1、23.2 离散型随机变量的方差1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念 2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题 3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差1方差、标准差的定义及方差的性质(1)方差及标准差的定义：设离散型随机变量 X 的分布列为X x1 x2 xi xnP p1 p2 pi pn方差 D(X) _(xiE( X)2pin i 1标准差为 D（X）(2)方差的性质：D(aXb)a 2D(X)随机变量与样本方差的关系(1)随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量(2)对于
2、简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差因此，我们常用样本的方差来估计总体的方差 2两个常见分布的方差(1)若 X 服从两点分布，则 D(X)p(1 p)(2)若 X B(n，p)，则 D(X)np(1p) 判断正误(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定( )(2)若 a 是常数，则 D(a)0.( )(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度( )答案：(1) (2) (3) 已知 X 的分布列为X 1 2 3 4P 14 13 16 14则 D(X)的值为( )A. B. C. D.2912 121144
3、 179144 1712答案：C已知 X 的分布列为X 0 1 2P 13 13 13设 Y2X3，则 D(Y)_ 答案：83已知随机变量 X 服从二项分布 B(n，p) 若 E(X)30， D(X)20，则 p_解析：由 E(X)30，D(X)20，可得 np 30，np（1 p） 20，)解得 p .13答案：13探究点 1 求离散型随机变量的方差袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个(n1，2，3，4)现从袋中任取一球， 表示所取球的标号求 的分布列、均值和方差.【解】 由题意得， 的所有可能取值为 0，1，2，3，4，P(0) ，P( 1
4、) ，1020 12 120P(2) ，P( 3) ，220 110 320P(4) .420 15故 的分布列为 0 1 2 3 4P 12 120 110 320 15所以 E()0 1 2 3 4 1.5，D() (01.5) 2 (1 1.5)12 120 110 320 15 122 (21.5) 2 (3 1.5) 2 (41.5) 2 2.75.120 110 320 15变条件 在本例条件下，若 ab，E()1，D ()11，试求 a，b 的值解：由 D(a b)a 2D()11，E( ab) aE()b1，及 E()1.5，D( )2.75，得2.75a211，1.5ab1，
5、解得 a2，b2 或 a2，b4. 求离散型随机变量的方差的步骤(1)明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果(2)求出随机变量取各个值的概率(3)列出分布列(4)利用公式 E(X)x 1p1x 2p2x ipix npn 求出随机变量的期望 E(X)(5)代入公式 D(X)(x 1E(X) 2p1(x 2E(X) 2p2(x iE( X)2pi(x nE(X) 2pn 求出方差 D(X)(6)代入公式 (X) 求出随机变量的标准差 . D（X）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为 ， .在前 3 次投篮中，
6、乙13 34投篮的次数为 ，求 的分布列、期望和方差解：乙投篮的次数 的取值为 0，1，2.P(0) ；13 13 19P(1) .13 23 23 14 718P(2) .23 34 12故 的分布列为 0 1 2P 19 718 12E()0 1 2 ，19 718 12 2518D()(0 )2 (1 )2 (2 )2 .2518 19 2518 718 2518 12 149324探究点 2 两点分布与二项分布的方差一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是 .13(1)求这位司机遇到红灯数 的期望与方差；(2)若遇上红灯，则
7、需等待 30 s，求司机总共等待时间 的期望与方差【解】 (1)易知司机遇上红灯次数 服从二项分布，且 B(6， )，13故 E()6 2，D() 6 (1 ) .13 13 13 43(2)由已知 30 ，故 E()30E ()60，D ()900D ()1 200. 正确认识二项分布及在解题中的应用(1)在解决有关均值和方差问题时，要认真审题，如果题目中离散型随机变量符合二项分布，就应直接利用二项分布求期望和方差，以简化问题的解答过程(2)对于二项分布公式 E(X)np 和 D(X)np(1p) 要熟练掌握 抛掷一枚质地均匀的骰子，用 X 表示掷出偶数点的次数(1)若抛掷 1 次，求 E(
8、X)和 D(X)；(2)若抛掷 10 次，求 E(X)和 D(X)解：(1)X 服从两点分布X 0 1P 12 12所以 E(X)p ，12D(X)p (1p) .12 (1 12) 14(2)由题意知 XB ，(10，12)所以 E(X)np10 5，12D(X)np (1p)10 .12 (1 12) 52探究点 3 方差的实际应用甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量 X 与 Y，且 X，Y 的分布列如下：X 1 2 3P a 0.1 0.6Y 1 2 3P 0.3 b 0.3(1)求 a，b 的值；(2)计算 X，Y 的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术状况【解】 (1
