1、2019 年河南省六市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax| x22x 30 ，Bx|y ln （ 2x），则 AB（ ）A （1，3） B （1，3 C 1，2） D （1，2）2 （5 分）设复数 z1+ i，则 +z2（ ）A B C D3 （5 分）cos70sin50cos200sin40的值为（ ）A B C D4 （5 分）我国古代有着辉煌的数学研究成果 周髀算经 、 九章算术 、 海岛算经 、孙子算经 、 辑古算经等
2、算经 10 部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献这 10 部专著中有 7 部产生于魏晋南北朝时期某中学拟从这 10 部名著中选择 2 部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选 2 部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为（ ）A B C D5 （5 分）已知函数 f（x ）3ln （x+ ）+a（7 x+7x ） ，xR，则“a0”是“函数f（x）为奇函数 ”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件6 （5 分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的表面积为（ ）
3、A642 B64+2 C802 D80+2第 2 页（共 24 页）7 （5 分）若 x（e 1 ，1） ，alnx， ，ce lnx，则（ ）Abca Bcba Cbac Dabc8 （5 分）若将函数 f（x ）sin（2x+ ）+ （2x +） （0）的图象向左平移个单位长度，平移后的图象关于点（ ，0）对称，则函数 g（x）cos（x +）在 上的最小值是（ ）A B C D9 （5 分）已知变量 x、t 满足约束条件 ，则目标函数 z3xy 的最大值是（ ）A4 B C1 D610 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，
4、若 ，b4，则ABC 的面积的最大值为（ ）A4 B2 C2 D11 （5 分）抛物线 y28x 的焦点为 F，设 A（x 1，y 1） ， B（x 2，y 2）是抛物线上的两个动点，若 x1+x2+4 |，则AFB 的最大值为（ ）A B C D12 （5 分）函数 f（x ）是定义在（1，+）上的可导函数，f（x）为其导函数，若f（x）+ （x 1）f（x）x 2（x2） ，且 f（e 2）0，则不等式 f（e x）0 的解集为（ ）A （0，1） B （0，2） C （1，2） D （2，+）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5
5、分）已知向量 （1，0） ，| |2， 与 的夹角为 60，若 + ， ，则 在 方向上的投影为 14 （5 分）在 的展开式中，常数项为 第 3 页（共 24 页）15 （5 分）已知双曲线 1（ba0） ，焦距为 2c，直线 l 经过点（a，0）和（0，b） ，若（a，0）到直线 l 的距离为 c，则离心率为 16 （5 分）如图，ABC 是等腰直角三角形，斜边 AB2，D 为直角边 BC 上一点（不含端点） ，将ACD 沿直线 AD 折叠至AC 1D 的位置，使得 C1 在平面 ABD 外，若 C1 在平
6、面 ABD 上的射影 H 恰好在线段 AB 上，则 AH 的取值范围是 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分）设数列a n前 n 项和为 Sn，且满足 a1r，S na n+1 （）试确定 r 的值，使a n为等比数列，并求数列a n的通项公式；（）在（）的条件下，设 bnlog 2an，求数列|b n|的前 n 项和 Tn18 （12 分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 32，48，32现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查（）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少
