1、2.3.2 双曲线的几何性质学习目标：1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2. 理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程(重点)3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题(难点)自 主 预 习探 新 知1双曲线的几何性质标准方程 1(a0，b0)x2a2 y2b2 1(a0，b0)y2a2 x2b2图形焦点 (c, 0)，(c,0) (0，c )，(0，c)焦距 2c性质范围 xa 或 xa，yR ya 或 ya，xR对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点 A1( a,0)，A 2(a,0) A1(0， a)，A 2(0，a)轴实轴：线段 A1A2，长：2a
2、；虚轴：线段 B1B2，长：2b；半实轴长：a，半虚轴长：b离心率 e (1，)ca性质渐近线 y xbay xab思考 1：能否用 a，b 表示双曲线的离心率？提示 e .ca a2 b2a 1 b2a2思考 2：离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？提示 有影响，因为 e ，故当 的值越大，渐近线ca a2 b2a 1 b2a2 bay x 的斜率越大，双曲线的开口越大， e 也越大，所以 e 反映了双曲线开口的ba大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大2等轴双曲线实轴和虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是 yx ，离心率 e.2基础自测1思考辨析(1)双曲线方程 (
3、m0，n0 ，0)的渐近线方程是 0，即x2m2 y2n2 x2m2 y2n2 0.( )xmyn(2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 .( )2(3)若双曲线 1(a0，b0) 与 1(a0，b0)的离心率分别是x2a2 y2b2 x2b2 y2a2e1，e 2，则 1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线). ( )1e21 1e2提示 (1) (2) (3)2下列双曲线中，渐近线方程为 y2x 的是( )Ax 2 1 B y 21y24 x24Cx 2 1 D y 21y22 x22A 由双曲线渐近线方程的求法知：双曲线 x2 1 的渐近线方程为y24y2x ，故选 A.3已知双曲线
4、 C： 1 的离心率 e ，且其右焦点为 F2(5,0)，则双x2a2 y2b2 54曲线 C 的方程为( )【导学号：33242160】A 1 B 1x24 y23 x29 y216C 1 D 1x216 y29 x23 y24C e ，F 2(5,0)，ca 54c5，a 4，b 2c 2a 29，双曲线 C 的标准方程为 1.x216 y294已知双曲线的渐近线方程是 y4x，则其离心率为_或 若双曲线焦点在 x 轴上，依题意得， 4，17174 ba 16，即 16 ，e 217，e .b2a2 c2 a2a2 17若双曲线焦点在 y 轴上，依题意得， 4.ab ， ，即 .ba 14
5、 b2a2 116 c2 a2a2 116e 2 ，故 e ，1716 174即双曲线的离心率是 或 .17174合 作 探 究攻 重 难d已知双曲线的标准方程求其简单几何性质求双曲线 nx2my 2mn(m0，n0) 的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程. 【导学号：33242161】解 把方程 nx2my 2mn(m0，n0) 化为标准方程为 1( m0，n0)，由此可知，实半轴长 a ，x2m y2n m虚半轴长 b ，c ，n m n焦点坐标为( ，0)，( ，0)，m n m n离心率 e ，ca m nm 1 nm顶点坐标为( ，0)，( ，0)，m m所以
6、渐近线方程为 y x，nm即 y x.mnm规律方法 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键.(2)由标准方程确定焦点位置，确定 a，b 的值.(3)由 c2a 2b 2 求出 c 的值，从而写出双曲线的几何性质 .跟踪训练1求双曲线 9y24x 2 36 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程解 双曲线的方程化为标准形式是 1，x29 y24a 29，b 24，a3，b2，c .13又双曲线的焦点在 x 轴上，顶点坐标为(3,0) ，(3,0)，焦点坐标为( ，0)，( ，0)，13 13实轴长 2a6，虚轴长 2b4，离心率 e
