，)(5)1(22aa 其中 312.先化简,再求值: 12x其中 X=1+ 2分 式 的 乘 除 （ 二 ） 12学 习 目 标 ： 1 能 应 用 分式的乘除法法则进行乘除混合运算。2能灵活应用 分式的乘除法法则进行分式的乘除混合运算。3 在 发 展 推 理 能 力
16、 和 有 条 理 的 表 达 能 力 的 同 时 ， 体 会 学 习 数 学 的 兴 趣 。学 习 重 点 ： 掌握分式乘除法法则及其应用学 习 难 点 ： 掌握分子分母是多项式的分式的乘除法混合运算学 习 过 程 ：一 、 温 故 知 新 ：阅 读 课 本1 分式的约分：_ 最简分式：_下列各分式中，最简分式是（ ）A . yx8534 B. yx2C 2xy D. 2y2分解因式： 223 3a 31x20.1b 24xy3. 计算 （1） 56 （2） 25134分数乘除法混合运算顺序是什么？ _ 分式的乘除法混合运算与分数的乘除法混合运算类似你能猜想出分式的乘除法混合运算顺序吗？ 学习
17、互动 ：例 1 计算：（把书中例 4 整理在下面）对应练习计算（先 把 除 法 变 乘 法 ， 把 分 子 、 分 母 分 解 因 式 约 分， 然 后 从 左 往 右 依 次 计 算 ）三 、 随 堂 练 习1计算（1）24369aa（2）（abb 2） ba2132.已知23310abb求2baba的值四.反馈检测：1已知： 31x，求： 的 值21x2计算2yx的结果是（ ） A2xyB2xyC xy D xy3 计算（1） ba2 （2） )2(1632bacab（3）22543xymnxy（4） 2164288m（5） xyxy9)()(324先化简，再求值： 238241xx其中
18、45x14分 式 的 乘 除 （ 三 ）学 习 目 标 ：1.能 应 用 分式的乘除法，乘方进行混合运算。2能灵活应用 分式的乘除法法则进行分式的乘除乘方混合运算。3 在 发 展 推 理 能 力 和 有 条 理 的 表 达 能 力 的 同 时 ， 体 会 学 习 数 学 的 兴 趣 。学 习 重 点 ： 掌握分式乘除法法则及其应用学 习 难 点 ： 掌握分子分母是多项式的分式的乘除法混合运算学 习 过 程 ：一 、 温 故 知 新 ：1.忆 一 忆 （ 1） an 表 示 _个 _相 乘 。（ 2） aman=_; （ am） n=_ (ab)n=_aman=_其 中 a 02 比 一 比 ：
19、 观 察 下 列 运 算 ： 则 _3 归纳：分式的乘方法则：公式： 文字叙述： 请同学们叙述分数乘方乘除混合运算顺序： 分式乘方乘除混合运算法则顺序： 二、学习互动 ：1.例（把书中例 5 整理在下面）例 2计算 （1） 32abc（2） 234xyyx例 3计算（1）234bbaa（2） 2332xyzyx三、拓展延伸 1下列分式运算，结果正确的是（ ）15A. nm345B bcad C . 22baD 34yx2已知： x1，求 9632xx的值. 3.已知 a2+3a+1=0,求（1）a+ ; （2）a 2+ 1; 4已知 a,b,x,y 是有理数，且 02byx，求式子 ayba2
20、2 的值.四.课堂检测：1化简 xx12的结果为 2若分式 43有意义，则 x 的取值范围是 3有这样一道题：“计算221的值，其中 204x”甲同学把“ 204x”错抄成“ 0x”，但他的计算结果也正确，你说这是怎么回事？4.计算 （1） baab424（2）- 4425mnnm16分 式 的 加 减 （ 一 ） 学 习 目 标 ：1、 经历探索分式加减运算法则的过程，理解其算理2、 会进行简单分式的加减运算，具有一定的代数化归能力3、不断与分数情形类比以加深对新知识的理解学 习 重点：同分母分数的加减法 学 习 难点：通分后对分式的化简学 习 关键点：找最简公分母学 习 过 程 ：一 、
21、温 故 知 新 ： 阅 读 课 本1.计算并回答下列问题 （1） 2345 （2） 314 （3） 412 （4） 1234 2.类比分数的加减法，分式的加减法法则是： 同分母的分式相加减： 异分母的分式相加减：先 ，化为 分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。分式加减的结果要化为 3、把上述的结论用式子表示出来 _二、学习互动1.例 1 计算.（把书中的例 6 整理在下面）2 对应练习：（1） ba2+ （2） yx3 2 （3） 142 （4） a+ 51 3 例 2. 计算：（1） 2yx- 31 yx (2) 6386575xx acb24)3(12)4(a 173、拓宽延伸
