1、第1页 学科网（北京）股份有限公司期初模拟考试期初模拟考试 一选择题一选择题1若集合若集合，Ny|y3x2+1，则，则 MN（）A0，+）B0，1 C4，+）D1，+）2已知复数已知复数 z 满足满足 z（1i）|1+i|2，则，则 z（）A1i B1+i C1i D1+i 3已知等比数列已知等比数列an的公比为的公比为 q，若，若 a1+a212，且，且 a1，a2+6，a3成等差数列，则成等差数列，则 q（）A BC3 D3 4已知已知，则，则 sin sin（）ABCD5.已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为，则圆锥的高为（，则圆锥的高为（）A BCD6函
2、数函数 f（x）（）（1）sinx 的图象的大致形状是（的图象的大致形状是（）A BC D7某罐中装有大小和质地相同的某罐中装有大小和质地相同的 4 个红球和个红球和 3 个绿球，每次不放回地随机摸出个绿球，每次不放回地随机摸出 1 个球记个球记 R1“第一次“第一次摸球时摸到红球”，摸球时摸到红球”，G1“第一次摸球时摸到绿球”，“第一次摸球时摸到绿球”，R2“第二次摸球时摸到红球”，“第二次摸球时摸到红球”，G2“第二次摸球“第二次摸球时摸到绿球”，时摸到绿球”，R“两次都摸到红球”，“两次都摸到红球”，G“两次都摸到绿球”，则下列说法中正确的是（“两次都摸到绿球”，则下列说法中正确的是（
3、）AP（R）P（R1）P（R2）BP（G）P（G1）+P（G2）C DP（G2|G1）+P（G1|G2）1 8纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向研它使用存储在电池中的电来发动因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898 年年 Peukert 提出铅酸电池的容量提出铅酸电池的容
4、量 C、放电时间、放电时间 t 和放和放 第2页 学科网（北京）股份有限公司 电电流电电流 I 之间关系的经验公式：之间关系的经验公式：CI t，其中，其中 为与蓄电池结构有关的常数（称为为与蓄电池结构有关的常数（称为 Peukert 常数），在电常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为池容量不变的条件下，当放电电流为 7.5A 时，放电时间为时，放电时间为 60h；当放电电流为；当放电电流为 25A 时，放电时间为时，放电时间为 15h，则该蓄电池的则该蓄电池的 Peukert 常数常数 约为（参考数据：约为（参考数据：lg20.301，lg30.477）（）（）A1.12 B1.13
5、C1.14 D1.15 二多选题二多选题（多选）（多选）9若正数若正数 a，b 满足满足 a+b1，则（，则（）Alog2a+log2b2 B Ca+lnb0 D（多选）（多选）10已知函数已知函数，则下列结论正确的是（，则下列结论正确的是（）A函数函数 f（x）的单调递增区间是）的单调递增区间是1，+）B不等式不等式 f（x）1 的解集是（的解集是（1，3）C函数函数 f（x）的图象关于）的图象关于 x1 对称对称 D函数函数 f（x）的值域是）的值域是 R（多选）（多选）11棱长为棱长为 2 的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E 为棱为棱 DD1的中点，的中点，F 为正方形为
6、正方形 C1CDD1内一个内一个动点（包括边界），且动点（包括边界），且 B1F平面平面 A1BE，则下列说法正确的有（，则下列说法正确的有（）A动点动点 F 轨迹的长度为轨迹的长度为 B三棱锥三棱锥 B1D1EF 体积的最小值为体积的最小值为 CB1F 与与 A1B 不可能垂直不可能垂直 D当三棱锥当三棱锥 B1D1DF 的体积最大时，其外接球的表面积为的体积最大时，其外接球的表面积为 三填空题三填空题 12.已知平面向量已知平面向量，若，若，则，则 13.在在 2024 年巴黎奥运会志愿者活动中，甲、乙、丙、丁年巴黎奥运会志愿者活动中，甲、乙、丙、丁 4 人要参与到人要参与到 A，B，C
7、三个项目的志愿者工作三个项目的志愿者工作中，每个项目必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一个项目，若甲只能参加中，每个项目必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一个项目，若甲只能参加 C 项目，那么不同的项目，那么不同的志愿者分配方案共有志愿者分配方案共有 种（用数字表示）种（用数字表示）14.某个体户计划同时销售某个体户计划同时销售 A，B 两种商品，当投资额为两种商品，当投资额为 x（x0）千元时，在销售）千元时，在销售 A，B 商品中所获收益商品中所获收益分别为分别为 f（x）千元与）千元与 g（x）千元，其中）千元，其中 f（x）2x，g（x）4ln（2x+1），如果该个体户准备共投入）
