1、2019 年广东省汕头市高考数学一模试卷（文科） （A 卷）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax|log 2x0，B0 ，1，2，3，4，则 AB（ ）A0 ，1，2 B1 ，2，3 C2 ，3，4 D3 ，42 （5 分）已知 aR，i 是虚数单位，复数 ，若 ，则 a（ ）A0 B2 C2 D13 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z2x +y 的最大值是（ ）A2 B3 C4 D54 （5 分）现有甲、乙、丙、丁 4 名学生平均分成两个志愿者小
2、组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为（ ）A B C D5 （5 分）已知圆 O：x 2+y24（O 为坐标原点）经过椭圆 C： + 1（ab0）的短轴端点和两个焦点，则椭圆 C 的标准方程为（ ）A + 1 B + 1C + 1 D + 16 （5 分）已知向量 ， 满足 （ + ）5，且| |2，| |1，则向量 与 的夹角为（ ）A B C D7 （5 分）已知a n是等差数列，b n是正项等比数列，且b11，b 3b 2+2，b 4a 3+a5，b 5a 4+2a6，则 a2018+b9（ ）A2026 B202
3、7 C2274 D25308 （8 分）将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数第 2 页（共 25 页）yg（x）的图象，则 g（x ）在 上的最大值为（ ）A B C D19 （5 分）在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，点 O 是四边形 ABCD 的中心，关于直线 A1O，下列说法正确的是（ ）AA 1OD 1C BA 1O平面 B1CD1CA 1OBC DA 1O平面 AB1D110 （5 分）若函数 f（x ）e x（cos xa）在区间 上单调递减，则实数 a 的取值范围是（ ）A B （1，+） C1 ，+） D11 （5 分）三棱
4、锥 PABC 中，PA平面 ABC，ABC 30，APC 的面积为 2，则三棱锥 P ABC 的外接球体积的最小值为（ ）A B C64 D412 （5 分）已知函数 f（x ）是定义在（，0）（0，+）上的偶函数，当 x0 时f（x） ，则函数 g（x）2f（x）1 的零点个数为（ ）个A6 B2 C4 D8二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知函数 f（x ）（bx1）e x+a（a，b R） 若曲线 yf（x）在点 （0，f （0） ）处的切线方程为 yx，则 a+b 14 （5 分）有一种工艺品
5、是由正三棱柱挖去一个圆锥所成，已知正三棱柱 ABCA 1B1C1的所有棱长都是 2，圆锥的顶点为ABC 的中心，底面为A 1B1C1 的内切圆，则该工艺品的体积为 15 （5 分）设数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a11，a 22，且an+23 SnS n+1+3（nN* ） ，则 S10 16 （5 分）设双曲线 的左右焦点分别为 F1，F 2，过 F1 的直线 l 交双曲线左支于 A，B 两点，则 |AF2|+|BF2|的最小值等于 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第
6、1721 题为必考第 3 页（共 25 页）题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c若bsinAa（2cosB） （1）求角 B 的大小；（2）D 为 AB 上一点，且满足 CD2，AC4，锐角三角形ACD 的面积为 ，求BC 的长18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，PA菱形 ABCD 所在的平面，ABC60，E 是 BC 中点，M 是 PD 的中点（1）求证：平面 AEM平面 PAD；（2）若 F 是 PC 上的中点，且 ABAP2，求三棱锥 PA
7、MF 的体积19 （12 分）我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉2019 年某南澳牡蛎养殖基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量 x（人）与年收益增量 y（万元）的数据如下：人工投入增量 x（人） 2 3 4 6 8 10 13年收益增量 y（万元） 13 22 31 42 50 56 58该基地为了预测人工投入增量为 16 人时的年收益增量，建立了 y 与 x 的两个回归模型：模型 ：由最小二乘公式可求得 y 与 x 的线性回归方程： ；模型 ：