9、)由离散型随机变量的分布列的性质可知a0.10.61，得 a0.3.同理 0.3b0.31，得 b0.4.(2)E(X)10.320.130.62.3，E(Y)10.320.430.32，D(X)(12.3) 20.3(22.3) 20.1(32.3) 20.60.81 ，D(Y)(12) 20.3(2 2) 20.4(32) 20.30.6.由于 E(X)E(Y)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但 D(X)D( Y)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤(1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量
10、取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高(2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定(3)下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论 最近，李师傅一家三口就如何将手中的 10 万元钱进行投资理财，提出了三种方案第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将 10 万元全部用来买股票据分析预测：投资股市一年后可以获利 40%，也可能亏损 20%(只有这两种可能)，且获利的概率为 ；12第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将 10 万元全部用来买
11、基金据分析预测：投资基金一年后可能获利 20%，可能损失 10%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 ，；351515第三种方案：李师傅的妻子认为：投资股市、基金均有风险，应该将 10 万元全部存入银行一年，现在存款年利率为 3%.针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方案，并说明理由解：若按方案一执行，设收益为 万元，则其分布列为 4 2P 12 12 的数学期望 E()4 (2) 1.12 12若按方案二执行，设收益为 万元，则其分布列为： 2 0 1P 35 15 15 的数学期望 E()2 0 (1) 1.35 15 15若按方案三执行，收益y103% 0.3
12、，因此 E()E()y.又 D()(41) 2 (21) 2 9，12 12D()(2 1) 2 (01) 2 (11) 2 .35 15 15 85由以上可知 D()D()这说明虽然方案一、二收益均相等，但方案二更稳妥所以建议李师傅家选择方案二投资较为合理1已知某离散型随机变量 X 服从的分布列如下表所示，则随机变量 X 的方差 D(X)等于( )X 0 1P m 2mA. B.19 29C. D.13 23解析：选 B.由题意可知：m2m1，所以 m ，所以 E(X)0 1 ，所以 D(X)13 13 23 23 .(0 23)2 13 (1 23)2 23 292已知 A1，A 2 为两
13、所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为 ，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过12高校的个数为随机变量 X，则 D(X)( )A. B.316 54C. D.2564 1964解析：选 A.因为 X 的取值为 0，1，P(X0) ，12 12 14P(X1) ，12 12 12 34所以 E(X)0 1 ，14 34 34D(X) .故选 A.916 14 116 34 3163有 10 张卡片，其中 8 张标有数字 2，2 张标有数字 5，从中随机地抽取 3 张卡片，设 3张卡片数字之和为 ，求 E()和 D()解： 的可能取值为
14、 6，9，12.6 表示取出的 3 张卡片上都标有 2，则 P( 6) .7159 表示取出的 3 张卡片上两张标有 2，一张标有 5，则 P( 9) .71512 表示取出的 3 张卡片上两张标有 5，一张标有 2，则 P( 12) .115所以 的分布列为 6 9 12P 715 715 115所以 E()6 9 12 7.8，715 715 115D()(67.8) 2 (97.8) 2 (127.8) 2 3.36.715 715 115知识结构 深化拓展对随机变量 X 的方差、标准差的五点说明(1)随机变量 X 的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的(2)随机变量 X 的方差和标
15、准差都反映了随机变量 X 的取值的稳定性和波动、集中与离散程度(3)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更为广泛(4)D(X)越小，随机变量 X 的取值越稳定，波动越小(5)方差也可以用公式 D(X) E(X2)(E( X)2 计算(可由 D(X) n i 1(xi E(X)2pi 展开得到 )., A 基础达标1设一随机试验的结果只有 A 和 A，且 P(A)m，令随机变量 则 的方1，A发 生 ，0，A不 发 生 ，)差 D()等于( )Am B2m (1m)Cm(m1) Dm(1 m)解析：选 D.随机变量 的分布列为： 0 1P 1m m所以 E()0(1m)1mm.