8、，如果该个体户准备共投入 5千元销售千元销售 A，B 两种商品，为使总收益最大，则两种商品，为使总收益最大，则 B 商品需投商品需投 千元千元 四解答题四解答题 第3页 学科网（北京）股份有限公司 15已知已知ABC 的内角的内角 A，B，C 所对边分别为所对边分别为 a，b，c，且，且 b2，a2（c1）2+3（1）求）求 A；（2）若）若4，求，求 cosC 的值的值 16 在四棱锥 在四棱锥 PABCD 中，底面中，底面 ABCD 是边长为是边长为 2 的正方形，的正方形，PCPD，二面角，二面角 ACDP 为直二面角为直二面角（1）求证：）求证：PBPD；（2）当）当 PCPD 时，求
9、直线时，求直线 PC 与平面与平面 PAB 所成角的正弦值所成角的正弦值 第4页 学科网（北京）股份有限公司 17无人机已广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域无人机已广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域（1）消防员甲操纵）消防员甲操纵某一品牌的无人机在不同的气候中进行了投弹试验，结果见下表某一品牌的无人机在不同的气候中进行了投弹试验，结果见下表.是否有是否有 99.9%的把的把握认为消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候有关握认为消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候有关.晴天晴天 雨天雨天 命中命中 45 30 不命中不命中 5 20 附：附：其中其中 na+b+c+d 0.15
10、 0.10 0.05 0.010 0.001 x 2.072 2.706 3.841 6.635 10.828（2）某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员乙操控）某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员乙操控无人机对同一目无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目，每次投弹是否击中目标相互独立 无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为标相互独立 无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目
11、标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭击中目标三次起火点必定被扑灭（i）求起火点被无人机击中次数）求起火点被无人机击中次数 X 的分布列及数学期望；的分布列及数学期望；（ii）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率 18已知函数已知函数 f（x）a（x1）lnx（a R）（1）求函数）求函数 f（x）的单调区间；）的单调区间；（2）若）若 f（x）0 恒成立，求实数恒成立，求实数 a 的取值集合的取值集合 19.已知椭圆已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的离心率为的离心率为12，左，左右焦点分别为右焦点分别为1F，2F，上，上下顶点分
12、别为下顶点分别为1A，2A，且四边形且四边形1122AF A F的面积为的面积为2 3.(1)求椭圆求椭圆C的标准方程；的标准方程；(2)直线直线l：(0)ykxm m=+与椭圆与椭圆C交于交于 P，Q 两点，且两点，且 P，Q 关于原点的对称点分别为关于原点的对称点分别为 M，N，若，若22OPOQ+是一个与是一个与m无关的常数，则当四边形无关的常数，则当四边形PQMN面积最大时，求直线面积最大时，求直线l的方程的方程.第1页 学科网（北京）股份有限公司期初模拟考试期初模拟考试 一选择题一选择题1若集合若集合，Ny|y3x2+1，则，则 MN（）A0，+）B0，1 C4，+）D1，+）【解答