22、1、填空题(1) 74x= ； (2) 54232aba= ；（3） _y（4）式子 651xy的最简公分母_2、在下面的计算中，正确的是（ ）A. a1+ b = )(21 B. ab c= 2 C. c = D. 1 =03、计算 的结果是( )A B C D 4、 计算：（1） 25x （2） 1x 5.老师出了一道题“化简： 234x”小明的做法是：原式2222(3)6844xxx；小亮的做法是：原式 22()()xxx；小芳的做法是：原式 331312()22xxx其中正确的是（ ）A小明 B小亮 C小芳 D没有正确的四、反馈检测：1、化简 xy22的结果是( )(A) yx (B)
23、 x (C) (D) yxba2.3mnn2mn3n3182、甲、乙 2 港分别位于长江的上、下游，相距 s km，一艘游轮往返其间，如果游轮在静水中的速度是 a km/h，水流速度是 b km/h，那么该游轮往返 2 港的时间差是多少？3、 计算： ac24)1( 1)(2a （3） 1123xx(4) 16243x19分 式 的 加 减 （ 二 ） 学 习 目 标 ：1、 分 式 的 加 减 法 法 则 的 应 用 。2、 经 历 探 索 分 式 加 减 运 算 法 则 的 过 程 ， 理 解 其 算 理3、 结 合 已 有 的 数 学 经 验 解 决 新 问 题 ， 获 得 成 就 感
24、。学 习 重 点 ： 异 分 母 分式的加减混合运算及其应用。学 习 难 点 ： 化异分母分式为同分母分式的过程；学 习 过 程 ：一 、 温 故 知 新 ： 阅 读1、对比计算并回答下列问题计算 1234 41322、异分母的分数如何加减？、类比分数，猜想异分母分式如何加减？你能归纳出异分母分式加减法的法则吗？3什么是最简公分母？ 4.下列分式 2(1)x， 3()x， 51的最简公分母为（ ）A（ x-1） 2 B（x-1） 3 C（x-1） D（x-1） 2（1-x ）5.议一议有两位同学将异分母的分式加减化成同分母的分式加减.小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母分式的加
25、减问题就变成了同分母分式的加减问题。小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体做法不同。小明： aaaa 41341243412 小亮： 3你对这两种做法有何评判？与同伴交流。发现： 异分母的分式 转化 同分母的分式的加减 通分 的加减通分的关键是找最简公分母 二、 学习互动 ：例 1 计算：注意：分子相加减时，如果被减式分子是一个多项式，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误：分式加减运算的结果要约分，化为最简分式（或整式）。（1） 2142a （2） a3+ 51 （3）1624x20三、拓展延伸1、填空 （1） _xy（2）式子 265143xy的最简公分母 2、计算 的结果是( )A B
26、 C D 3阅读下面题目的运算过程 123)( )1(2)1(32xxxx上述计算过程，从哪一步出现错误，写出该步代号_. (1)错误的 原因_.(2) 本题正确的结论_.注意：1、 “减式” 是多项式时要添括号！2、结果不是最简分式的应通过约分化为最简分式或者整式。4、观察下列等式： 1， 23， 34，（1 ） 猜 想 并 写 出 第 n 个 等 式 ；（ 2） 证 明 你 写 出 的 等 式 的 正 确 性 ;四、反馈检测：1、下列各式中正确的是( ) (A) 251x； (B) ba；(C) 44yx； (D) 21xx2、计算 （1） 96213xx 2241)(yx （3） -mn
27、 mnnmn2n2321分式的加减（二） 学 习 目 标 ：1.灵 活 应 用 分式的加减法法则。2 会进行比较简单的分式加减乘除混合运算。3 结 合 已 有 的 数 学 经 验 解 决 新 问 题 ， 获 得 成 就 感 和 克 服 困 难 的 方 法 和 勇 气 。学 习 重 点 ： 分式的加减乘除混合运算及其应用。学 习 难 点 ： 分式加减乘除混合运算。学 习 过 程 ：一、温 故 知 新 ：阅 读 课 本1同分母的分式相加减： 异分母的分式相加减：先 ，化为 分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。分式加减的结果要化为 2分数的混合运算顺序是： 你能猜想出分式的混合运算顺序吗？
28、试一试分式的混合运算顺序是： 二、 学习互动 ：例 1 计算 (1) 122xx (2) 21a 例 2 计算（1） 416x （ 2） 412xx 三、拓展延伸 1.计算(1) 58axybx (2) 22(1)3312aa 2若 )1(3x= A+ 1xB，求 A、B 的值.223已知： 0cba，求 3)1()1()( bacbca的值四、反馈检测 1已知 x，则 x32等于（ ）A x2 B. 6 C. 5 D. 612. 化简 x的结果是 ( )A. 0 B. 2 C. 2 D. 2或3.使分式 x的值是整数的整数 x 的值是( )A. B. 最多 2 个 C. 正数 D. 共有 4
