1、延庆区20232024学年第二学期统测试卷高 三 数 学 第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题中选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，则（A）（B）（C）（D）（2）若复数满足，则（A）（B）（C）（D）（3）在的展开式中，的系数为（A）（B）（C）（D）（4）已知抛物线的焦点为，点在上若到直线的距离为，则（A）（B）（C）（D）（5）已知正方形的边长为，点满足，则（A）（B）（C）（D）（6）“”是“为第一或第三象限角”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（7）已知函数，则不等式的解集是（A
2、）（B）（C）（D）（8）设，则（A）（B）（C）（D）（9）在等边中，为所在平面内的动点，且，为边上的动点，则线段长度的最大值是（A）（B）（C）（D）（10）已知在正方体中，是正方形内的动点，则满足条件的点构成的图形的面积等于（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 （12）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则 ，的面积为 （13）已知函数在区间上单调递减，则的一个取值为 （14）北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)， 环绕天心石砌块扇
3、面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板(不含天心石) 块，则上层有扇形石板 块（15）已知函数给出下列四个结论： 存在实数，使得函数的最小值为； 存在实数，使得函数的最小值为； 存在实数，使得函数恰有个零点； 存在实数，使得函数恰有个零点其中所有正确结论的序号是 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）已知函数，的最大值为.（）求的值；（）将的图象向右平移个单位得到的图象，求函数的单调增区间（17）（本小题13分）第十四届全国冬季运动会雪橇项目
4、比赛于2023年12月16日至17日在北京延庆举行，赛程时间安排如下表：12月16日星期六9:30单人雪橇第1轮10:30单人雪橇第2轮15:30双人雪橇第1轮16:30双人雪橇第2轮12月17日星期日9:30单人雪橇第3轮10:30单人雪橇第4轮15:30团体接力（）若小明在每天各随机观看一场比赛，求他恰好看到单人雪橇和双人雪橇的概率；（）若小明在这两天的所有比赛中随机观看三场，记为看到双人雪橇的次数，求的分布列及期望； （）若小明在每天各随机观看一场比赛，用“”表示小明在周六看到单人雪橇，“” 表示小明在周六没看到单人雪橇，“”表示小明在周日看到单人雪橇，“”表示小明在周日没看到单人雪橇，
5、写出方差，的大小关系（18）（本小题15分）如图，四棱柱的底面是边长为的正方形，侧面底面，是的中点（）求证：平面；（）再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个条件作为已知，使二面角唯一确定，并求二面角的余弦值条件：；条件：；条件：注：如果选择的条件不符合要求，第（）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分（19）（本小题15分）已知椭圆的离心率为，分别是的上、下顶点，分别是的左、右顶点（）求的方程；（）设为第二象限内上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：（20）（本小题15分）已知函数. （）若曲线的一条切线方程为，求的值；（）若函数在区间上为增函数，求的取
6、值范围；（）若，无零点，求的取值范围（21）（本小题13分）已知数列，记集合.（）若数列为，写出集合；（）若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由；（）若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为， 若，求的最大值评分参考一、选择题: （每小题4分，共10小题，共40分）1. B 2.C 3. D 4. B 5. C 6. C 7. A 8. D 9. D 10. A 二、填空题: （每小题5分，共5小题，共25分）11； 12. ，； 13； 14； 15 12题第一空3分，第二空2分；15题选对一个给3分，二个给5分，有错误不给分.三、解答题：（共6小题，共85
7、分. 解答应写出文字说明、演算步骤.）16. 解：（）因为 2分其中， 3分所以， 5分又因为，所以. 6分（）因为 8分所以 10分则， 12分， 13分所以函数的单调增区间为 14分 没有出现扣一分,结果不写区间形式扣一分。17.解：（）记“小明在每天各随机观看一场比赛，恰好看到单人雪橇和双人雪橇”为事件. 由表可知，每天随机观看一场比赛，共有种不同方法，其中恰好看到单人雪橇和双人雪橇，共有种不同方法所以 4分 （）随机变量的所有可能取值为 5分根据题意， 6分， 7分 8分随机变量的分布列是： 9分数学期望 11分（） 13分18.解：（）证明：方法一：在四棱柱中，连结，设，连结，在中，
8、因为、分别为的中点，所以， 2分又因为平面，平面， 3分所以. 4分方法二：在四棱柱中，设中点为，连结，因为，所以为平行四边形，所以， 1分因为，所以为平行四边形，所以， 2分因为所以平面， 3分因为平面所以 4分（）解:选择条件： 本问记为分选择条件：连结，因为底面是正方形，所以，又因为侧面底面，且侧面底面，所以，所以，在中，因为，所以，在中，因为，所以，所以，即，又因为，所以如图建立空间直角坐标系， 6分其中，且， 7分因为侧面底面，所以，因为平面所以，故，9分设为平面的一个法向量，则即 .不妨设，则,可得 12分所以， 14分因为二面角的平面角是钝角, 所以二面角的余弦值为. 15分选择
9、条件：因为底面是正方形，所以，因为，所以，因为所以，因为侧面底面，且侧面底面，所以，即，又因为，所以如图建立空间直角坐标系， 6分下面同选择条件.19.解：（）由题设， 3分解得 4分所以的方程为 5分（）方法一：因为椭圆的方程为，所以，因为为第二象限上的动点，设6分所以，即 7分直线的方程为，即 8分直线的方程为，即 9分由 得 10分直线的方程为，即 11分直线的方程为，即 12分由 得 13分， 15分（）所以，即 方法二：因为椭圆的方程为，所以，设直线的方程为，其中 7分由 得 9分直线的方程为，即 10分由 得 11分直线的方程为，即 12分直线的方程为，即 13分由 得 14分因为
10、，所以 15分20.解：（）函数的定义域为，设切点为， 因为， 1分所以，即， 2分因为， 4分所以，即， 所以，即. 5分（）因为，在区间上为增函数， 所以在内恒成立， 7分因为，所以， 8分所以，即. 10分（）因为， 当，即时， 所以在上单调递减，因为，所以在上无零点，符合题意； 11分当时，令，则，当时，；当时，所以的单调递减区间是；单调递增区间是，的最小值为， 12分当，即时，无零点，符合题意； 13分当时，有一个零点，不符合题意； 14分当时，的最小值， 因为，所以，使得，不符合题意； 15分综上所述，当时，无零点. 21.解：（）. 4分（）假设存在，使得，则有，6分由于与奇偶性相同，所以与奇偶性不同.又因为， 所以必有大于等于的奇数因子，这与无以外的奇数因子矛盾. 故不存在，使得成立. 8分（）首先证明时，对任意的都有.若，使得：，由于与均大于且奇偶性不同，所以不成立. .10分其次证明除形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和.若正整数其中，.当时，由等差数列的性质有：此时结论成立.当时，由等差数列的性质有：此时结论成立. .12分对于数列，求其相应集合中满足：有多少项. 由前面的证明可知正整数不是集合中的项，所以的最大值为. .13分高三年级（数学） 第17页（共6页）