13、】解：由 x40，得 x4，故 M4，+），由 y3x2+1，得 y1，故 N1，+），故 MN1，+）故选：D 2已知复数已知复数 z 满足满足 z（1i）|1+i|2，则，则 z（）A1i B1+i C1i D1+i【解答】解：z（1i）|1+i|2（）22，z1+i 故选：B 3已知等比数列已知等比数列an的公比为的公比为 q，若，若 a1+a212，且，且 a1，a2+6，a3成等差数列，则成等差数列，则 q（）A B C3 D3【解答】解：a1，a2+6，a3成等差数列，2（a2+6）a1+a3，又 a1+a212，2（12a1+6）a1+a3，整理可得：，解得：q0（舍）或 q3
14、故选：C 4已知已知，则，则 sin sin（）ABCD【解答】解：cos（）coscos+sinsin，cos（+）coscossinsin，两式相减得 sinsin 故选：B 第2页 学科网（北京）股份有限公司 5.已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为，则圆锥的高为（，则圆锥的高为（）A B C D【解答】解：设圆锥的底面半径为 r，母线为 l，高为 h，圆锥的轴截面为正三角形，l2r，hr，依题意，得r2hr2r，r3，h3 故选：D 6函数函数 f（x）（）（1）sinx 的图象的大致形状是（的图象的大致形状是（）A B C D【解答】解：f（x）sin
15、x，则 f（x）sin（x）（sinx）sinxf（x），则函数 f（x）是偶函数，图象关于 y 轴对称，排除 C，D，当 x0，且 x0，f（x）0，排除 B，故选：A 7某罐中装有大小和质地相同的某罐中装有大小和质地相同的 4 个红球和个红球和 3 个绿球，每次不放回地随机摸出个绿球，每次不放回地随机摸出 1 个球记个球记 R1“第一次“第一次摸球时摸到红球”，摸球时摸到红球”，G1“第一次摸球时摸到绿球”，“第一次摸球时摸到绿球”，R2“第二次摸球时摸到红球”，“第二次摸球时摸到红球”，G2“第二次摸球“第二次摸球时摸到绿球”，时摸到绿球”，R“两次都摸到红球”，“两次都摸到红球”，G“
16、两次都摸到绿球”，则下列说法中正确的是（“两次都摸到绿球”，则下列说法中正确的是（）AP（R）P（R1）P（R2）BP（G）P（G1）+P（G2）C DP（G2|G1）+P（G1|G2）1【解答】解：对于 A，因为 RR1R2，R1，R2不相互独立，所以 P（R）P（R1）P（R2），故 A 错 第3页 学科网（北京）股份有限公司 误；对于 B，因为，所以 P（G）P（G1）+P（G2），故 B 错误；对于 C，故 C 正确；对于D，则，故 D 错误 故选：C 8纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮
17、行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向研它使用存储在电池中的电来发动因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898 年年 Peukert 提出铅酸电池的容量提出铅酸电池的容量 C、放电时间、放电时间 t 和放和放电电流电电流 I 之间关系的经验公式：之间关系的经验公式：CI t，其中，其中 为与蓄电池结构有关的常数（称为为与蓄电池结构有关的常数（称为 Peukert 常数），在电常数），在电池容量不变的条件下，
18、当放电电流为池容量不变的条件下，当放电电流为 7.5A 时，放电时间为时，放电时间为 60h；当放电电流为；当放电电流为 25A 时，放电时间为时，放电时间为 15h，则该蓄电池的则该蓄电池的 Peukert 常数常数 约为（参考数据：约为（参考数据：lg20.301，lg30.477）（）（）A1.12 B1.13 C1.14 D1.15【解答】解：由题意可得，所以 607.51525，所以（），则有，则 1.15 故选：D 二多选题二多选题 第4页 学科网（北京）股份有限公司（多选）（多选）9若正数若正数 a，b 满足满足 a+b1，则（，则（）Alog2a+log2b2 B Ca+lnb
19、0 D【解答】解：因为正数 a，b 满足 a+b1，所以 ab，当且仅当 ab时取等号，所以 log2a+log2blog2ablog22，A 正确；22，当且仅当 ab时取等号，B 正确；a+lnb1b+lnb，0b1，令 f（x）1x+lnx，0 x1，则0，故 f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）f（1）0，所以 1x+lnx0，所以 1b+lnb0，即 a+lnb0，C 正确；因为，当且仅当 ab时取等号，D 错误 故选：ABC（多选）（多选）10已知函数已知函数，则下列结论正确的是（，则下列结论正确的是（）A函数函数 f（x）的单调递增区间是）的单调递增区间是1，+）B不等式不等