16、所以 D()(0m) 2(1m) (1m) 2mm(1m )2如果 X 是离散型随机变量，E(X)6，D(X) 0.5，X 12X5，那么 E(X1)和 D(X1)分别是( )AE(X 1)12，D(X 1)1BE(X 1)7，D(X 1)1CE(X 1)12，D(X 1)2DE(X 1)7，D(X 1)2解析：选 D.E(X1)2E(X) 5 1257，D( X1)4D( X) 40.52.3抛掷一枚硬币，规定正面向上得 1 分，反面向上得1 分，则得分 X 的均值与方差分别为( )AE(X) 0，D(X)1BE(X) ，D (X)12 12CE(X)0，D (X)12DE(X) ，D(X)
17、112解析：选 A.由题意知，随机变量 X 的分布列为X 1 1P 12 12所以 E(X)(1) 1 0，12 12D(X) (10) 2 (10) 21.12 124已知 X 的分布列如下表所示：X 1 0 1P 12 13 16则下列式子：E(X ) ； D(X) ；P(X0) .其中正确的有( )13 2327 13A0 个 B1 个C2 个 D3 个解析：选 C.由分布列知 P(X0) ，13E(X)(1) 0 1 ，12 13 16 12 16 13D(X) ，故只有正确12 ( 1 13)213 (0 13)2(113)216 595设随机变量 的分布列为 P(k)C ( )k(
18、 )nk ，k 0，1，2，n，且 E( )24，kn23 13则 D()的值为( )A8 B12C. D1629解析：选 A.由题意可知 B( n， )，23所以 nE( )24.23所以 n36.所以 D()n (1 ) 368.23 23 296牧场有 10 头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为 0.02，设发病的牛的头数为 ，则 D()等于_解析：因为 B(10 ，0.02)，所以 D()100.02(10.02)0.196.答案：0.1967随机变量 的取值为 0，1，2.若 P(0) ，E( )1 ，则 D()_15解析：设 P(1)a，P( 2)b，则 解得15
19、 a b 1，a 2b 1，) a 35，b 15，)所以 D() 0 1 .15 35 15 25答案：258随机变量 的分布列如下，其中 a，b，c 成等差数列若 E() ，则 D()的值为53_ 1 2 3P a b c解析：因为 a，b，c 成等差数列，所以 ac2b.又因为 abc1，所以 b .又因为13E()a2b3c ，所以 a ，b ，c ，所以 的分布列为53 12 13 16 1 2 3P 12 13 16所以 D()(1 )2 (2 )2 (3 )2 .53 12 53 13 53 16 59答案：599已知 的分布列为 0 10 20 50 60P 13 25 115
20、 215 115(1)求 的方差及标准差；(2)设 Y2E() ，求 D(Y)解：(1)E( )0 10 20 50 60 16，D( )(016) 2 (10 16)13 25 115 215 115 132 (2016) 2 (50 16) 2 (6016) 2 384， 8 .25 115 215 115 D（） 6(2)因为 Y2E() ，所以 D(Y)D(2E( )2 2D()43841 536.10从 5 名女生和 2 名男生中任选 3 人参加英语演讲比赛，设随机变量 表示所选 3 人中男生的人数(1)求 的分布列；(2)求 的均值与方差；解：(1) 可能取的值为 0，1，2，且
21、P(0) ，P( 1) ，P(2)27 47 ，17所以 的分布列为 0 1 2P 27 47 17(2)E()0 1 2 ，27 47 17 67D() .(0 67)2 27 (1 67)2 47 (2 67)2 17 140343 2049B 能力提升11甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量 ， ，已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于 6 环，且甲射中 10，9，8，7 环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中 10，9，8 环的概率分别为 0.3，0.3，0.2.(1)求 ， 的分布列；(2)求 ， 的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术解：(1)依