7、 ，渐近线方程为 y x.ca 133 23由双曲线的几何性质确定标准方程求适合下列条件的双曲线标准方程(1)虚轴长为 12，离心率为 ；54(2)顶点间距离为 6，渐近线方程为 y x；32(3)求与双曲线 x22y 22 有公共渐近线，且过点 M(2，2)的双曲线方程. 【导学号：33242162】思路探究 分 析 双 曲 线的 几 何 性 质 求 a，b，c 确 定 讨 论 焦 点 位 置 求 双 曲 线 的标 准 方 程解 (1)设双曲线的标准方程为 1 或 1(a0，b0)x2a2 y2b2 y2a2 x2b2由题知 2b12， 且 c2a 2b 2，ca 54b6，c 10，a8，
8、标准方程为 1 或 1.x264 y236 y264 x236(2)法一：当焦点在 x 轴上时，由 且 a3，ba 32b .92所求双曲线方程为 1.x29 4y281当焦点在 y 轴上时，由 且 a3，ab 32b2.所求双曲线方程为 1.y29 x24法二：设以 y x 为渐近线的双曲线方程为32 ( 0)，x24 y29当 0 时，a 24 ，2a2 6 ，494当 0 ，b0).x2a2 y2b2焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为 1(a0 ，b0).y2a2 x2b2与双曲线 1 共焦点的双曲线方程可设为x2a2 y2b2 1(0， b2 a 2)，x2a2 y2b2 与双曲
9、线 1 具有相同渐近线的双曲线方程可设为 (0).x2a2 y2b2 x2a2 y2b2渐近线为 ykx 的双曲线方程可设为 k2x2y 2(0).渐近线为 axby0 的双曲线方程可设为 a2x2b 2y2(0).提醒：利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数 a，b，c 的方程并求出 a，b，c 的值.跟踪训练2求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0,13) ，且离心率为 ；135(2)渐近线方程为 y x，且经过点 A(2，3)12解 (1)依题意可知，双曲线的焦点在 y 轴上，且 c13，又 ，ca 135a5，b 2
10、c 2a 2144 ，故其标准方程为 1.y225 x2144(2)双曲线的渐近线方程为 y x，12若焦点在 x 轴上，设所求双曲线的标准方程为 1(a0，b0)，则x2a2 y2b2 . ba 12A(2，3)在双曲线上， 1. 4a2 9b2由联立，无解若焦点在 y 轴上，设所求双曲线的标准方程为 1(a0，b0)，则y2a2 x2b2 . ab 12A(2，3)在双曲线上， 1. 9a2 4b2由联立，解得 a28，b 232.所求双曲线的标准方程为 1.y28 x232直线与双曲线的位置关系已知双曲线 x2y 24，直线 l：ykx 1，试讨论满足下列条件的实数 k 的取值范围(1)
11、直线 l 与双曲线有两个公共点；(2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线 l 与双曲线没有公共点【导学号：33242163】解 由Error!得(1 k2)x22kx50. (1)直线与双曲线有两个公共点，则式方程有两个不相等的根Error!解得 .( 52， 1) ( 1，1) (1，52)(2)直线与双曲线只有一个公共点，则式方程只有一解当 1k 20，即 k1 时，式方程只有一解；当 1k 20 时，应满足 4k 220(1 k 2)0，解得 k ，52故 k 的值为1 或 .52(3)直线与双曲线没有公共点，则式方程无解Error!解得 k 或 k0直线与双曲线有两个交点
12、，称直线与双曲线相交；0直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切； 时，直线 l 只与双曲线一支相交，交点有两个；如图，0)与直线 l：xy1 相交于 A，B 两个不x2a2同的点求双曲线的离心率 e 的取值范围；设直线 l 与 y 轴的交点为 P，且 ，求 a 的值PA 512PB (2)已知过点 P(1,1)的直线 l 与双曲线 x2 1 只有一个公共点，试探究直y24线 l 的斜率 k 的取值解 (1)由Error!得(1 a2)x22a 2x2a 20， (*)由题意得Error!得 0a 且 a1.又双曲线的离心率2e ，1 a2a 1a2 1e 且 e .62 2设 A(x1，y
13、 1)，B(x 2，y 2)，易知 P(0,1)， ，PA 512PB (x 1，y 11) (x2，y 2 1)，512故 x1 x2.512又 x1，x 2 是方程(*)的两个根， x2 ， x .1712 2a21 a2 5122 2a21 a2又 a0，a .1713(2)设直线 l 的斜率为 k，则 l：yk(x1) 1，代入双曲线方程得 (4k 2)x2(2k2k 2)xk 22k50.若 4k 20，即 k2，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；若 4k 20，则 (2 k 2k2)24(4k 2)(k 22k5)0，解得 k .52综上可得，直线 l 的斜