20、式 f（x）1 的解集是（的解集是（1，3）C函数函数 f（x）的图象关于）的图象关于 x1 对称对称 D函数函数 f（x）的值域是）的值域是 R【解答】解：对 A：令 x22x0，解得 x2 或 x0，故 f（x）的定义域为 I（，0）（2，+），ylog3u 在定义域内单调递增，ux22x 在（，0）上单调递减，在（2，+）上单调递增，故 f（x）在（，0）上单调递减，在（2，+）上单调递增，A 错误；对 B：，且 ylog3x 在定义域内单调递增，可得 0 x22x3，解得 2x3 或1x0，故不等式 f（x）1 的解集是（1，0）（2，3），B 错误 第5页 学科网（北京）股份有限公司
21、 对 C：，即 f（2x）f（x），故函数 f（x）的图象关于 x1 对称，C 正确；对 D：x22x（x1）211，即 yx22x 的值域 M1，+），（0，+）M，故函数 f（x）的值域是 R，D 正确 故选：CD（多选）（多选）11棱长为棱长为 2 的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E 为棱为棱 DD1的中点，的中点，F 为正方形为正方形 C1CDD1内一个内一个动点（包括边界），且动点（包括边界），且 B1F平面平面 A1BE，则下列说法正确的有（，则下列说法正确的有（）A动点动点 F 轨迹的长度为轨迹的长度为 B三棱锥三棱锥 B1D1EF 体积的最小值为体积的最小值为
22、CB1F 与与 A1B 不可能垂直不可能垂直 D当三棱锥当三棱锥 B1D1DF 的体积最大时，其外接球的表面积为的体积最大时，其外接球的表面积为【解答】解：对 A 选项，如图，分别取 C1D1，CC1的中点 G，H，则易知 HGCD1BA1，B1HA1E，且 HGB1HH，可得平面 B1GH平面 A1BE，当 F 为 GH 上的点时，B1F平面 A1BE，动点 F 轨迹为线段 GH，又易知 GHD1C，A 选项正确；对 B 选项，由 A 选项分析可知，当 F 与 G 点重合时，EFD1的面积取得最小值为，三棱锥 B1EFD1的体积的最小值为，即三棱锥 B1D1EF 的体积的最小值为，B 选项正
23、确；对 C 选项，由 A 选项分析可知 A1BGH，又易知 B1GB1F，当 F 为 GH 的中点时，B1FGH，即 B1FA1B，C 选项错误；对 D 选项，根据 A 选项分析可知，当 F 为 CC1的中点时，D1DF 的面积最大，第6页 学科网（北京）股份有限公司 从而可得三棱锥 B1D1DF 的体积最大，如图，取 B1D 的中点 H，连接 HF，则易证 HFAC，且 HFAC，又易证 AC平面 BDD1B1，HF平面 BDD1B1，又 H 到 D，D1，B1三点的距离相等，直线 HF 上的点到 D，D1，B1三点的距离也相等，在 FH 的延长线上取点 O，使得 OFOD1，则 O 即为三
24、棱锥 B1D1DF 的外接球的球心，设三棱锥 B1D1DF 的外接球的半径为 R，则 ROFOD1，又易知 D1HBD1，在 RtOD1H 中，由勾股定理可得，解得 R，当三棱锥 B1D1DF 的体积最大时，其外接球的表面积为 4R2，D 选项正确 故选：ABD 三填空题三填空题 12.已知平面向量已知平面向量，若，若，则，则 【解答】解：根据题意，平面向量，若，则，解得 k2，故，所以 故答案为：13.在在 2024 年巴黎奥运会志愿者活动中，甲、乙、丙、丁年巴黎奥运会志愿者活动中，甲、乙、丙、丁 4 人要参与到人要参与到 A，B，C 三个项目的志愿者工作三个项目的志愿者工作中，每个项目必须
25、有志愿者参加，每个志愿者只能参加一个项目，若甲只能参加中，每个项目必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一个项目，若甲只能参加 C 项目，那么不同的项目，那么不同的志愿者分配方案共有志愿者分配方案共有 种（用数字表示）种（用数字表示）【解答】解：根据题意，分 2 种情况讨论：只有甲 1 人参加 C 项目，将其他 3 人分成 2 组，有种分组方法，第7页 学科网（北京）股份有限公司 将分好的 2 组全排列，对应 AB 两个项目，有2 种情况，则此时有 326 种分配方案；甲和另外 1 人参加 C 项目，在乙、丙、丁中任选 1 人，有种选法，将其他 2 人全排列，对应 AB 两个项目，有2 种情况，
