1、第 65 讲 抛物线1过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于 P(x1,y 1),Q( x2,y 2)两点,若x1x 26,则| PQ|的值为(B)A10 B8C5 D6因为 p2,又|PF|x 1 ,|QF|x 2 ,p2 p2所以|PQ|PF |QF|x 1x 2p628.2(2018武汉二月调研)已知不过原点 O 的直线交抛物线 y22px 于 A,B 两点,若OA,AB 的斜率分别为 kOA2,k AB6,则 OB 的斜率为(D)A3 B2 C2 D3设 A( ,y 1),B( ,y 2),则 kOA ,k OB ,k AB ,2py1 2py2 2py1 y2由 ,即 ,y1 y
2、22p y12p y22p 16 12 1kOB所以 kOB3.3(2016四川卷)设 O 为坐标原点,P 是以 F 为焦点的抛物线 y22px( p0)上任意一点,M 是线段 PF 上的点,且| PM|2|MF| ,则直线 OM 的斜率的最大值为 (C)A. B.33 23C. D122设出点的坐标,利用设而不求、整体代换法求解如图所示,设 P(x0,y 0)(y00),则 y 2px 0,即 x0 .20y202p设 M(x,y ),由 2 ,PM MF 得Error!化简可得Error!所以直线 OM 的斜率为 k (当且仅当 y0 p 时y03p x03 y0p y202p 2p2p2
3、y0 y0 2p22p2 22 2取等号) 4(经典真题)如图,设抛物线 y24x 的焦点为 F,不经过焦点的直线上有三个不同的点 A,B,C ,其中点 A,B 在抛物线上,点 C 在 y 轴上,则 BCF 与ACF 的面积之比是(A)A. B.|BF| 1|AF| 1 |BF|2 1|AF|2 1C. D.|BF| 1|AF| 1 |BF|2 1|AF|2 1由图形可知,BCF 与ACF 有公共的顶点 F,且 A,B,C 三点共线,易知BCF 与ACF 的面积之比就等于 .|BC|AC|由抛物线方程知焦点 F(1,0),作准线 l,则 l 的方程为 x1.因为点 A,B 在抛物线上,过 A,
4、B 分别作 AK,BH 与准线垂直,垂足分别为点K,H,且与 y 轴分别交于点 N,M .由抛物线定义,得|BM | BF|1,|AN |AF| 1.在CAN 中,BMAN,所以 .|BC|AC| |BM|AN| |BF| 1|AF| 15(2016浙江卷)若抛物线 y24x 上的点 M 到焦点的距离为 10,则 M 到 y 轴的距离是 9 .设点 M 的横坐标为 x,则点 M 到准线 x1 的距离为 x1,由抛物线的定义知 x110,所以 x9,所以点 M 到 y 轴的距离为 9.6(2017河南新乡二模)已知点 A(1,y 1),B(9,y 2)是抛物线 y22px( p0)上的两点,y2
5、y10,点 F 是抛物线的焦点,若| BF|5|AF |,则 y y 2 的值为 10 .21由抛物线的定义可知,9 5(1 ),解得 p2.p2 p2所以抛物线方程为 y24x ,又因为 A,B 两点在抛物线上,所以 y12,y 26,所以 y y 22 2610.217已知斜率为 1 的直线 l 过抛物线 y22px(p0)的焦点 F,且与抛物线交于 A,B 两点(1)求直线 l 的方程( 用 p 表示) ;(2)若设 A(x1, y1),B(x 2,y 2),求证:| AB|x 1x 2p;(3)若|AB|4,求抛物线方程(1)因为抛物线的焦点 F 的坐标为( ,0),p2又因为直线 l
6、 的斜率为 1,所以直线 l 的方程为:y x .p2(2)证明:过点 A,B 分别作准线的垂线 AA,BB,交准线于 A,B,则由抛物线的定义得:|AB| AF|BF|AA| BB|x 1 x 2 x 1x 2p.p2 p2(3)由|AB|4,得 x1x 2p4.直线 yx 与抛物线方程联立,p2Error!x23px 0,p24由韦达定理,得 x1x 23p,代入 x1x 2p4,解得 p1,故抛物线方程为 y22x .8(2016全国卷 )以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线于D,E 两点已知| AB|4 ,| DE|2 ,则 C 的焦点到准线的距离为