7、人？（）若抽出的 7 人中有 3 人睡眠不足，4 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查（i）用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的数学期望和方差；（i）设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工” ，求事件 A 发生的概率19 （12 分）已知五边形 ABECD 有一个直角梯形 ABCD 与一个等边三角形 BCE 构成，如图 1 所示，ABBC，且 ABBC 2CD，将梯形 ABCD 沿着 BC 折起，形成如图 2 所示的几何体，且 AB平面 BEC（1）求证：平面 ABE平面 ADE；（2）求二面角 ADEB
8、 的平面角的余弦值第 4 页（共 24 页）20 （12 分）已知椭圆 C： 1（ab0）的两个焦点分别为 F1，F 2，点 P 是椭圆上的任意一点，且|PF 1|PF2|的最大值为 4，椭圆 C 的离心率与双曲线 1 的离心率互为倒数（）求椭圆 C 的方程；（）设点 P（1， ） ，过点 P 作两条直线 l1，l 2 与圆（x+1） 2+y2r 2（0r ）相切且分别交椭圆于 M，N，求证：直线 MN 的斜率为定值21 （12 分）已知函数 f（x ）x 3x （）判断 的单调性；（）求函数 yf（x）的零点的个数；（）令 g（x） +lnx，若函数 yg（x ）在（ 0， ）内有极值，求实
9、数 a的取值范围请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程选讲22 （10 分）在平面直角坐标系中，曲线 C1：x 2y 22，曲线 C2 的参数方程为（ 为参数） 以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求曲线 C1，C 2 的极坐标方程；（）在极坐标系中，射线 与曲线 C1，C 2 分别交于 A，B 两点（异于极点 O） ，定点 M（3，0） ，求MAB 的面积第 5 页（共 24 页）选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x +2|5（）解不等式：f（x ）|x1| ；（）当时 x1 时，函数
10、 g（x）f （x）+|x m|恒为正值，求实数 m 的取值范围第 6 页（共 24 页）2019 年河南省六市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax| x22x 30 ，Bx|y ln （ 2x），则 AB（ ）A （1，3） B （1，3 C 1，2） D （1，2）【分析】化简集合 A、B，求出 AB 即可【解答】解：集合 Ax| x22x 30 x|1x 31，3 ，B x|yln（2x） x |2x0 x|x2（，2） ；AB1，
11、2） 故选：C【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目2 （5 分）设复数 z1+ i，则 +z2（ ）A B C D【分析】把 z1+ i 代入 +z2，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：z1+ i， +z2 故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题3 （5 分）cos70sin50cos200sin40的值为（ ）A B C D【分析】由诱导公式，两角和的正弦函数公式化简所求，利用特殊角的三角函数值即可计算得解【解答】解：cos70sin50cos200sin40cos70sin50+cos20sin40cos70sin50+
12、sin70cos50第 7 页（共 24 页）sin（50+70）sin120 故选：D【点评】本题主要考查了诱导公式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题4 （5 分）我国古代有着辉煌的数学研究成果 周髀算经 、 九章算术 、 海岛算经 、孙子算经 、 辑古算经等算经 10 部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献这 10 部专著中有 7 部产生于魏晋南北朝时期某中学拟从这 10 部名著中选择 2 部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选 2 部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为（ ）A
13、B C D【分析】求出从 10 部名著中选择 2 部名著的方法数、2 部都不是魏晋南北朝时期的名著的方法数，由对立事件的概率计算公式，可得结论【解答】解：从 10 部名著中选择 2 部名著的方法数为 C10245（种） ，2 部都不是魏晋南北朝时期的名著的方法数为 C323（种） ，由对立事件的概率计算公式得 P1 故选：A【点评】本题考查概率的计算，考查组合知识，属于中档题5 （5 分）已知函数 f（x ）3ln （x+ ）+a（7 x+7x ） ，xR，则“a0”是“函数f（x）为奇函数 ”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据
