1、2.2.2 椭圆的几何性质 (二)学习目标：1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识( 重点、难点)自 主 预 习探 新 知1点与椭圆的位置关系设 P(x0，y 0)，椭圆 1(ab0)，则点 P 与椭圆的位置关系如下所x2a2 y2b2示：(1)点 P(x0，y 0)在椭圆内 1.x20a2 y20b2(2)点 P(x0，y 0)在椭圆上 1.x20a2 y20b2(3)点 P(x0，y 0)在椭圆外 1.x20a2 y20b22直线与椭圆的位置关系(1)判断直线和椭圆位置关系的方法将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程若 0，则直线
2、和椭圆相交；若 0，则直线和椭圆相切；若 b0) 相交，两个x2a2 y2b2交点为 A(x1，y 1)、B(x 2， y2)，则线段 AB 叫做直线 l 截椭圆所得的弦，线段 AB的长度叫做弦长下面我们推导弦长公式：由两点间的距离公式，得|AB| ，将 y1kx 1m，y 2kx 2 m 代入上式，得|AB|x1 x22 y1 y22 |x1x 2|，而x1 x22 kx1 kx22 x1 x22 k2x1 x22 1 k2|x1 x2| ，所以|AB| ，其中x1 x22 4x1x2 1 k2 x1 x22 4x1x2x1x 2 与 x1x2 均可由根与系数的关系得到(3)直线和椭圆相交是
3、三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用 0.例如，直线 l：yk (x2)1 和椭圆 1.无论 k 取何值，直线 l 恒过x216 y29定点(2,1)，而定点 (2,1)在椭圆内部，所以直线 l 必与椭圆相交思考：直线和椭圆有公共点，联立直线与椭圆的方程组消去 y 后，推导出的弦长公式是什么？提示 |AB| |y1y 2|.x1 x22 y1 y221 1k2基础自测1思考辨析(1)点 P(1,2)在椭圆 1 上( )x24 y22(2)直线 l：kxyk 0 与椭圆 1 相交( )x24 y22(3)若直线 ykx2 与椭圆 1 相切，则 k .( )x23 y22 63提示 (
4、1) 在椭圆外(2) (3)2已知点(3,2) 在椭圆 1 上，则( )x2a2 y2b2【导学号：33242136】A点(3，2) 不在椭圆B点 (3，2)不在椭圆上C点 (3,2)在椭圆上D无法判断点(3，2)、(3，2) 、(3,2)是否在椭圆上C (3,2)与(3,2) 关于 y 轴对称，由椭圆的对称性可知，选 C.3经过椭圆 1(ab0)的焦点且垂直于椭圆长轴所截得的弦长为x2a2 y2b2_答案 2b2a合 作 探 究攻 重 难点直线与椭圆的位置关系(1)已知点 p(k,1)在椭圆 1 外，则实数 k 的取值范围为x29 y24_(2)已知椭圆 4x2y 21 及直线 yxm，当直
5、线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围；当 m1 时，求直线与椭圆的相交弦长；求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程解 (1)由题意知 1，k29 14解得 k 或 k332 332所以 k 的取值范围为 ( ， 332) (332， )(2)联立Error! 消去 y 得 5x22mxm 210.(*)因为直线和椭圆有公共点，4m 245(m 21) 0，即 m2 ， m .54 52 52所以 m 的取值范围为 . 52，52设交点为 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立Error!得 5x22x 0.由题意得 0，由根与系数的关系得 x1 x2 ，x 1x20，25则弦长 |
6、x1x 2| 1 k2 1 1 x1 x22 4x1x2 .225 225(3)设交点为 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，对于*式，由根与系数的关系得 x1 x2 ，x 1x2 ，2m5 m2 15则弦长 |x1x 2| .1 k2 1 1 x1 x22 4x1x2225 5 4m2由上式可知，当 m0 时，弦最长此最长弦所在的直线的方程为 yx，即 xy0.规律方法 (1)有关直线与椭圆的位置关系问题通常有两类问题：一是判断位置关系，二是依据位置关系确定参数的值或取值范围，两类问题在解决方法上是一致的，都是要将直线方程和椭圆方程联立，利用一元二次方程根的判别式和根与系数的关系求解(
7、2)在弦长公式|AB| |x1x 2| |y1y 2|中，k 为直线的斜率，在1 k21 1k2计算| x1x 2|或|y 1y 2|时，一定要注意“整体代入” 这种设而不求的思想，即利用根与系数的关系，得到|x 1x 2| 或| y1y 2|(x1 x2)2 4x1x2整体代入求解(y1 y2)2 4y1y2跟踪训练1已知直线 l：y2x m ，椭圆 C： 1，试问当 m 取何值时，直x24 y22线 l 与椭圆 C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)没有公共点解 直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，得方程组：Error!消去 y，得：9x28mx2m 240，