8、由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线： 的附近，对第 4 页（共 25 页）人工投入增量 x 做变换，令 ，则 ybt +a，且有（1）根据所给的统计量，求模型中 y 关于 x 的回归方程（精确到 0.1） ；（2）分别利用这两个回归模型，预测人工投入增量为 16 人时的年收益增量；（3）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数 R2，并说明（2）中哪个模型得到的预测值精度更高、更可靠？回归模型 模型 模型回归方程182.4 79.2附：样本（t i，y i） （i1，2，n）的最小二乘估计公式为：，另，刻画回归效果的相关指数20 （12 分）已知抛物线 C 的标准方程为 y22
9、px（p0） ，M 为抛物线 C 上一动点，第 5 页（共 25 页）A（a，0） （a0）为其对称轴上一点，直线 MA 与抛物线 C 的另一个交点为 N当 A 为抛物线 C 的焦点且直线 MA 与其对称轴垂直时，MON 的面积为 18（1）求抛物线 C 的标准方程；（2）记 t ，若 t 值与 M 点位置无关，则称此时的点 A 为“稳定点” ，试求出所有“稳定点” ，若没有，请说明理由21 （12 分）已知 f（x ） x2+aexlnx（1）设 x 是 f（x）的极值点，求实数 a 的值，并求 f（x）的单调区间；（2）当 a0 时，求证：f（ x） 选修 4-4：坐标系与参数方程22 （
10、10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数，a0） 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为 （1）设 P 是曲线 C 上的一个动点，若点 P 到直线 l 的距离的最大值为 ，求 a 的值；（2）若曲线 C 上任意一点（ x，y）都满足 y|x |+2，求 a 的取值范围选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x +k|+|x2|（k R） （1）若 k4，求不等式 f（x）x 22x4 的解集；（2）设 k4，当 x1， 2时都有 f（x）x 22x+4 ，求 k 的取值范围第 6 页（共 25 页）2019 年广
11、东省汕头市高考数学一模试卷（文科） （A 卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax|log 2x0，B0 ，1，2，3，4，则 AB（ ）A0 ，1，2 B1 ，2，3 C2 ，3，4 D3 ，4【分析】先分别求出集合 A，B，由此能求出 AB【解答】解：集合 Ax|log 2x0 x|x1 ，B0 ， 1，2， 3，4，AB2，3，4故选：C【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2 （5 分）已知 aR，i 是虚数单位，复
12、数 ，若 ，则 a（ ）A0 B2 C2 D1【分析】利用商的模等于模的商列式求解 a 的值【解答】解：复数 ，且 ， ，即 ，则 a0故选：A【点评】本题考查复数模的求法，是基础的计算题3 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z2x +y 的最大值是（ ）A2 B3 C4 D5【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z2x+y 表示直线在 y轴上的截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最大值即可【解答】解：先根据约束条件画出可行域，第 7 页（共 25 页）当直线 z2x+y 过点 A（2，1）时，z 最大是 3，故选：B【点评】本小题主要考
13、查线性规划问题，以及利用几何意义求最值，属于基础题4 （5 分）现有甲、乙、丙、丁 4 名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为（ ）A B C D【分析】先求出基本事件总数 n 6，再求出乙、丙两人恰好参加同一项活动包含的基本事件个数 m 2，由此能求出乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率【解答】解：现有甲、乙、丙、丁 4 名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件总数 n 6，乙、丙两人恰好参加同一项活动包含的基本事件个数 m 2，乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率 p 故选：B【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、
14、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5 （5 分）已知圆 O：x 2+y24（O 为坐标原点）经过椭圆 C： + 1（ab0）的第 8 页（共 25 页）短轴端点和两个焦点，则椭圆 C 的标准方程为（ ）A + 1 B + 1C + 1 D + 1【分析】根据圆 O：x 2+y24（O 为坐标原点）经过椭圆 C： + 1（ab0）的短轴端点和两个焦点，可得 b，c，a，【解答】解：圆 O：x 2+y24（O 为坐标原点）经过椭圆C： + 1（ab0）的短轴端点和两个焦点，b2，c2，则 a2b 2+c28椭圆 C 的标准方程为： ，故选：B【点评】本题考查了椭圆的方程，属