14、率 k 的取值为 或2.52与双曲线有关的综合问题探究问题1直线与双曲线的弦长问题，应如何解答？提示 设直线与双曲线相交所得弦 AB 端点的坐标分别为 A(x1，y 1)，B(x2，y 2)，直线 AB 的斜率为 k，则|AB| |x1x 2| 1 k2 1 k2.涉及弦长的问题，常常设而不求x1 x22 4x1x22直线与双曲线相交，直线斜率与弦中点有何关系？提示 设 A(x1，y 1)，B (x2，y 2)是双曲线 1(a0，b0)上不同的x2a2 y2b2两点，且 x1 x2，x 1x 20，M(x 0，y 0)为线段 AB 的中点，则Error!两式相减可得 ，即 kAB .y1 y2
15、x1 x2y1 y2x1 x2 b2a2 y0x0 b2a2斜率为 2 的直线 l 在双曲线 1 上截得的弦长为 ，求 l 的x23 y22 6方程. 【导学号：33242164】思路探究 设出直线方程，与双曲线联立消元后利用弦长公式求解解 设直线 l 的方程为 y2xb 与 1 联立x23 y22消 y 得 10x212bx3b 260设直线 l 与双曲线 0 的交点为 A(x1，y 1)， B(x2，y 2)x23 y22由根与系数的关系得Error!|AB| 1 4 x1 x22 4x1x2 5(3625b2 6b2 125 ) 6b2 605 6解得 b .15直线 l 的方程为 y2
16、x .15母题探究：1.(变换条件) 求斜率为 2 的直线 l 与双曲线 1 相交时，x23 y22其弦中点的轨迹方程解 设直线 l 与双曲线的交点为 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点为P(x0，y 0)，则 x0 ，y 0 ，x1 x22 y1 y22则Error!两式相减得 .y1 y2x1 x2y1 y2x1 x2 23即 .yx 13所以弦中点的轨迹方程为 x3y 0.2(变换条件) 若直线 l 与本例中的双曲线相交，求以点 P(3,1)为中点的直线 l 的方程解 设直线 l 与双曲线交点为 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1x 26，y 1y 2
17、2，由Error!两式相减得 ，y1 y2x1 x2y1 y2x1 x2 23直线 l 的斜率 k2，直线 l 的方程为 y12(x 3)，即 2xy50.规律方法 (1)求弦长的两种方法距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长.弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线 l：ykx b(k0)与双曲线 C： 1(a0，b0) 交于 A(x1，y 1)，x2a2 y2b2B(x2，y 2)两点，则|AB | |x1x 2| |y1y 2|.1 k21 1k2(2)中点弦问题与弦中点有关的问题主要用点差法，根与系数的关系解决.另外
18、，要注意灵活转化，如垂直、相等等问题也可以转化成中点、弦长等问题解决.提醒：若直线方程涉及斜率，要注意讨论斜率不存在的情况.当 堂 达 标固 双 基1若 00)的左右焦点分别为 F1、F 2，其一条渐近线方x22 y2b2程为 yx，点 P( ，y 0)在该双曲线上，则 ( ) 3 PF1 PF2 【导学号：33242165】A12 B2C0 D4C 由题意得 b22，F 1(2,0)，F 2(2,0)，又点 P( ，y 0)在双曲线上，3y 1，20 ( 2 ， y0)(2 ，y 0)1y 0，故选 C.PF1 PF2 3 3 203双曲线虚轴的一个端点为 M，两个焦点为 F1、F 2，F
19、1MF2120 ，则双曲线的离心率为( )A. B362C. D63 33B 设双曲线方程为 1(a0，b0)x2a2 y2b2MF 1F2 为等腰三角形，F 1MF2120，MF 1F230，tan 30 ， ，bc 33 b2c2 131 ， ，e .c2 a2c2 (ac)2 13 (ca)2 32 624与双曲线 x2 1 有共同的渐近线，且过点 (2,2)的双曲线的标准方程y24是_. 【导学号：33242166】 1 依题意设双曲线的方程为 x2 ( 0) ，x23 y212 y24将点(2,2)代入求得 3，所以所求双曲线的标准方程为 1.x23 y2125过双曲线 1(a0，b
20、0) 的右焦点 F(2 ，0)作双曲线的一条渐近x2a2 y2b2 2线的垂线，与该渐近线交于点 P，且 6，求双曲线的方程OF FP 解 法一：设双曲线的一条渐近线方程为 y x，ba则过 F 且与其垂直的直线方程为 y (x2 )ab 2由Error!可得点 P 的坐标为 .(a222，ab22) ，FP (a222 22，ab22) (2 ，0) 6.OF FP 2 (a222 22，ab22)解得 a22，b 2c 2a 2(2 )226，2双曲线方程为 1.x22 y26法二：设双曲线的一条渐近线方程为 y x，ba点 P 在双曲线的渐近线上，故设其坐标为 (x，bax) ， (2 ，0)FP (x 22，bax) OF 2由 6 得 2 (x2 )6，即 x .OF FP 2 2 22又由 0，得 x(x2 ) 0，OP FP 2 (bax)2 代入 x ，得 3.22 (ba)2 而 a2b 2(2 )28，2a 22，b 26.双曲线方程为 1.x22 y26