14、函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若 a0，则 f（ x）3ln （x+ ） ，则 f（x）+f（x ）3ln（x+ ）+3ln（x+ ）3（ln（x+ ）（x+ ）第 8 页（共 24 页）3ln（x 2+1x 2）3ln10 ，则 f（x）f（x ） ，即 f（x）是奇函数，即充分性成立，若函数 f（x）是奇函数，则满足 f（0）0，即 f（0）0，即 f（0）3ln1+a（1+1）2a0，则 a0，即必要性成立，则“a0”是“函数 f（x ）为奇函数”的充要条件，故选：C【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断以及充分条件和必要条件的判断，利用函数奇偶性的定
15、义以及对数函数的运算性质是解决本题的关键6 （5 分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的表面积为（ ）A642 B64+2 C802 D80+2【分析】根据三视图知该几何体是棱长为 4 的正方体截去一个 圆柱体，结合图中数据求出它的表面积【解答】解：根据三视图知，该几何体是棱长为 4 的正方体，截去一个 圆柱体，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的表面积为S24 2+242+（24 2 22）+ 22480+2第 9 页（共 24 页）故选：D【点评】本题考查了利用三视图求简单组合体的表面积应用问题，是基础题7 （5 分）若 x（e 1 ，1） ，a
16、lnx， ，ce lnx，则（ ）Abca Bcba Cbac Dabc【分析】利用对数函数的单调性判断出 a0；由于 b，c 的指数相同，所以研究一个幂函数的单调性；利用幂函数的单调性判断出 b，c 的大小，b，c 都是幂得到 b，c 全正，比较出 a，b，c 的大小【解答】解：x（e 1 ，1）alnxln1 0即 a0考察幂函数 f（t）t lnxlnx0当 t0 时，f（t）是减函数 0所以有 bca故选：A【点评】本题考查利用对数函数的单调性比较大小、考查利用幂函数的单调性比较大小8 （5 分）若将函数 f（x ）sin（2x+ ）+ （2x +） （0）的图象向左平移个
17、单位长度，平移后的图象关于点（ ，0）对称，则函数 g（x）cos（x +）在 上的最小值是（ ）A B C D【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为 f（x）2sin（2x+ ） ，根据函数 yAsin（ x+）的图象变换规律及余弦函数的性质可解得 的值，求得函数g（x）的解析式为 g（x ）cos（x+ ） ，利用余弦函数值域求得函数 g（x）的最值第 10 页（共 24 页）【解答】解：f（x ）sin（2x+ ）+ cos（2x+）2sin（2x+ ） ，将函数 f（x）图象向左平移 个单位后，得到函数解析式为：y2sin2（x+ ）+ 2cos（2x + ） ，
18、函数的图象关于点（ ，0）对称，对称中心在函数图象上，可得：2cos（2 + ） 2cos（ + ）0，解得：+ + k + ，kZ，解得：k ，kZ，0 ，解得： ，g（x）cos（x+ ） ，x ， ，x+ ， ，cos（x+ ） ，1，则函数 g（x ）cos （x+ ）在 ， 上的最小值是 故选：D【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数 yAsin（x+）的图象变换规律，余弦函数的单调性、定义域、值域，属于中档题9 （5 分）已知变量 x、t 满足约束条件 ，则目标函数 z3xy 的最大值是（ ）A4 B C1 D6【分析】先画出满足条件的平面区域，由 z3
19、xy 得 y 3xz，结合图象得到直线过（2，0）时 z 最大，求出 z 的最大值即可【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：第 11 页（共 24 页），由 z3xy 得 y3xz，显然直线过（2，0）时 z 最大，z 的最大值是 6，故选：D【点评】本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道中档题10 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ，b4，则ABC 的面积的最大值为（ ）A4 B2 C2 D【分析】由已知式子和正弦定理可得 B ，再由余弦定理可得 ac16，由三角形的面积公式可得【解答】解：在ABC 中 ，（2ac）co