8、 方程的判别式 (8m) 249(2m 24) 8m 2144，(1)当 0，即3 3 时，方程没有实数根，可知原方程组2 2没有实数解，这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点.弦长及弦中点问题已知椭圆 1 的弦 AB 的中点 M 的坐标为(2,1)，求直线 ABx216 y24的方程【导学号：33242137】思路探究 利用中点公式或点差法可求解直线的斜率 k.解 法一：由椭圆的对称性，知直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 y1k(x2)将其代入椭圆方程并整理，得(4k 21)x 28(2k 2k )x4(2k1) 2160.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1，
9、x 2 是上述方程的两根，于是 x1x 2 .82k2 k4k2 1又 M 为线段 AB 的中点， 2，x1 x22 42k2 k4k2 1解得 k .12故所求直线的方程为 x 2y40.法二：点差法设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，x 1x 2.M(2,1)为线段 AB 的中点，x 1x 24，y 1y 22.又 A，B 两点在椭圆上，则 x 4y 16，x 4y 16，21 21 2 2两式相减，得(x x )4(y y )0，21 2 21 2于是(x 1x 2)(x1x 2)4( y1y 2)(y1y 2)0. y1 y2x1 x2 x1 x24y1 y2 ，442 12
10、即 kAB .12故所求直线的方程为 x 2y40.法三：对称点法(或共线法)设所求直线与椭圆的一个交点为 A(x，y)，由于点 M(2,1)为线段 AB 的中点，则另一个交点为 B(4x, 2y)A，B 两点都在椭圆上，Error!，得 x2y 40.即点 A 的坐标满足这个方程，根据对称性，点 B 的坐标也满足这个方程，而过 A，B 两点的直线只有一条，故所求直线的方程为 x2y 40.规律方法 直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式 .解决弦长问题，一般应用弦长公式.而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不
11、求”，可大大简化运算过程.跟踪训练2已知椭圆 1 和点 P(4,2)，直线 l 经过点 P 且与椭圆交于 A、B 两x236 y29点(1)当直线 l 的斜率为 时，求线段 AB 的长度；12(2)当点 P 恰好为线段 AB 的中点时，求 l 的方程解 (1)由已知可得直线 l 的方程为 y2 (x4)，12即 y x.12由Error!消去 y 可得 x2180，若设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)则 x1x 20，x 1x218.于是|AB| x1 x22 y1 y22x1 x22 14x1 x2252 x1 x22 4x1x2 6 3 .52 2 10所以线段 AB 的长度为
12、3 .10(2)法一：当直线 l 的斜率不存在时，不合题意设 l 的斜率为 k，则其方程为 y2k(x4)联立Error!消去 y 得(14k 2)x2(32k 216k )x(64k 264k 20)0.若设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1x 2 ，32k2 16k1 4k2由于 AB 的中点恰好为 P(4,2)，所以 4，x1 x22 16k2 8k1 4k2解得 k ，且满足 0.12这时直线的方程为 y2 (x4)，12即 x2y80.法二：设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则有Error!两式相减得 0，x2 x2136 y2 y219整理得 kAB
13、，y2 y1x2 x1 9x2 x136y2 y1由于 P(4,2)是 AB 的中点，x 1x 28，y 1y 24，于是 kAB ，98364 12于是直线 AB 的方程为y2 (x 4)12即 x2y80.椭圆中的最值 (或范围)问题探究问题1求解椭圆的最值问题一般有哪两种方法？提示 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及其意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应椭圆的定义及对称知识求解(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的
14、最值常用方法有配方法、判别式法、重要不等式及函数的单调性法等2弦长公式是什么？提示 |AB| |x1 x2| |y1y 2|.1 k21 1k2在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 1(ab0)的离心率x2a2 y2b2e ，且点 P(2,1)在椭圆 C 上22(1)求椭圆 C 的方程；(2)若点 A，B 都在椭圆 C 上，且 AB 中点 M 在线段 OP(不包括端点)上求直线 AB 的斜率；求AOB 面积的最大值. 【导学号：33242138】思路探究 (1)首先求出椭圆方程 (2)求出直线 AB 的斜率，设出直线 AB的方程，求出AOB 的面积，用变量表示，根据重要不等式求出最值解 (
15、1)由题意得Error!Error!椭圆 C 的方程为 1.x26 y23(2)法一：设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，直线 AB 的斜率为 k，则Error! 0，x21 x26 y21 y23 k0.2x06 2y03又直线 OP：y x，M 在线段 OP 上，12y 0 x0，k1.12法二：设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，直线 AB 的方程为yy 0k( x x0)，则Error!(1 2k2)x24k(y 0kx 0)x2( y0kx 0)260.由题意，0，x 1x 2 ，4ky0 kx01 2k2x 0 .2k