29、 个4、分式 1()a的计算结果是（ ）A B 1aC 1aD 1a5.下列四个题中,计算正确的是( )A. )(31ba B. a1 C. 0 D. bm26.一件工作,甲单独做 x 天完成,乙单独做 y 天完成,甲、乙合做完成全部工作所需要的天数是_7 .锅炉房储存了 t 天用的煤 m 吨,要使储存的煤比预定的多用 d 天,每天应该节约用煤_吨.五综合运用1已知 n1求 的值2.计算下列各题:(1) 29631a (2) xyyx2 (3) ba2(4) 293613xx 23分式的混合运算（一） 学习目标：明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.学习重点：熟练地进行分式的混合运
30、算.学习难点：熟练地进行分式的混合运算.学习过程一、 温故知新： （1）说出有理数混合运算的顺序_（2）分式的混合运算与有理数的混合运算顺序相同_ 计算：（1） 2131x （2） 224yx分析：这两道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减,最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（3）计算：21x 211x二、学习互动：计算（1） xx4)12(分析 这道题先做括号里的减法，再把除法转化成乘法，把分母的“-”号提到分式本身的前边).（2） 242 yxyx分析 这道题先做乘除，再做减法。（3）214aabb分析先乘方再乘除
31、，然后加减。24三、拓展延伸：计算： 2211696xx 21a四、反馈检测1.计算 23ab 2934a（3）2xy（4） 2； 2.先化简，再把 X 取一个你最喜欢的数代人求值： 2)4(2xx3阅读下面题目的运算过程 123)( )1(2)1(32xxxx上述计算过程，从哪一步出现错误，写出该步代号_. (1)错误的 原因_.(2) 本题正确的结论_.注意：1、 “减式” 是多项式时要添括号！2、结果不是最简分式的应通过约分化为最简分式或者整式。4、观察下列等式： 1， 23， 34，（1 ） 猜 想 并 写 出 第 5 个 等 式 _；第 n 个 等 式 _（ 2） 证 明 你 写 出
32、 的 等 式 的 正 确 性 ;负整数指数幂（一） 25学习目标：1知道负整数指数幂 na= 1（a0，n 是正整数）.2掌握负整数指数幂的运算性质.学习重点：掌握整数指数幂的运算性质.学习难点：灵活运用负整数指数幂的运算性质学习过程：一、温故知新：1、正整数指数幂的运算性质是什么?（1）同底数的幂的乘法： （2）幂的乘方： （3）积的乘方： （4）同底数的幂的除法： （5）商的乘方： （6）0 指数幂，即当 a_时， 10a.二探索新知：1、 在 mna中，当 = 时，产生 0 次幂，即当 a0 时， 0。那么当 m n时，会出现怎样的情况呢？我们来讨论下面的问题：（1）计算： 2523 2
33、2531由此得出：_。 （2）当 a0 时， 53a= 3= 2 53a=_=_= 21a 由此得到 ：_（a0）。小结：负整数指数幂的运算性质：当 n 是正整数时，na= 1（a0）. 如 1 纳米=10 - 9米，即 1 纳米=_米.2、 填空（1） 24= ； （2）2= _； (3) 01= ； （4） 1= ； （5）若 mx=12，则 2m= 三、试一试1、（1） 31ab= ； (2) 23abc= ；2、（1）将 212xyzxy的结果写成只含有正整数指数幂的形式。（参考书中例题）解：3.计算：26（1）0132（2） 10326.（3）用小数表示下列各数 5.10 （2）01
34、1324三、拓展延伸：1.选择：1、若 20.3a， 2b ，213c，013dA b c d B a c C D b2、。已知 2a， 031， 3c，则 的大小关系是（ ）A c B b a C D 四、反馈检测：1、计算：（1） 203183（2） 31xy(3) 4231852qpqp（4） 021642、已知 033852xy有意义，求 x、 y的取值范围。3 的 值求已 知 ： nnmm;162,7127科学记数法（二） 学习目标：会用科学计数法表示小于 1 的数学习重点、难点：会用科学计数法表示小于 1 的数.学习过程：一、温故知新：1、用科学计数法表示下列各数：我们已经学习了用科学记数法表示一些绝对值较大的数即利用 10 的正整数次幂，把一个绝对值大于 10 的数表式成 10na的形式，其中 n是正整数，1 a10。如用科学记数法表示下列各数：989 135200 （