20、sBbcosC，（2sinAsinC）cosBsinBcosC，2sinAcosB sinCcosB+sinBcosCsin（B+C ）sinA，约掉 sinA 可得 cosB ，即 B ，由余弦定理可得 16a 2+c22accosBa 2+c2ac2ac ac，ac16，当且仅当 ac 时取等号，ABC 的面积 S acsinB ac4故选：A【点评】本题考查解三角形，涉及正余弦定理和基本不等式以及三角形的面积公式，属第 12 页（共 24 页）中档题11 （5 分）抛物线 y28x 的焦点为 F，设 A（x 1，y 1） ， B（x 2，y 2）是抛物线上的两个动点，若 x1+x2+4
21、|，则AFB 的最大值为（ ）A B C D【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出AFB 的最大值【解答】解：因为 ，|AF |+|BF|x 1+x2+4，所以在AFB 中，由余弦定理得： 又 所以 ，AFB 的最大值为 ，故选：D【点评】本题考查抛物线的定义，考查余弦定理、基本不等式的运用，属于中档题12 （5 分）函数 f（x ）是定义在（1，+）上的可导函数，f（x）为其导函数，若f（x）+ （x 1）f（x）x 2（x2） ，且 f（e 2）0，则不等式 f（e x）0 的解集为（ ）A （0，1） B （0，2） C （1，2） D （2，+）【分析】
22、构造函数，（x ）（ x1）f（x ） ，利用导函数的单调性，转化求解不等式的解集即可【解答】解：函数 f（x ）是定义在（1，+）上的可导函数，f' （x ）为其导函数，令 （x ）（ x1）f（x ） ，则 （x）（x1）f '（x ）+ f（x）x 2（x 2） ，可知当 x（1， 2）时，（x）是单调减函数，并且 0f'（1）+ f（1）1（1 2）10，即 f（1）0，x（1，+）时，函数是单调增函数，f（e 2）0，第 13 页（共 24 页）则 （e 2）（ e21）f（e 2）0，则不等式 f（e x）0 的解集就是（ ex1）f （e x）0 的解集，
23、即 （e x）（e 2） ，故不等式的解集为：x|1 x 2故选：C【点评】本题考查函数的单调性的应用，不等式的解法，考查转化思想以及计算能力二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）已知向量 （1，0） ，| |2， 与 的夹角为 60，若 + ， ，则 在 方向上的投影为 【分析】根据 的坐标可求出 ，进而求出 ，从而可求出，从而得出 在 方向上的投影为 【解答】解： ， 的夹角为 60； ； ； ，且 ； 在 方向上的投影为： 故答案为： 【点评】考查向量数量积的运算及计算公式，一个向量在另一个向量方向上投影的计算公式，以及向量夹角的余弦公式
24、14 （5 分）在 的展开式中，常数项为 5 【分析】 的展开式中的通项公式：T r+1 （1）4r （r0，1，2，3，4） 的通项公式：Tk+1 （1） k xr2k ，令 r2k0，即 r2k进而得出【解答】解： 的展开式中的通项公式：T r+1 （1）第 14 页（共 24 页）4r （r0，1，2，3，4） 的通项公式：T k+1 （1） k xr2k ，令 r2k0，即 r2k r0，k 0；r2，k 1；r 4，k2常数项1 + 15故答案为：5【点评】本题考查了二项式定理的应用、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题15 （5 分）已知双曲线 1（ba0） ，焦距为
25、 2c，直线 l 经过点（a，0）和（0，b） ，若（a，0）到直线 l 的距离为 c，则离心率为 【分析】求出直线的方程，运用点到直线的距离公式，得到方程，结合 a，b，c 的关系和离心率公式，化简整理即可得到 2e49e 2+90，解方程即可得到离心率，注意条件0ab，则有 e22，注意取舍【解答】解：直线 l 的方程为 ，即为 bx+ayab0，c2a 2+b2， （a，0）到直线 l 的距离为 c，可得： c，即有 3ab c2，即 9a2b22c 4，即 9a2（c 2a 2）2c 4，9a2c29a 42c 40，由于 e ，则 2e49e 2+9 0，解
26、得，e 23 或 e2 由于 0ab，即 a2b 2，即有 c22a 2，即有 e22，则 e 或 e 舍去故答案为： 【点评】本题考查双曲线的性质：离心率的求法，同时考查直线的方程和点到直线的距第 15 页（共 24 页）离公式的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题16 （5 分）如图，ABC 是等腰直角三角形，斜边 AB2，D 为直角边 BC 上一点（不含端点） ，将ACD 沿直线 AD 折叠至AC 1D 的位置，使得 C1 在平面 ABD 外，若 C1 在平面 ABD 上的射影 H 恰好在线段 AB 上，则 AH 的取值范围是 （1， ） 【分析】推导出 ACBC ，ACB