16、y0 kx01 2k2又直线 OP：y x，M 在线段 OP 上，12y 0 x0， 1，k1.12 2k(12 k)1 2k2法三：设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，直线 AB 的方程为 ykxm ，则Error!(1 2k 2)x24kmx2m 260.由题意，0，x 1x 2 .4km1 2k2x 0 () 2km1 2k2又直线 OP：y x，M 在线段 OP 上，12y 0 x0( )，M 在直线 AB 上，12y 0kx 0m()解()()( )得 k1.设直线 AB 的方程为 yxm，m(0,3)则Error!3x 24mx 2m 260，Err
17、or!AB |x1x 2| ，1 12439 m2原点到直线的距离 d .|m|2S AOB ，12 439 m2|m|2 23 9 m2m2 322当且仅当 m (0,3)时，等号成立322AOB 面积的最大值为 .322规律方法 求最值问题的基本策略(1)求解形如|PA|PB |的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|PA| |PB|取得最值.(2)求解形如|PA|的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围.(3)求解形如 axby 的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决.(4)利用不等式，尤其是均值不等式求最值或取值范
18、围.跟踪训练3已知椭圆 C： 1(ab0)的离心率为 ，过点 M(1,0)的直线 lx2a2 y2b2 22交椭圆 C 于 A，B 两点，| MA| |MB|，且当直线 l 垂直于 x 轴时，|AB | .2(1)求椭圆 C 的方程；(2)若 ，求弦长|AB|的取值范围12，2解 (1)由已知 e ，得 ，22 ca 22当直线垂直于 x 轴时， |AB| ，2椭圆过点 ，(1，22)代入椭圆方程得 1，1a2 12b2又 a2b 2c 2，联立方程可得 a22，b 21，椭圆 C 的方程为 y 21.x22(2)当过点 M 的直线斜率为 0 时，点 A，B 分别为椭圆长轴的端点， 32 2
19、或 32 ，不符合题意|MA|MB| 2 12 1 2 |MA|MB| 2 12 1 2 12直线的斜率不能为 0.设直线方程为 xmy 1，A(x 1，y 1)，B (x2，y 2)，将直线方程代入椭圆方程得：(m 22)y 22my10，由根与系数的关系可得，Error!将式平方除以式可得： 2 ，y1y2 y2y1 4m2m2 2由已知|MA| |MB|可得， ，y1y2 2 ，1 4m2m2 2又知 ， 2 ，12，2 1 12，0 0，解得 m2 .12 4m2m2 2 0，27|AB|2(1m 2)|y1y 2|2(1m 2)(y1y 2)24y 1y28 (m2 1m2 2)2
20、8 ，(1 1m2 2)2 m 2 ， ，0，27 1m2 2 716，12|AB| .2，928当 堂 达 标固 双 基1若点 A(a,1)在椭圆 1 的内部，则 a 的取值范围是( ) x24 y22【导学号：33242139】A a Ba 或 a2 2 2 2C 2a2 D1a1答案 A2已知直线 l：xy 30，椭圆 y 21，则直线与椭圆的位置关系是( )x24A相交 B相切C相离 D相切或相交答案 C3过椭圆 y 21 的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于x24A，B 两点，则 |AB|等于( )A4 B2 C 1 D43 3C 因为 y 21 中 a24，b 21，x24所
21、以 c23，所以右焦点坐标 F( ，0) ，3将 x 代入 y 21 得，y ，故| AB|1.3x24 124已知直线与椭圆 4x2 9y236 相交于 A、B 两点，弦 AB 的中点坐标为M(1,1)，则直线 AB 的方程为 _4x9y130 法一：根据题意，易知直线 AB 的斜率存在，设通过点M(1,1)的直线 AB 的方程为 yk(x 1)1，代入椭圆方程，整理得(9k24)x 218k(1k )x9(1k) 2360.设 A，B 的横坐标分别为 x1，x 2，则 1，解得 k .x1 x22 9k1 k9k2 4 49故直线 AB 的方程为 y (x1)1，49即 4x9y130.法
22、二：设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，代入椭圆方程，得Error!，得 4(x1x 2)(x1x 2)9(y 1y 2)(y1y 2)0.M(1,1)为弦的中点，x 1x 22，y 1y 22.4(x 1x 2)9(y 1y 2)0.k AB .y1 y2x1 x2 49故直线 AB 的方程为 y1 (x1)，49即 4x9y130.5直线 l：ykx 1 与椭圆 y 21 交于 M，N 两点，且|MN| ，求x22 423直线 l 的方程. 【导学号：33242140】解 设直线 l 与椭圆的交点为 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)，由Error!消去 y 并化简，得(1 2k2)x24kx0，所以 x1x 2 ，x 1x20.4k1 2k2由|MN| ，得423(x1 x2)2(y 1y 2)2 ，329所以(1 k 2)(x1x 2)2 ，329所以(1 k 2)(x1x 2)24x 1x2 ，329即(1 k2) ，( 4k1 2k2)2 329化简得 k4k 220，所以 k21，所以 k1.所以所求直线 l 的方程是 yx 1 或 yx1.
