1、3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表,第三章 3.2 导数的运算,学习目标 1.能根据定义求函数yC，yx，yx2，y 的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 常数与幂函数的导数,思考1 利用导数的定义可以求得f(x)x2在xx0处的导数为f(x0)2x0.若把x0看成任意实数x，其导数是什么呢？,答案 f(x)2x.,思考2 用类似的方法，能否求出f(x)C，g(x)x的导数？,答案 f(x)0，g(x)1.,梳理,0,1,2x,知识点二 基本初等函数的导数公式表,0,nxn1,cos
2、x,sin x,axln a,ex,题型探究,类型一 利用导数公式求函数的导数,解答,例1 求下列函数的导数. (1)yx12；,解 y(x12)12x12112x11.,解答,ycos x.,解答,解 y(3x)3xln 3.,(5)y ；,(6)y3x.,反思与感悟 若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导.,跟踪训练1 给出下列结论： (cos x)sin x；,答案,3,解析,解析 因为(cos x)sin x，所以错误；,因为(2ex)2ex，所以正确；,因为(2x)2xln 2，所以错误.,类型二 导数公式的综
3、合应用,例2 已知点P(1,1)，点Q(2,4)是曲线yx2上两点，是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由.,解答,命题角度1 利用导数公式解决切线问题,解 因为y(x2)2x，假设存在与直线PQ垂直的切线.,即4x4y10.,引申探究 若本例条件不变，求与直线PQ平行的曲线yx2的切线方程.,解答,解 因为y(x2)2x，设切点为M(x0，y0)，,则 2x0.,反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用： (1)切点处的导数是切线的斜率. (2)切点在切线上. (3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.,跟踪训练2 已知两条曲线ysin x，ycos
4、 x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.,解答,解 设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直， 则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1 cos x0，k2 sin x0. 要使两切线垂直，必须有k1k2cos x0(sin x0)1， 即sin 2x02，这是不可能的. 所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直.,命题角度2 利用导数公式解决切点问题 例3 求抛物线yx2上的点到直线xy20的最短距离.,解答,解 依题意知，抛物线yx2与直线xy20平行的切线的切点到直线xy20的距离最短，,反思与感悟 利用基本初
5、等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算.,跟踪训练3 已知直线l: 2xy40与抛物线yx2相交于A，B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧 上求一点P，使ABP的面积最大.,解答,解 设M(x0，y0)为切点，过点M与直线l平行的直线斜率为ky2x0， k2x02，x01，y0 1，故可得M(1,1)， 切线方程为2xy10. 由于直线l: 2xy40与抛物线yx2相交于A，B两点， |AB|为定
6、值，要使ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大， 故点M(1,1)即为所求弧 上的点，使ABP的面积最大.,达标检测,1.下列结论：,答案,解析,其中正确的有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个,解析 ,错误，故选C.,1,2,3,4,答案,解析,1,2,3,4,3.设函数f(x)logax，f(1)1，则a .,答案,解析,1,2,3,4,1,2,3,4,解答,1.利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归. 2.有些函数可先化简再应用公式求导.,规律与方法,3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.,
