1、1.3.2 命题的四种形式,第一章 1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式,学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题. 2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系. 3.会利用命题的等价性解决问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 四种命题的概念,思考 给出以下四个命题： (1)当x2时，x23x20； (2)若x23x20，则x2； (3)若x2，则x23x20； (4)若x23x20，则x2. 你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？,答案 命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换了. 命
2、题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定. 命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定.,梳理 对命题的条件和结论进行“换位”和“换质”(否定)后，可以构成四种不同形式的命题： (1)原命题： ； (2)逆命题： (“换位”)； (3)否命题： (“换质”)； (4)逆否命题： (“换位”又“换质”).,如果p，则q,如果q，则p,如果綈p，则綈q,如果綈q，则綈p,知识点二 命题的四种形式之间的关系,思考1 为了书写方便常把p与q的否定分别记作“綈p”和“綈q”，如果原命题是“如果p，则q”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题该如何表示？,答案 逆命题：如果
3、q，则p. 否命题：如果綈p，则綈q. 逆否命题：如果綈q，则綈p.,思考2 原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？,答案 互逆、互否、互为逆否.,梳理 四种命题间的相互关系,如果p，则q,如果q，则p,如果綈p ，则綈q,如果綈q ，则綈p,知识点三 四种命题的真假关系,思考1 知识点一的“思考”中四个命题的真假性是怎样的？,答案 (1)真命题，(2)假命题，(3)假命题，(4)真命题.,思考2 如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的否命题呢？它的逆否命题呢？,答案 原命题为真，其逆命题不一定为真，其否命
4、题不一定为真，其逆否命题一定是真命题.,梳理 (1)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是 . (2)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性 .,没有关系,逆否命题,思考辨析 判断正误 (1)任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题.( ) (2)原命题与逆命题的真假性无关，但原命题与否命题的真假性一定相反. ( ) (3)一个命题的否命题和这个命题的逆命题的真假性相同.( ) (4)否命题其实就是命题的否定.( ),题型探究,类型一 四种命题及其相互关系,解答,命题角度1 四种命题的概念,解 逆命题：若xAB，则xA. 否命题：若xA，则xAB. 逆否命题：
5、若xAB，则xA.,例1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题. (1)若xA，则xAB；,(2)若a，b都是偶数，则ab是偶数；,解答,解 逆命题：若ab是偶数，则a，b都是偶数. 否命题：a，b不都是偶数，则ab不是偶数. 逆否命题：若ab不是偶数，则a，b不都是偶数.,(3)在ABC中，若ab，则AB.,解答,解 逆命题：在ABC中，若AB，则ab. 否命题：在ABC中，若ab，则AB. 逆否命题：在ABC中，若AB，则ab.,反思与感悟 四种命题的转换方法 (1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题. (2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题. (3)交
6、换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题.,跟踪训练1 命题“若函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数，则loga20，a1)在其定义域内不是减函数 B.若loga20，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内不是减函数 C.若loga20，a1)在其定义域内是减函数 D.若loga20，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数,答案,解析,解析 直接根据逆否命题的定义，将其条件与结论进行否定，再互换，值得注意的是“是减函数”的否定不能写成“是增函数”，而应写成不是减函数.,命题角度2 四种命题的相互关系,例2 若命题p：“若
7、xy0，则x，y互为相反数”的否命题为q，命题q的逆命题为r，则r与p的逆命题的关系是 A.互为逆命题 B.互为否命题 C.互为逆否命题 D.同一命题,解析 已知命题p：若xy0，则x，y互为相反数. 命题p的否命题q为：若xy0，则x，y不互为相反数， 命题q的逆命题r为：若x，y不互为相反数，则xy0， r是p的逆否命题， r是p的逆命题的否命题，故选B.,答案,解析,反思与感悟 判断四种命题之间四种关系的两种方法 (1)利用四种命题的定义判断. (2)巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字，是互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其
8、关系为逆否关系.,跟踪训练2 已知命题p的逆命题是“若实数a，b满足a1且b2，则abb，则ac2bc2(a，b，cR)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 A.0 B.2 C.3 D.4,解析 命题“若ab，则ac2bc2(a，b，cR)”是假命题， 则其逆否命题是假命题. 该命题的逆命题为“若ac2bc2，则ab(a，b，cR)”是真命题， 则其否命题是真命题.故选B.,答案,解析,类型三 等价命题的应用,例4 判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，则a1”的逆否命题的真假.,解答,解 方法一 原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a
9、1，则关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为，判断如下： 二次函数yx2(2a1)xa22的开口向上， 令x2(2a1)xa220， 则(2a1)24(a22)4a7. 因为a1，所以4a70的解集为R，则a0的解集为R，且二次函数yx2(2a1)xa22的开口向上， 所以(2a1)24(a22)4a70，,所以原命题是真命题. 因为互为逆否命题的两个命题同真同假， 所以原命题的逆否命题为真命题.,反思与感悟 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的两个命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命
10、题.,跟踪训练4 证明：若a24b22a10，则a2b1.,证明 “若a24b22a10，则a2b1”的逆否命题为“若a2b1，则a24b22a10”. a2b1， a24b22a1(2b1)24b22(2b1)1 4b214b4b24b210， 命题“若a2b1，则a24b22a10”为真命题. 由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确.,证明,达标检测,1.命题“若aA，则bB”的否命题是 A.若aA，则bB B.若aA，则bB C.若bB，则aA D.若bB，则aA,答案,1,2,3,4,5,解析,解析 命题“若p，则q”的否命题是“若非p，则非q”，“”与“”互为否定形式.,2
11、.命题“如果x21或x1 D.如果x1或x1，则x21,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 原命题结论“1x1”的否定是“x1或x1”， 原命题条件“x21”的否定是“x21”， 故逆否命题是如果x1或x1，则x21.,3.如果一个命题的否命题是真命题，那么这个命题的逆命题是 A.真命题 B.假命题 C.不一定是真命题 D.不一定是假命题,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 由否命题与逆命题互为逆否命题，可知这个命题的逆命题是真命题.,4.下列命题： “全等三角形的面积相等”的逆命题； “正三角形的三个内角均为60”的否命题； “若k0，则方程x2(2k1)xk0必有两相异实数根”的逆否命
12、题. 其中真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3,解析 的逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题； 的否命题“不是正三角形的三个内角不全为60”为真命题； 当k0，方程有两相异实根，原命题与其逆否命题均为真命题.,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,5.已知命题“若m1xm1，则1x2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是_.,解析,解析 命题：“若m1xm1，则1x2”的逆命题为“若1x2， 则m1xm1”. 该逆命题为真命题，,1,2,答案,1.写四种命题时，可以按下列步骤进行： (1)找出命题的条件p和结论q； (2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q； (3)按照四种命题的结构写出所有命题. 2.一个命题都有条件和结论，要分清条件和结论. 3.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础.,规律与方法,