27、90，AC 1AC ，CDC 1D（0， ） ，AC 1D90，CH平面 ABC，从而 AHAC 1 ，当 CD 时，B 与 D 重合，AH1，当 CD 时，AH AB1，由此能求出 AH 的取值范围【解答】解：在等腰 Rt ABC 中，斜边 AB2，D 为直角边 BC 上的一点，ACBC ，ACB90 ，将ACD 沿直 AD 折叠至AC 1D 的位置，使得点 C1 在平面 ABD 外，且点 C1 在平面 ABD 上的射影 H 在线段 AB 上，设 AH x，AC 1AC ，CDC 1D（0， ） ，AC 1D90，CH平面 ABC，AHAC 1 ，当 CD 时，B 与 D 重合，AH 1 ，
28、当 CD 时，AH AB 1，D 为直角边 BC 上的一点，CD（0， ） ，AH 的取值范围是（1， ） 故答案为：（1， ） 【点评】本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题第 16 页（共 24 页）三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分）设数列a n前 n 项和为 Sn，且满足 a1r，S na n+1 （）试确定 r 的值，使a n为等比数列，并求数列a n的通项公式；（）在（）的条件下，设 bnlog 2an，求数列|b n|的前 n 项和 Tn【分析】
29、 （）通过 n1 可得 ，通过 n2 时，得 an+12a n（n2） ，利用等比数列的性质可得 ，计算即得结论；（）通过（I）知 bnn6 ，分 n6、n6 两种情况讨论即可【解答】解：（）当 n1 时， ，当 n2 时， ，与已知式作差得 ana n+1a n，即 an+12a n（n2） ，欲使a n为等比数列，则 a22a 12r，又 ， ，故数列a n是以 为首项，2 为公比的等比数列，所以 ；（）由（I）知 bnn6， ，若 n6， ，若 n6， ， 【点评】本题考查等比数列的通项公式，前 n 项和公式，对数的运算，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题18 （12 分
30、）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 32，48，32现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查（）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（）若抽出的 7 人中有 3 人睡眠不足，4 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做第 17 页（共 24 页）进一步的身体检查（i）用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的数学期望和方差；（i）设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工” ，求事件 A 发生的概率【分析】 （）利用用分层抽样的性质能求出应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人（） （i）由题
31、意得 X 的可能取值为 0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量 X 的分布列、数学期望和方差（ii）基本事件总数 n 35，事件 A 包含的基本事件个数 m 30，由此能求出事件 A 发生的概率【解答】解：（）某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 32，48，32现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查应从甲部门的员工中抽取：7 2 人，乙部门的员工中抽取：7 3 人，丙部门的员工中抽取：7 2 人（） （i）由题意得 X 的可能取值为 0，1，2，3，P（X0） ，P（X1） ，P（X2） ，P（X3） ，随机变量 X 的分布列为：X 0 &n