22、题意 0.53aa0.11，解得 a0.1，因为乙射中 10，9，8 环的概率分别为 0.3，0.3，0.2，所以乙射中 7 环的概率为 1(0.30.30.2) 0.2.所以 ， 的分布列分别为 10 9 8 7P 0.5 0.3 0.1 0.1 10 9 8 7P 0.3 0.3 0.2 0.2(2)结合第一问中 ， 的分布列可得E()100.590.38 0.170.19.2，E()100.3 90.380.270.28.7，D()(109.2) 20.5(99.2) 20.3(89.2) 20.1(79.2) 20.10.96，D()(10 8.7) 20.3(9 8.7)20.3(8
23、8.7) 20.2(78.7) 20.21.21，由于 E()E()，说明甲平均射中的环数比乙高；又 D() ，解得 p .12 12 12 12 12 45 35又因为 p q1，q0，所以 p .13 23所以 p 的取值范围是 .(35，23(2)假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记 X 为丙投资股票的获利金额 (单位：万元)，所以随机变量 X 的分布列为X 8 0 4P 12 18 38则 E(X)8 0 (4) .12 18 38 52假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记 Y 为丙购买基金的获利金额(单位：万元)，所以随机变量 Y 的分布列为Y 4 0 2P 12 13 16
24、则 E(Y)4 0 (2) .12 13 16 53因为 E(X)E(Y)，所以丙选择“投资股市” ，才能使得一年后的投资收益的均值较大6某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过 200 度的部分按 0.5 元/度收费，超过 200 度但不超过 400 度的部分按 0.8 元/度收费，超过 400 度的部分按 1.0 元/ 度收费(1)求某户居民用电费用 y(单位：元) 关于月用电量 x(单位：度 )的函数解析式；(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年 1 月份 100 户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方
25、图，若这 100 户居民中，今年 1 月份用电费用不超过 260 元的占 80%，求 a，b 的值；(3)在满足(2)的条件下，若以这 100 户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记 Y 为该居民用户 1 月份的用电费用，求Y 的分布列和数学期望解：(1)当 0x200 时，y0.5x；当 200400 时，y 0.52000.82001.0(x400)x140，所以 y 与 x 之间的函数解析式为：y 0.5x，0 x 200，0.8x 60，200400. )(2)由(1)可知：当 y260 时，x400，则 P(x400)0.80，结
26、合频率分布直方图可知 0.1 2100b 0.3 0.8，100a 0.05 0.2， )所以 a0.001 5，b0.002 0.(3)由题意可知 x 可取 50，150，250，350，450，550.当 x50 时，Y0.55025，所以 P(Y25)0.1，当 x150 时，Y0.515075，所以 P(Y75)0.2，当 x250 时，Y0.52000.850140，所以 P(Y140)0.3，当 x350 时，Y0.52000.8150220，所以 P(Y220)0.2，当 x450 时，Y0.52000.82001.050310，所以 P(Y310)0.15，当 x550 时，Y0.52000.82001.0150410，所以 P(Y410)0.05，故 Y 的概率分布列为：Y 25 75 140 220 310 410P 0.1 0.2 0.3 0.2 0.15 0.05所以随机变量 Y 的数学期望E(Y)250.1750.21400.32200.23100.154100.05170.5.
