1、第 65 讲 抛物线1过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于 P(x1，y 1)，Q( x2，y 2)两点，若x1x 26，则| PQ|的值为(B)A10 B8C5 D6因为 p2，又|PF|x 1 ，|QF|x 2 ，p2 p2所以|PQ|PF |QF|x 1x 2p628.2(2018武汉二月调研)已知不过原点 O 的直线交抛物线 y22px 于 A，B 两点，若OA，AB 的斜率分别为 kOA2，k AB6，则 OB 的斜率为(D)A3 B2 C2 D3设 A( ，y 1)，B( ，y 2)，则 kOA ，k OB ，k AB ，2py1 2py2 2py1 y2由 ，即 ，y1 y
2、22p y12p y22p 16 12 1kOB所以 kOB3.3(2016四川卷)设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线 y22px( p0)上任意一点，M 是线段 PF 上的点，且| PM|2|MF| ，则直线 OM 的斜率的最大值为 (C)A. B.33 23C. D122设出点的坐标，利用设而不求、整体代换法求解如图所示，设 P(x0，y 0)(y00)，则 y 2px 0，即 x0 .20y202p设 M(x，y )，由 2 ，PM MF 得Error!化简可得Error!所以直线 OM 的斜率为 k (当且仅当 y0 p 时y03p x03 y0p y202p 2p2p2
3、y0 y0 2p22p2 22 2取等号) 4(经典真题)如图，设抛物线 y24x 的焦点为 F，不经过焦点的直线上有三个不同的点 A，B，C ，其中点 A，B 在抛物线上，点 C 在 y 轴上，则 BCF 与ACF 的面积之比是(A)A. B.|BF| 1|AF| 1 |BF|2 1|AF|2 1C. D.|BF| 1|AF| 1 |BF|2 1|AF|2 1由图形可知，BCF 与ACF 有公共的顶点 F，且 A，B，C 三点共线，易知BCF 与ACF 的面积之比就等于 .|BC|AC|由抛物线方程知焦点 F(1,0)，作准线 l，则 l 的方程为 x1.因为点 A，B 在抛物线上，过 A，
4、B 分别作 AK，BH 与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与 y 轴分别交于点 N，M .由抛物线定义，得|BM | BF|1，|AN |AF| 1.在CAN 中，BMAN，所以 .|BC|AC| |BM|AN| |BF| 1|AF| 15(2016浙江卷)若抛物线 y24x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是 9 .设点 M 的横坐标为 x，则点 M 到准线 x1 的距离为 x1，由抛物线的定义知 x110，所以 x9，所以点 M 到 y 轴的距离为 9.6(2017河南新乡二模)已知点 A(1，y 1)，B(9，y 2)是抛物线 y22px( p0)上的两点，y2
5、y10，点 F 是抛物线的焦点，若| BF|5|AF |，则 y y 2 的值为 10 .21由抛物线的定义可知，9 5(1 )，解得 p2.p2 p2所以抛物线方程为 y24x ，又因为 A，B 两点在抛物线上，所以 y12，y 26，所以 y y 22 2610.217已知斜率为 1 的直线 l 过抛物线 y22px(p0)的焦点 F，且与抛物线交于 A，B 两点(1)求直线 l 的方程( 用 p 表示) ；(2)若设 A(x1， y1)，B(x 2，y 2)，求证：| AB|x 1x 2p；(3)若|AB|4，求抛物线方程(1)因为抛物线的焦点 F 的坐标为( ，0)，p2又因为直线 l
6、 的斜率为 1，所以直线 l 的方程为：y x .p2(2)证明：过点 A，B 分别作准线的垂线 AA，BB，交准线于 A，B，则由抛物线的定义得：|AB| AF|BF|AA| BB|x 1 x 2 x 1x 2p.p2 p2(3)由|AB|4，得 x1x 2p4.直线 yx 与抛物线方程联立，p2Error!x23px 0，p24由韦达定理，得 x1x 23p，代入 x1x 2p4，解得 p1，故抛物线方程为 y22x .8(2016全国卷 )以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于D，E 两点已知| AB|4 ，| DE|2 ，则 C 的焦点到准线的距离为
7、(B)2 5A2 B4C6 D8设抛物线的方程为 y22px(p0)，圆的方程为 x2y 2r 2.因为|AB|4 ，| DE|2 ，2 5抛物线的准线方程为 x ，p2所以不妨设 A( ，2 )，D ( ， )4p 2 p2 5因为点 A( ，2 )，D ( ， )在圆 x2y 2r 2 上，4p 2 p2 5所以Error!所以 8 5，所以 p4(负值舍去) 16p2 p24所以 C 的焦点到准线的距离为 4.9(2018全国卷)已知点 M(1，1) 和抛物线 C：y 24x，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点若 AMB90，则 k_2_.(方法 1)由题意知，
8、抛物线的焦点坐标为 F(1，0)，设直线方程为 yk(x1) ，直线方程与 y24x 联立，消去 y，得 k2x2(2k 24)x k 2 0.设 A(x1，y 1)， B(x2，y 2)，则 x1x21，x 1x 2 .2k2 4k2由 M(1，1)，得 (1x 1，1y 1)，AM ( 1x 2，1y 2)BM 由AMB90，得 0，AM BM 所以(x 11)(x 21)(y 11)(y 21)0，所以 x1x2(x 1x 2)1y 1y2(y 1y 2)10.又 y1y2k(x 11)k(x 21) k2x1x2(x 1x 2)1，y1y 2k(x 1x 22)，所以 1 1k 2(1
9、 1) k( 2) 10，2k2 4k2 2k2 4k2 2k2 4k2整理得 10，解得 k2.4k2 4k(方法 2)设点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则所以 y y 4(x 1x 2)，所以 k .21 2y1 y2x1 x2 4y1 y2设 AB 中点 M(x0，y 0)，抛物线的焦点为 F，分别过点 A，B 作准线 x1 的垂线，垂足为 A，B，则|MM| |AB| (|AF|BF|)12 12 (|AA|BB|)12因为 M(x0，y 0)为 AB 的中点，所以 M 为 AB的中点，所以 MM平行于 x 轴，所以 y1y 22，所以 k2.(方法 3)由条件 M 在以
10、 AB 为直径的圆上，因为以 AB 为直径的圆与准线相切，且 M 在准线上，所以 M 为切点，所以 x1 为圆 M的切线方程由此得圆心 M的纵坐标为 1.由 得 ky24y4k0，y k（x 1），y2 4x， )所以 1，所以 k2.y1 y22 2k10(2018全国卷)设抛物线 C：y 24x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l与 C 交于 A，B 两点，|AB|8.(1)求 l 的方程；(2)求过点 A， B 且与 C 的准线相切的圆的方程(1)由题意得 F(1，0) ，l 的方程为 yk(x 1)(k0)设 A(x1，y 1)， B(x2，y 2)，由 得 k2x2
11、(2k 24)xk 20.y k（x 1），y2 4x， ) 16k2160 ，故 x1x 2 .2k2 4k2所以|AB|AF|BF|(x 1 1)(x 21) .4k2 4k2由题设知 8，解得 k1(舍去) 或 k1.4k2 4k2因此 l 的方程为 yx1.(2)由(1)得 AB 的中点坐标为 (3，2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y2(x3) ，即 yx5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则y0 x0 5，（x0 1）2 （y0 x0 1）22 16.)解得 或x0 3，y0 2，) x0 11，y0 6.)因此所求圆的方程为(x3) 2(y2) 216 或(x11) 2(y6) 2144.