32、bsp;1 2 3P 第 18 页（共 24 页）E（X） ，D（X）（0 ） 2 +（1 ） 2 +（2 ） 2 +（3 ） 2 （ii）抽出的 7 人中有 3 人睡眠不足，4 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查基本事件总数 n 35，A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工” ，则事件 A 包含的基本事件个数 m 30，事件 A 发生的概率 P（A ） 【点评】本题考查分层抽样的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差、概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求
33、解能力，是中档题19 （12 分）已知五边形 ABECD 有一个直角梯形 ABCD 与一个等边三角形 BCE 构成，如图 1 所示，ABBC，且 ABBC 2CD，将梯形 ABCD 沿着 BC 折起，形成如图 2 所示的几何体，且 AB平面 BEC（1）求证：平面 ABE平面 ADE；（2）求二面角 ADEB 的平面角的余弦值【分析】 （1）取 BE 的中点 F，AE 的中点 G 结合面面垂直的性质和判定定理进行证明即可（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可【解答】证明：（1）：取 BE 的中点 F，AE 的中点 G，连接 FG、GD 、CF，则 GFAB第 19
34、页（共 24 页）DC AB，：CDGF 且 CDGF ，：四边形 CFGD 为平行四边形，：CFDGAB平面 BEC，ABCF CFBE，ABBEB，CF平面 ABE，CFDG，DG平面 ABE，DG 平面 ADE，平面 ABE平面 ADE以 O 为坐标原点，OE、BC 所在的直线分别为 x 轴、y 轴，过 O 且平行于 AB 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系设 ABBC4 ，则 A（0，2.4） ，B（0，2，0） ，D（0，2，2） ，E（2 ，0，0） ， （2 ，2，2） ， （2 ，2，4） ， （2 ，2，0） ，设平面 EAD 的法向量为 （x，y ，z） ，则有
35、，即 取 z2，得 x ，y 1，则 （ ，1，2） ，设平面 BDE 的法向量为 （x，y ，z） ，则有 ，即 ，取 x1，得 y ，z2 ，则 （1， ，2 ） cos ， ，又由图可知，二面角 ADEB 的平面角为锐角，即二面角 ADEB 的平面角的余弦值是 第 20 页（共 24 页）【点评】本题主要考查空间面面垂直的证明以及二面角的求解，根据面面垂直的判定定理，建立空间坐标系求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键20 （12 分）已知椭圆 C： 1（ab0）的两个焦点分别为 F1，F 2，点 P 是椭圆上的任意一点，且|PF 1|PF2|的最大值为 4，椭圆 C 的离心率与双
36、曲线 1 的离心率互为倒数（）求椭圆 C 的方程；（）设点 P（1， ） ，过点 P 作两条直线 l1，l 2 与圆（x+1） 2+y2r 2（0r ）相切且分别交椭圆于 M，N，求证：直线 MN 的斜率为定值【分析】 （）利用椭圆的离心率，以及基本不等式和椭圆的定义，求出 a，b，然后求解椭圆方程（）直线 l1，l 2 的斜率存在，设为 k1，k 2，M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，直线 l1，l 2 与圆相切，则有 k1k 2，直线 l1 的方程为直线 l1 的方程为 y k 1（x+1） ，与椭圆方程联立，求出 x1，同理 x2，当 l2 与椭圆相交时，然后求解直线的斜率
37、即可【解答】解：（）双曲线 1 的离心率为 2，可得椭圆 C 的离心率为 ，设椭圆的半焦距为 c，a2c，|PF 1|PF2| （ ） 2a 2，a 24，c1，第 21 页（共 24 页）又 b2a 2c 2413椭圆方程为 + 1；（）证明：显然两直线 l1， l2 的斜率存在，设为 k1，k 2，M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，由于直线 l1，l 2 与圆（x+1） 2+y2r 2（0r ）相切，则有 k1k 2，直线 l1 的方程为 y k 1（x+1） ，联立椭圆方程 3x2+4y212，消去 y，得 x2（3+4 k12）+k 1（ 12+8k1）x+（3+2 k1
