1、考点规范练 41 双曲线、抛物线一、基础巩固1.(2018 浙江,2)双曲线 -y2=1 的焦点坐标是( )23A.(- ,0),( ,0) B.(-2,0),(2,0)2 2C.(0,- ),(0, ) D.(0,-2),(0,2)2 22.“k0,b0)的离心率为 ,则其渐近线方程为( )2222 3A.y= x B.y= x C.y= x D.y= x2 322 324.已知点 A(-2,3)在抛物线 C:y2=2px(p0)的准线上,C 的焦点为 F,则直线 AF 的斜率为( )A.- B.-1 C.- D.-43 34 125.已知 F 是双曲线 C:x2- =1 的右焦点,P 是
2、C 上一点,且 PF 与 x 轴垂直,点 A 的坐标是(1,3), 则APF23的面积为( )A. B. C. D.13 12 23 326.(2018 全国 ,理 11)设 F1,F2 是双曲线 C: =1(a0,b0)的左、右焦点,O 是坐标原点,过 F2 作 C2222的一条渐近线的垂线,垂足为 P.若|PF 1|= |OP|,则 C 的离心率为( )6A. B.2 C. D.5 3 27.已知双曲线 =1(a0,b0)上存在一点 P,点 P 与坐标原点 O、右焦点 F2 构成正三角形,则双曲2222线的离心率为 . 8.已知 F 是抛物线 C:y2=8x 的焦点,M 是 C 上一点,F
3、M 的延长线交 y 轴于点 N,若 M 为 FN 的中点,则|FN|= . 9.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为 ,且过点(4, - ),点 M(3,m)在双曲线2 10上.(1)求双曲线的方程;(2)求证: =0;12(3)求F 1MF2 的面积.10.已知过抛物线 y2=2px(p0)的焦点,斜率为 2 的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)(x10,b0)的左、右焦点,O 为坐标原点,点 P 在双曲线 C 的右支2222上,且满足|F 1F2|=2|OP|,|PF1|3|PF 2|,则双曲线 C 的离心率的取值范围为( )A.(1,+) B.1
4、02,+)C. D.(1,102 (1,5213.在平面直角坐标系 xOy 中 ,双曲线 =1(a0,b0)的右支与焦点为 F 的抛物线 x2=2py(p0)交2222于 A,B 两点,若|AF|+|BF|= 4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 . 14.已知中心在原点、焦点在 x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点 F1,F2,且|F 1F2|=2 ,椭圆的长半13轴长与双曲线的实半轴长之差为 4,离心率之比为 3 7.(1)求椭圆和双曲线的方程;(2)若 P 为这两条曲线的一个交点,求 cosF 1PF2 的值.15.(2018 全国 ,理 19)设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,过
5、F 且斜率为 k(k0)的直线 l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=8.(1)求 l 的方程.(2)求过点 A,B 且与 C 的准线相切的圆的方程.三、高考预测16.已知抛物线 x2=2py(p0)的顶点到焦点的距离为 1,过点 P(0,p)作直线与抛物线交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,其中 x1x2.(1)若直线 AB 的斜率为 ,过 A,B 两点的圆 C 与抛物线在点 A 处有共同的切线,求圆 C 的方程;12(2)若 = ,是否存在异于点 P 的点 Q,使得对任意 ,都有 ( - )?若存在,求出点 Q 的坐标; 若不存在,说明理由.考点规范练 41 双曲线、抛物线1
6、.B 解析 a2=3,b2=1, c2=a2+b2=3+1=4. c=2.又焦点在 x 轴上, 焦点坐标为(- 2,0),(2,0).2.A 解析 方程 =1 表示双曲线, (25-k)(k-9)25, “k1,所以2423242 3 3e2=4+2 ,所以 e= +1.3 4+23=38.6 解析 设 N(0,a),由题意可知 F(2,0).又 M 为 FN 的中点,则 M .(1,2)因为点 M 在抛物线 C 上,所以 =8,即 a2=32,即 a=4 .24 2所以 N(0,4 ).2所以|FN|= =6.(2-0)2+(042)29.(1)解 e= , a=b.2 可设双曲线方程为 x
7、2-y2=(0). 双曲线过点(4,- ),10 16-10=,即 =6. 双曲线的方程为 x2-y2=6.(2)证明 由题意知 c=2 ,不妨设 F1(-2 ,0),F2(2 ,0),则 =(-2 -3,-m), =(2 -3,-m).3 3 3 1 3 2 3 =(3+2 )(3-2 )+m2=-3+m2.12 3 3 点 M 在双曲线上, 9-m2=6,即 m2=3, =0.12(3)解 F1MF2 的底边长|F 1F2|=4 ,3由(2)知 m= ,3 F1MF2 的高 h=|m|= ,3 4 =6.12=12 3310.解 (1)由题意得直线 AB 的方程为 y=2 ,与 y2=2p