7、(B)2 5A2 B4C6 D8设抛物线的方程为 y22px(p0),圆的方程为 x2y 2r 2.因为|AB|4 ,| DE|2 ,2 5抛物线的准线方程为 x ,p2所以不妨设 A( ,2 ),D ( , )4p 2 p2 5因为点 A( ,2 ),D ( , )在圆 x2y 2r 2 上,4p 2 p2 5所以Error!所以 8 5,所以 p4(负值舍去) 16p2 p24所以 C 的焦点到准线的距离为 4.9(2018全国卷)已知点 M(1,1) 和抛物线 C:y 24x,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A,B 两点若 AMB90,则 k_2_.(方法 1)由题意知,
8、抛物线的焦点坐标为 F(1,0),设直线方程为 yk(x1) ,直线方程与 y24x 联立,消去 y,得 k2x2(2k 24)x k 2 0.设 A(x1,y 1), B(x2,y 2),则 x1x21,x 1x 2 .2k2 4k2由 M(1,1),得 (1x 1,1y 1),AM ( 1x 2,1y 2)BM 由AMB90,得 0,AM BM 所以(x 11)(x 21)(y 11)(y 21)0,所以 x1x2(x 1x 2)1y 1y2(y 1y 2)10.又 y1y2k(x 11)k(x 21) k2x1x2(x 1x 2)1,y1y 2k(x 1x 22),所以 1 1k 2(1
9、 1) k( 2) 10,2k2 4k2 2k2 4k2 2k2 4k2整理得 10,解得 k2.4k2 4k(方法 2)设点 A(x1,y 1),B(x 2,y 2),则所以 y y 4(x 1x 2),所以 k .21 2y1 y2x1 x2 4y1 y2设 AB 中点 M(x0,y 0),抛物线的焦点为 F,分别过点 A,B 作准线 x1 的垂线,垂足为 A,B,则|MM| |AB| (|AF|BF|)12 12 (|AA|BB|)12因为 M(x0,y 0)为 AB 的中点,所以 M 为 AB的中点,所以 MM平行于 x 轴,所以 y1y 22,所以 k2.(方法 3)由条件 M 在以
10、 AB 为直径的圆上,因为以 AB 为直径的圆与准线相切,且 M 在准线上,所以 M 为切点,所以 x1 为圆 M的切线方程由此得圆心 M的纵坐标为 1.由 得 ky24y4k0,y k(x 1),y2 4x, )所以 1,所以 k2.y1 y22 2k10(2018全国卷)设抛物线 C:y 24x 的焦点为 F,过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l与 C 交于 A,B 两点,|AB|8.(1)求 l 的方程;(2)求过点 A, B 且与 C 的准线相切的圆的方程(1)由题意得 F(1,0) ,l 的方程为 yk(x 1)(k0)设 A(x1,y 1), B(x2,y 2),由 得 k2x2
11、(2k 24)xk 20.y k(x 1),y2 4x, ) 16k2160 ,故 x1x 2 .2k2 4k2所以|AB|AF|BF|(x 1 1)(x 21) .4k2 4k2由题设知 8,解得 k1(舍去) 或 k1.4k2 4k2因此 l 的方程为 yx1.(2)由(1)得 AB 的中点坐标为 (3,2),所以 AB 的垂直平分线方程为 y2(x3) ,即 yx5.设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0),则y0 x0 5,(x0 1)2 (y0 x0 1)22 16.)解得 或x0 3,y0 2,) x0 11,y0 6.)因此所求圆的方程为(x3) 2(y2) 216 或(x11) 2(y6) 2144.