26、则此时有 326 种分配方案；则一共有 6+612 种不同的分配方案 故答案为：12 14.某个体户计划同时销售某个体户计划同时销售 A，B 两种商品，当投资额为两种商品，当投资额为 x（x0）千元时，在销售）千元时，在销售 A，B 商品中所获收益商品中所获收益分别为分别为 f（x）千元与）千元与 g（x）千元，其中）千元，其中 f（x）2x，g（x）4ln（2x+1），如果该个体户准备共投入），如果该个体户准备共投入 5千元销售千元销售 A，B 两种商品，为使总收益最大，则两种商品，为使总收益最大，则 B 商品需投商品需投 千元千元【解答】解：设 B 商品需投 x 千元（0 x5），则 A
27、商品为（5x）千元，则：F（x）4ln（2x+1）+2（5x）4ln（2x+1）2x+10，x0，5，所以 F（x），当 0 x1.5 时，F（x）0，函数 F（x）在0，1.5）上单调递增，当 1.5x5 时，F（x）0，函数 F（x）在（1.5，5上单调递减，所以 F（x）maxF（1.5）4ln4+7，所以当 B 商品投入 1.5 千元时，总收益最大 故答案为：1.5 四解答题四解答题 15已知已知ABC 的内角的内角 A，B，C 所对边分别为所对边分别为 a，b，c，且，且 b2，a2（c1）2+3（1）求）求 A；（2）若）若4，求，求 cosC 的值的值【解答】解：（1）由 a2（
28、c1）2+3得 a2c22c+4，又 b2，得 cosA，又因为 0A，所以 A；（2）4，2，在ABC 中，由正弦定理得 第8页 学科网（北京）股份有限公司，解得 sinB，由 A，得 B，所以 B，因为在ABC 中，A+B+C，所以 cosCcos（A+B）sinAsinBcosAcosB 16在四棱锥在四棱锥 PABCD 中，底面中，底面 ABCD 是边长为是边长为 2 的正方形，的正方形，PCPD，二面，二面角角 ACDP 为直二面角为直二面角（1）求证：）求证：PBPD；（2）当）当 PCPD 时，求直线时，求直线 PC 与平面与平面 PAB 所成角的正弦值所成角的正弦值【解答】解：
29、（1）证明：由于底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，则 BCCD，由于二面角 ACDP 为直二面角，则 BC平面 PCD，由于 PD平面 PCD，则 PDBC，又 PCPD，PCBCC，PC、BC平面 PBC，则 PD平面 PBC，由于 PB平面 PBC，则 PBPD（2）取 CD 中点 F，连 PF、BF，由 PCPD 知 PFCD，由于二面角 ACDP 为直二面角，则 PF平面 ABC，于是 PFBF，由于底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，则 PF，BF，于 是PB，同 理PA，于 是，又，设 C 到平面 PAB 距离为 d，则由 VPABCVCPAB得：，于是解得：d，故直线
30、PC 与平面 PAB 所成角的正弦值为：17无人机已广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域无人机已广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域（1）消防员甲操纵某一品牌的无人机在不同的气候中进行了投弹试验，结果见下表）消防员甲操纵某一品牌的无人机在不同的气候中进行了投弹试验，结果见下表.是否有是否有 99.9%的把的把握认为握认为消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候有关消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候有关.晴天晴天 雨天雨天 命中命中 45 30 第9页 学科网（北京）股份有限公司 不命中不命中 5 20 附：附：其中其中 na+b+c+d 0.15 0.10 0.05 0.010
31、0.001 x 2.072 2.706 3.841 6.635 10.828（2）某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员乙操控无人机对同一目）某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员乙操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目，每次投弹是否击中目标相互独立 无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为标相互独立 无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目