15、于基础题6 （5 分）已知向量 ， 满足 （ + ）5，且| |2，| |1，则向量 与 的夹角为（ ）A B C D【分析】由向量的数量积的运算及向量的夹角公式得：cos ，又 0， ，所以 ，得解【解答】解：因为 （ + ）5，所以 2 5，又因为| |2， | |1，设向量 与 的夹角为 ，所以 cos ，又 0， ，所以 ，第 9 页（共 25 页）故选：C【点评】本题考查了向量的数量积的运算及向量的夹角，属中档题7 （5 分）已知a n是等差数列，b n是正项等比数列，且b11，b 3b 2+2，b 4a 3+a5，b 5a 4+2a6，则 a2018+b9（
16、; ）A2026 B2027 C2274 D2530【分析】a n是公差为 d 的等差数列，b n是正项等比数列，公比设为 q，q0，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公差、公比，即可得到所求和【解答】解：a n是公差为 d 的等差数列，b n是正项等比数列，公比设为 q，q0，由 b11，b 3b 2+2，b 4a 3+a5，b 5a 4+2a6，可得 q2q+2，q 3a 1+2d+a1+4d，q 4a 1+3d+2（a 1+5d） ，即有 q2，a 1d1，则 an1+n1n，b n2 n1 ，则 a2018+b92018+2 82274故选：C【点评】本题考查等差数列和
17、等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题8 （8 分）将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数yg（x ）的图象，则 g（x）在 上的最大值为（ ）A B C D1【分析】根据平移关系求出 g（x）的解析式，然后求出角的等价范围，结合三角函数的最值性质进行求解即可【解答】解：将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数yg（x）的图象，则 g（x）sin2（x ）+ sin（2x ） ，x ，2x ， ，则 2x ， ，第 10 页（共 25 页）当 2x ，时，g（x）取得最大值，最大值为 sin ，故选：C【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函
18、数的解析式，以及角的范围，结合三角函数的最值性质是解决本题的关键9 （5 分）在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，点 O 是四边形 ABCD 的中心，关于直线 A1O，下列说法正确的是（ ）AA 1OD 1C BA 1O平面 B1CD1CA 1OBC DA 1O平面 AB1D1【分析】推导出 A1DB 1C，ODB 1D1，从而平面 A1DO平面 B1CD1，由此能得到A1O平面 B1CD1【解答】解：在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，点 O 是四边形 ABCD 的中心，A 1DB 1C，ODB 1D1，A 1DDO D，B 1D1B 1CB 1，平面 A1DO平面
19、B1CD1，A 1O平面 A1DO，A 1O平面 B1CD1故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题10 （5 分）若函数 f（x ）e x（cos xa）在区间 上单调递减，则实数 a 的取值范围是（ ）第 11 页（共 25 页）A B （1，+） C1 ，+） D【分析】求出函数的导数，问题转化为 acosxsinx，x ，令 h（x）cosx sinx sin（ x） ，x ，根据三角函数的性质求出 a 的范围即可【解答】解：f（x ）e x（cos xsin xa） ，若 f（x
20、）在区间 上单调递减，则 cosx sinxa0 区间 上恒成立，即 acosxsinx ，x ，令 h（x）cosxsinx sin（ x） ，x ，故 x（ ， ） ，故 sin（ x ）的最大值是 1，此时 x ，即 x ，故 h（x）的最大值是 ，故 a ，故选：D【点评】本题考查了三角函数的性质，考查函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题11 （5 分）三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，ABC 30，APC 的面积为 2，则三棱锥 P ABC 的外接球体积的最小值为（ ）A B C64 D4【分析】由题意画出图形，设 ACx ，由APC 的面积为 2，得 P
21、A ，再由ABC30，得三角形 ABC 外接圆的半径 rx，求出球心到平面 ABC 的距离，再由勾股定理可得外接球的半径，利用基本不等式求得最小值，代入球的体积公式求解【解答】解：如图，设 AC x，由APC 的面积为 2，得 PA ，ABC30，三角形 ABC 外接圆的半径 rx，PA平面 ABC，PA ，第 12 页（共 25 页）O 到平面 ABC 的距离为 d PA ，设球 O 的半径为 R，则 R ，当且仅当 时“”成立三棱锥 PABC 的外接球体积的最小值为 故选：A【点评】本题考查了棱锥与球的位置关系，考查正弦定理的应用，属于中档题12 （5 分）已知函数 f（x ）是定义在（，
