1、第 85 讲 不等式的证明1(2018广州二模)已知函数 f(x)|2 x1|2 x1|，不等式 f(x)2 的解集为 M.(1)求 M；(2)证明：当 a，bM 时，| ab|ab| 1.(1)f(x)2 ，即|2x 1| |2x1|2，当 x 时，得(2 x1)(1 2x )2，解得 x ，故 x ；12 12 12当 1，n1，对tT ，不等式 log3mlog3nt 恒成立，求 mn 的最小值(1)令 f(x) |x1| |x2|Error!则1f(x) 1.因为xR 使得不等式| x1| |x2|t 成立，所以 t1，即 T t|t1(2)由(1)知，log 3mlog3n1，因为
2、m1，n1，所以 log3m0，log 3n0，又 log3mlog 3n2 2，log3mlog3n所以 mn9，当且仅当 mn3 时，取等号所以 mn 的最小值为 9.4(2017河北石家庄二模)设函数 f(x)| x1|2 x1|的最大值为 m.(1)作出函数 f(x)的图象；(2)设 a0,b0,c0,若 a22c 2 3b2m ，求 ab2bc 的最大值(1)f(x)Error!画出图象如下图所示(2)由(1)知 m ，32因为 ma 22c 23b 2(a 2b 2)2(c 2b 2)2ab4bc，32所以 ab2bc ，所以 ab2bc 的最大值为 .当且仅当 abc 时，等号成
3、立34 34 125(经典真题)设 a，b，c ，d 均为正数，且 abc d，证明：(1)若 abcd，则 ；a b c d(2) 是|ab|cd ，得( )2( )2，a b c d所以 .a b c d(2)若|ab|cd.由(1)得 .a b c d若 ，则( )2( )2，a b c d a b c d即 ab2 cd2 ，ab cd因为 abcd，所以 abcd.所以(ab) 2(ab) 24ab 是|ab|0，b0，函数 f(x)|xa| |2xb|的最小值为 1.(1)证明：2ab2；(2)若 a2btab 恒成立，求实数 t 的最大值(1)证明：因为ab2， )显然 f(x)在(， )单调递减，在( ，) 单调递增，b2 b2所以 f(x)的最小值为 f( )a 1，即 2ab2.b2 b2(2)因为 a2btab 恒成立，所以 t 恒成立，a 2bab ( )(2ab ) (5 ) ，a 2bab 1b 2a 121b 2a 12 2ab 2ba 92当且仅当 ab 时， 取得最小值 ，23 a 2bab 92所以 t ，即实数 t 的最大值为 .92 92