32、标三次起火点必定被扑灭击中目标三次起火点必定被扑灭（i）求起火点被无人机击中次数）求起火点被无人机击中次数 X 的分布列及数学期望；的分布列及数学期望；（ii）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率【解答】解：（1）零假设 H0：消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候无关，22 列联表如下：晴天 雨天 合计 命中 45 30 75 不命中 5 20 25 合计 50 50 100，根据小概率值 0.001 的独立性检验，零假设 H0不成立，消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候有关（2）（i）起火点被无人机击中次数 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，X 的分
33、布列如下：X 0 1 2 3 第10页 学科网（北京）股份有限公司 P ，（ii）击中一次被扑灭的概率为，击中两次被火扑灭的概率为，击中三次被火扑灭的概率为，所求概率 18已知函数已知函数 f（x）a（x1）lnx（a R）（1）求函数）求函数 f（x）的单调区间；）的单调区间；（2）若）若 f（x）0 恒成立，求实数恒成立，求实数 a 的取值集合的取值集合【解答】解：（1）由题意得：f（x）定义域为（0，+），则，当 a0 时，f（x）0，则 f（x）单调递减区间为（0，+），无单调递增区间；当 a0 时，令 f（x）0，解得，当时，f（x）0；当时，f（x）0，f（x）的单调递增区间为；单
34、调递减区间为；综上所述：当 a0 时，则 f（x）的单调递减区间为（0，+），无单调递增区间；当 a0 时，f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为；（2）当 a0 时，f（2）aln20，不合题意；当 a0 时，由（1）知；则 1a+lna0；令 g（a）1a+lna，则，当 a（0，1）时，g（a）0；当 a（1，+）时，g（a）0；g（a）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，g（a）maxg（1）0，第11页 学科网（北京）股份有限公司 实数 a 的取值集合为1 19.已知椭圆已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的离心率为的离心率为12，左，左右焦点分别为右焦点分别为
35、1F，2F，上，上下顶点分别为下顶点分别为1A，2A，且四边形且四边形1122AF A F的面积为的面积为2 3.(1)求椭圆求椭圆C的标准方程；的标准方程；(2)直线直线l：(0)ykxm m=+与椭圆与椭圆C交于交于 P，Q 两点，且两点，且 P，Q 关于原点的对称点分别为关于原点的对称点分别为 M，N，若，若22OPOQ+是一个与是一个与m无关的常数，则当四边形无关的常数，则当四边形PQMN面积最大时，求直线面积最大时，求直线l的方程的方程.【详解】（1）12cea=，1 12212222 32A F A FScbbc=四边形，所以3bc=，因为 a2b2+c2，所以 a2，3b=，c1
36、，所以椭圆方程为22143xy+=（2）如图，设 P（x1，y1），Q（x2，y2），()()22222222221122112233|3344OPOQxyxyxxxx+=+=+()(2221212121166)244xxxxx x=+=+，联立22143ykxmxy=+=，消去 y 整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2120，（8km）24（4m212）（3+4k2）0，即 m23+4k2，所以122834kmxxk+=+，212241234mx xk=+.，22222218824|6)43434kmmOPOQkk+=+2222221 3224967264(34)k mmkk+=+，因为|OP|2+|OQ|2是一个与 m 无关的常数，所以 32k2240，234k=，32k=，1243kmxx+=，212263mx x=，222222221212168242441()411933k mmmPQkxxx xkk=+=+=+第12页 学科网（北京）股份有限公司点 O 到直线 l 的距离21Omdk=+，所以2221613632333POQOmSPQ dmmm=，当且仅当226mm=，即 m23，因为 m0，所以3m=时，取得最大值为3，因为 S四边形MNPQ4SPOQ，所以 SPOQ最大时，S四边形MNPQ最大，所以332lyx=+：或332yx=+