22、0）（0，+）上的偶函数，当 x0 时f（x） ，则函数 g（x）2f（x）1 的零点个数为（ ）个A6 B2 C4 D8【分析】作出 f（x ）的函数图象，根据 f（x）与 y 的交点个数得出答案【解答】解：令 g（x）0 可得 f（x） ，作出 f（x）在（ 0，+）上的函数图象，如图所示：第 13 页（共 25 页）由图象可知 f（x ） 在（0，+）上有 2 解，又 f（x）是偶函数， f（x ） 在（，0）上有 2 解，f（x） 有 4 解故选：C【点评】本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数奇偶性的性质，属于中档题二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20
23、 分13 （5 分）已知函数 f（x ）（bx1）e x+a（a，b R） 若曲线 yf（x）在点 （0，f （0） ）处的切线方程为 yx，则 a+b 3 【分析】求导函数，利用曲线 yf （x）在点（0，f（0） ）处的切线方程为 yx，建立方程，可求 a、b 的值，进而得到所求和【解答】解：f（x ）（bx1）e x+a 得 f（x）e x（bx+b1） ，曲线 yf（x）在点（0，f（ 0） ）处的切线方程为 yxf（0）1，f（0）0，即 b11，1+a0，解得 a1，b2，则 a+b3，故答案为：3【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线方程的运用，考查运算能力，属于基础
24、题14 （5 分）有一种工艺品是由正三棱柱挖去一个圆锥所成，已知正三棱柱 ABCA 1B1C1的所有棱长都是 2，圆锥的顶点为ABC 的中心，底面为A 1B1C1 的内切圆，则该工艺品的体积为 2 【分析】求出A 1B1C1 的高 h ，设底面为A 1B1C1 的内切圆半径为 r，则（ r） 2r 2+1，求出 r ，从而该工艺品的体积为：V V 圆锥 ，由此能求出结果【解答】解：有一种工艺品是由正三棱柱挖去一个圆锥所成，正三棱柱 ABCA 1B1C1 的所有棱长都是 2，圆锥的顶点为ABC 的中心，底面为A1B1C1 的内切圆，A 1B1C1 的高 h ，第 14 页（共 25
25、 页）设底面为A 1B1C1 的内切圆半径为 r，则（ r） 2r 2+1，解得 r ，该工艺品的体积为：V V 圆锥S ABC AA1 2 故答案为：2 【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题15 （5 分）设数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a11，a 22，且an+23 SnS n+1+3（nN* ） ，则 S10 363 【分析】直接利用数列的关系式的应用求出结果【解答】解：数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a11，a 22，且 an+23S nS n+1+3（nN*） ，所以：S
26、n+2S n+13S nS n+1+3，整理得：S n+23S n+3当 n2 时，S 43S 2+39+312当 n4 时，S 63S 4+336+339，当 n6 时，S 83S 6+3117+3120，当 n8 时，S 103S 8+3360+3363，故答案为：363【点评】本题考查的知识要点：数列的关系式的转换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型16 （5 分）设双曲线 的左右焦点分别为 F1，F 2，过 F1 的直线 l 交双曲线左支于 A，B 两点，则 |AF2|+|BF2|的最小值等于 16 【分析】根据双曲线的标准方程可得：a3，b ，再由双曲线的定义可得：第 1
27、5 页（共 25 页）|AF2|AF 1|2 a6，|BF 2| |BF1|2a6，所以得到| AF2|+|BF2|（|AF 1|+|BF1|）12，再根据 A、B 两点的位置特征得到答案【解答】解：根据双曲线 ，得：a3，b ，由双曲线的定义可得：|AF 2|AF 1|2a6 ，|BF2|BF 1|2 a6 ，+可得：|AF 2|+|BF2|（ |AF1|+|BF1|）12，过双曲线的左焦点 F1 的直线交双曲线的左支于 A，B 两点，|AF 1|+|BF1|AB|，当| AB|是双曲线的通径时| AB|最小|AF 2|+|BF2|（|AF 1|+|BF1|）|AF 2|+|BF2|AB|1
28、2|BF2|+|AF2|AB|+12 +12 +1216故答案为：16【点评】本题考查两条线段和的最小值的求法，是中档题，解题时要注意双曲线的简单性质的合理运用三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c若bsinAa（2cosB） （1）求角 B 的大小；（2）D 为 AB 上一点，且满足 CD2，AC4，锐角三角形ACD 的面积为 ，求BC 的长【分析】 （1）根据正弦定理结合辅