8、x 联立,消去 y 有 4x2-5px+p2=0,所以2(-2)x1+x2= .54由抛物线定义得|AB|=x 1+x2+p= +p=9,所以 p=4,从而该抛物线的方程为 y2=8x.54(2)由(1)得 4x2-5px+p2=0,即 x2-5x+4=0,则 x1=1,x2=4,于是 y1=-2 ,y2=4 ,2 2从而 A(1,-2 ),B(4,4 ).2 2设 C(x3,y3),则 =(x3,y3)=(1,-2 )+(4,4 )=(4+1,4 -2 ). 2 2 2 2又 =8x3,所以2 (2-1)2=8(4+1),整理得(2-1) 2=4+1,解得 =0 或 =2.23 211.D
9、解析 由题意知 F(1,0),过点( -2,0)且斜率为 的直线方程为 y= (x+2).与抛物线方程 y2=4x 联立,23 23得 解得2=4,=23(+2), =1,=2,或 =4,=4.不妨设 M(1,2),N(4,4),所以 =(0,2), =(3,4),所以 =8. 12.C 解析 由|F 1F2|=2|OP|,可得|OP|=c,则 PF1F2 为直角三角形 ,且 PF1PF 2,可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.由双曲线定义可得|PF 1|-|PF2|=2a,又|PF 1|3|PF 2|,所以|PF 2|a,所以(|PF 2|+2a)2+|PF2|2=4c2,化为(
10、|PF 2|+a)2=2c2-a2,即有 2c2-a24a 2,可得 c a,102由 e= 1,可得 1b0),双曲线方程为 =1(m0,n0),1322+22 2222则 解得-=4,713=313, =7,=3.所以 b=6,n=2.所以椭圆方程为 =1,249+236双曲线方程为 =1.2924(2)不妨设 F1,F2 分别为左、右焦点,P 是第一象限的一个交点,则|PF 1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,所以|PF 1|=10,|PF2|=4.又|F 1F2|=2 ,13所以 cosF 1PF2= .|1|2+|2|2-|12|22|1|2| =102+42-(21
11、3)22104 =4515.解 (1)由题意得 F(1,0),l 的方程为 y=k(x-1)(k0).设 A(x1,y1),B(x2,y2).由 得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=(-1),2=4 =16k2+160,故 x1+x2= .22+42所以|AB|=|AF|+|BF|=(x 1+1)+(x2+1)= .42+42由题设知 =8,解得 k=-1(舍去), k=1.42+42因此 l 的方程为 y=x-1.(2)由(1)得 AB 的中点坐标为 (3,2),所以 AB 的垂直平分线的方程为 y-2=-(x-3),即 y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x 0,y0),则 0=-
12、0+5,(0+1)2=(0-0+1)22 +16,解得 0=3,0=2或 0=11,0=-6.因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16 或(x-11) 2+(y+6)2=144.16.解 (1)由已知得 p=2,直线和 y 轴交于点(0,2),则直线 AB 的方程为 y-2= x,即 x-2y+4=0.12由 得 A,B 的坐标分别为 (4,4),(-2,1).-2+4=0,2=4, 又 x2=4y,可得 y= x2,故 y= x,14 12故抛物线在点 A 处切线的斜率为 2.设圆 C 的方程为(x-a) 2+(y-b)2=r2,则 -4-4=-12,(+2)2+(-1)2=(-4
13、)2+(-4)2,解得 a=-1,b= ,r2= ,132 1254故圆的方程为(x+ 1)2+ ,(-132)2=1254即为 x2+y2+2x-13x+12=0.(2)存在.依题意可设直线 AB 的方程为 y=kx+2,代入抛物线方程 x2=4y,得 x2-4kx-8=0,故 x1x2=-8. 由已知 = ,得-x 1=x2.若 k=0,这时 =1,要使 ( - ),点 Q 必在 y 轴上.设点 Q 的坐标是(0,m),从而 =(0,2-m),- =(x1,y1-m)-(x2,y2-m)=(x1-x2,y1-m-(y2-m),故 ( - )=(2-m)y1-y2-m(1-)=0,即 y1-y2-m(1-)=0,即 -m =0,214+12224 (1+12)即 (x1+x2)(x1x2-4m)=0,将 代入得 m=-2.142所以存在点 Q(0,-2)使得 ( - ).