38、） 212 0，P，M 为直线与椭圆的交点，所以 x11 ，同理，当 l2 与椭圆相交时，x 21 ，x 1x 2 ，而 y1y 2k 1（x 1+x2）+2k1 ，直线 MN 的斜率 k 【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和基本量的关系，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立椭圆方程和直线方程，运用韦达定理，注意运用基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）x 3x （）判断 的单调性；（）求函数 yf（x）的零点的个数；（）令 g（x） +lnx，若函数 yg（x ）在（ 0， ）内有极值，求实数 a的取值范围第 22 页（共 24 页
39、）【分析】 （）化简 ，并求导数，注意定义域：（0，+） ，求出单调区间；（）运用零点存在定理说明 在（1，2）内有零点，再说明 f（x）在（0，+）上有且只有两个零点；（）对 g（x）化简，并求出导数，整理合并，再设出 h（x）x 2（2+a）x+1，说明 h（x）0 的两个根，有一个在（0， ）内，另一个大于 e，由于 h（0）1，通过h（ ）0 解出 a 即可【解答】解：（）设 （x） x 21 （x0） ，则 '（x）2x+ 0，（x ）在（ 0，+）上单调递增；（）（1）10， （2）3 0，且 （x）在（0，+）上单调递增，（x ）在（ 1，2）内有零点，又 f（x）x 3
40、x x （x） ，显然 x0 为 f（x）的一个零点，f（x）在（0 ，+）上有且只有两个零点；（）g（x） +lnxlnx+ ，则 g'（x ） ，设 h（x）x 2（2+a）x +1，则 h（x）0 有两个不同的根 x1，x 2，且有一根在（0， ）内，不妨设 0x 1 ，由于 x1x21，即 x2e，由于 h（0）1，故只需 h（ ）0 即可，即 （2+a） +10，解得 ae+ 2，实数 a 的取值范围是（e+ 2，+） 【点评】本题主要考查导数在函数中的综合运用：求单调区间，求极值，同时考查零点第 23 页（共 24 页）存在定理和二次方程实根的分布，是一道综合题请考生在 2
41、2、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程选讲22 （10 分）在平面直角坐标系中，曲线 C1：x 2y 22，曲线 C2 的参数方程为（ 为参数） 以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求曲线 C1，C 2 的极坐标方程；（）在极坐标系中，射线 与曲线 C1，C 2 分别交于 A，B 两点（异于极点 O） ，定点 M（3，0） ，求MAB 的面积【分析】 （）由曲线 C1 的普通方程能求出曲线 C1 的极坐标方程；由曲线 C2 的参数方程能求出曲线 C2 的普通方程，由此能求出曲线 C2 的极坐标方程（）点 A 的极坐标
42、为（2， ） ，点 B 的极坐标为（2 ， ） ，从而|AB|22 |2 2，M（3，0）点到射线 （0）的距离为 d3sin ，由此能求出MAB 的面积【解答】解：（）曲线 C1：x 2y 22，曲线 C1 的极坐标方程为： 2cos2 2sin22，（2 分）曲线 C2 的参数方程为 （ 为参数） 曲线 C2 的普通方程为：（ x2） 2+y24，（3 分）x 2+y24x0，曲线 C2 的极坐标方程为 4cos （4 分）（）由（）得：点 A 的极坐标为（2， ） ，（5 分）点 B 的极坐标为（2 ， ） ，（6 分）|AB| |22 |2 2，（7 分）M（3，0）点到射线 （ 0）
43、的距离为d3sin ，（8 分）MAB 的面积为：第 24 页（共 24 页）SMAB |AB|d （10 分）【点评】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x +2|5（）解不等式：f（x ）|x1| ；（）当时 x1 时，函数 g（x）f （x）+|x m|恒为正值，求实数 m 的取值范围【分析】 （）由分类讨论，解不等式可得所求解集；（）求得 g（x）的最小值，解不等式可得所求范围【解答】解：（）|2x +2| 5|x1
44、| 等价于或 或 ，解得 x8 或 x或 x2，综上所述，不等式 f（x ）|x1| 的解集为（，8 2，+） ；（）当 m1 时，则 g（ x）|2x+2|5+| x1|3|x +1|53x 20，只需 g（1）320，不可能！当 m1 时，g（x）|2 x+2|+|xm |5| xm|+2x 3 ，要使函数 g（x）f（x）+|x m|恒为正值，则 g（x） ming（1）1+m 30，可得 m4，当 m1 时，g（x）|2 x+2|+|xm |53xm 30 恒成立，只需要 g（x） min3m 30，可得 m6，综上所述，实数 m 的取值范围是（ ，6）（4，+） 【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立的解法，考查运算能力，属于基础题