29、助角公式进行化简求解即可；（2）根据三角形的面积公式结合正弦定理进行求解即可【解答】解：（1）由正弦定理得 sinBsinAsinA（2cos B） sinA0， sinB2cosB即 sinB+cosB2，即 2sin（B+ ）2，第 16 页（共 25 页）即 sin（B+ ） 10B，B+ ，即 B ，即角 B 的大小为（2）ACD 的面积为 S 24sinACD ，即 sinACD ，ACD 是锐角三角形cosACD ，由余弦定理得 AD22 2+42224 4+16416，则 AD4，在ACD 中， ，sinA ，则ABC 中， ，得 BC ，法 2，ACD 的面积为 S ADBCs
30、inB ， BC ，故 BC 【点评】本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理以及辅助角公式，余弦定理以及辅助角公式进行转化是解决本题的关键18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，PA菱形 ABCD 所在的平面，ABC60，E 是 BC 中点，M 是 PD 的中点（1）求证：平面 AEM平面 PAD；（2）若 F 是 PC 上的中点，且 ABAP2，求三棱锥 PAMF 的体积第 17 页（共 25 页）【分析】 （1）连结 AC，推导出 AEBC ，AEAD，PAAE，从而 AE平面 PAD，由此能证明平面 AEM平面 PAD（2）三棱锥 PAMF 的体积：V PAMF V MAPF
31、，由此能求出结果【解答】证明：（1）连结 AC，底面 ABCD 为菱形，ABC60，ABC 是正三角形，E 是 BC 中点，AE BC，又 ADBC ，AE AD ，PA平面 ABCD，AE平面 ABCD，PAAE ，PAAD A，AE平面 PAD，又 AE平面 AEM，平面 AEM平面 PAD解：（2）F 是 PC 上的中点，且 ABAP2，AD2，AE ，三棱锥 PAMF 的体积：VP AMFV MAPF 第 18 页（共 25 页）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题19 （
32、12 分）我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉2019 年某南澳牡蛎养殖基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量 x（人）与年收益增量 y（万元）的数据如下：人工投入增量 x（人） 2 3 4 6 8 10 13年收益增量 y（万元） 13 22 31 42 50 56 58该基地为了预测人工投入增量为 16 人时的年收益增量，建立了 y 与 x 的两个回归模型：模型 ：由最小二乘公式可求得 y 与 x 的线性回归方程： ；模型 ：由散点图的样本点分布
33、，可以认为样本点集中在曲线： 的附近，对人工投入增量 x 做变换，令 ，则 ybt +a，且有第 19 页（共 25 页）（1）根据所给的统计量，求模型中 y 关于 x 的回归方程（精确到 0.1） ；（2）分别利用这两个回归模型，预测人工投入增量为 16 人时的年收益增量；（3）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数 R2，并说明（2）中哪个模型得到的预测值精度更高、更可靠？回归模型 模型 模型回归方程182.4 79.2附：样本（t i，y i） （i1，2，n）的最小二乘估计公式为：，另，刻画回归效果的相关指数【分析】 （1）根据题意列方程组求出回归系数，模型中 y 关于 x 的回
34、归方程，（2）代值计算即可预测人工投入增量为 16 人时的年收益增量，（3）由 R2 的公式可知，模型的 R2 的小于模型 的，这说明模型拟合效果更好，故可得答案第 20 页（共 25 页）【解答】解：（1）由得 21.3， i38.921.3 2.514.4，模型 中 y 关于 x 的回归方程为 21.3 14.4（2）当 x16 时，模型 年收益增量预测值为 4.116+11.877.4 万元，模型 年收益增量预测值为 21.3 14.470.8 万元，（3）由表格中的数据，有 182.479.2，即 ，由 R2 的公式可知，模型的 R2 的小于模型 的，这说明模型拟合效果更好，在（2）中
35、，用模型预测当人工投入量 x16 时，年收益增量为 70.8 万元，这一个预报值比模型的 77.4 万精确度更高，更可靠【点评】本题考查了线性回归方程与相关指数的应用问题，是中档题20 （12 分）已知抛物线 C 的标准方程为 y22px（p0） ，M 为抛物线 C 上一动点，A（a， 0） （a0）为其对称轴上一点，直线 MA 与抛物线 C 的另一个交点为 N当 A 为抛物线 C 的焦点且直线 MA 与其对称轴垂直时， MON 的面积为 18（1）求抛物线 C 的标准方程；（2）记 t ，若 t 值与 M 点位置无关，则称此时的点 A 为“稳定点” ，试求出所有“稳定点” ，若没有，请说明理
36、由【分析】 （1）根据三角形的面积公式求出 p 的值即可；（2）设出直线 MN 的方程，联立方程组，得到关于 y 的一元二次方程，通过讨论 a 的符号结合二次函数的性质解出即可【解答】解：（1）由题意， ，p6，抛物线 C 的标准方程为 y212x（5 分）第 21 页（共 25 页）（2）设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，设直线 MN 的方程为 xmy+a，联立 得 y212my12a0，144m 2+48a0，y 1+y2 12m，y 1y212a，由对称性，不妨设 m0，（）a0 时，y 1y212a0，y 1，y 2 同号，又 ， ，不论 a 取何值，t 均与 m 有
37、关，即 a0 时，A 不是“稳定点” ；（）a0 时，y 1y212a0，y 1，y 2 异号，又 ， ，仅当 ，即 a3 时，t 与 m 无关，所求的“稳定点”为（3，0）（12 分）【点评】本题考查了抛物线的性质，考查新定义“稳定点”问题，考查二次函数的性质，是一道中档题21 （12 分）已知 f（x ） x2+aexlnx（1）设 x 是 f（x）的极值点，求实数 a 的值，并求 f（x）的单调区间；第 22 页（共 25 页）（2）当 a0 时，求证：f（ x） 【分析】 （1）求得 ，利用 f 20求得 a再求 f（x ）的单调区间（2）证法 1，由（1）可得 a0 时，x 0（0，
38、1）使得 f（x 0）0，即f（x ） minf（x 0） ， （0x 01）令 利用导数可得 f（x） 方法 2，令 g（x） ， （x0） ，利用导数可得 即可得【解答】解：（1）函数 f（x）的定义域为（0，+） 又 ，x 是 f（x）的极值点，f 20a f（x）在（ 0，+）上单调递增，且 f f（x）0 时，x ，f（x ）0 时， f（x）的递减区间为（ 0， ） ，递增区间为（ ，+） （2）证法 1，由（1）可得 a0 时，f（x ）x+ae x 在（0，+）上单调递增又因为 f（1）1+ae 1ae0，当 x 趋近于 0 时，f （x）趋近于x 0（ 0，1）使得 f（x
39、0）0，即 当 x（0，x 0）时，f（x 0）0，x （x 0，+ ）时，f （x 0）0f（x）在（0 ，x 0）递减，在（x 0，+）递增f（x） minf（x 0） ， （0x 01）第 23 页（共 25 页）令 ，在（0，1）上 g（x）0，g（x）单调递减， 当 a0 时，f（x ） 方法 2，令 g（x） ， （x0），当 x（0，1）时， g（x）0，当 x（1，+）时，g（x）0g（x）在（0，1）递减，在（1，+）递增 ， a0，ae x0 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，考查转化思想，是一道综合题选修 4-4：坐标系与参数方程
40、22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数，a0） 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为 （1）设 P 是曲线 C 上的一个动点，若点 P 到直线 l 的距离的最大值为 ，求 a 的值；（2）若曲线 C 上任意一点（ x，y）都满足 y|x |+2，求 a 的取值范围【分析】 （1）圆 C 上动点 P 到直线 l 的距离的最大值为圆心（ 0，a）到直线的距离加上半径；（2）利用圆心（0，a）到直线 yx+2 的距离大于等于圆 C 的半径 2，解不等式可得【解答】解：（1）依题意得曲线 C 的普通方程为：x 2+（ y
41、a） 24，因为 sin（ ）2 ，所以 sincos 4，因为 x cos，y sin，所以直线 l 的直角坐标方程为： xy40，第 24 页（共 25 页）所以圆心 C（0，a）到直线的距离为 ，依题意得 +22 +2，因为 a0，解得 a8（2）因为曲线 C 上任意一点（ x，y）都满足 y|x |+2，所以 2，所以|a 2| ，解得 a 22 或 a2+2 ，又 a0，所以 a 的取值范围为2+2 ，+）【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x +k|+|x2|（k R） （1）若 k4，求不等式 f（x）x 22x4
42、的解集；（2）设 k4，当 x1， 2时都有 f（x）x 22x+4 ，求 k 的取值范围【分析】 （1）k4 时，函数 f（x）|2x +4|+|x2|，分类讨论去掉绝对值，求不等式 f（x ）x 22x4 的解集；（2）由 k4，x 1，2，化简 f（x） ，把不等式 f（x）x 22x +4 转化为关于 k 的不等式恒成立问题，从而求出 k 的取值范围【解答】解：（1）k4 时，函数 f（x）|2x +4|+|x2|，所以 f（x） ，第 25 页（共 25 页）当 x2 时，由 f（x）x 22x4 化为3x 2x 22x 4，解得1x2，所以此时不等式无解；当2x2 时，由 f（x）
43、x 22x4 化为 x+6x 22x 4，解得2x5，所以是2x2；当 x2 时，由 f（x）x 22x4 化为 3x+2x 22x4 ，解得1x6，所以是 2x6；综上所述，不等式 f（x ）x 22x4 的解集为x|2x6 ；（2）设 k4，则 2，当 x 1，2时，f（x ） 3x+2k，不等式 f（x） x22x+4 化为3x+2kx 22x+4，即 x2+x+k+20；设 g（x）x 2+x+k+2，则 g（x）0 在 x1，2恒成立，即 g（2）4+2+k +20，解得 k8，k 的取值范围是（，8【点评】本题考查了不等式恒成立问题，也考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，是中档题
