1、第三章 概 率3.3 几何概型3.3.1 几何概型学习目标1.通过本节内容的学习,了解几何概型,理解其基本计算方法并会运用.2.通过对照前面学过的知识,自主思考,寻找几何概型的随机模拟计算方法,设计估计未知量的方案,培养实际操作能力.3.通过学习,体会试验结果的随机性与规律性,培养科学思维方法,提高对自然界的认知水平.合作学习一、设计问题,创设情境问题 1:前面我们都学过哪些求概率的方法 ?学生思考后给出: . 问题 2:下面事件的概率能否用古典概型的方法求解 ?情境一教师取一根长度为 60 厘米的绳子,拉直后在任意位置剪断,使得剪出的两段的长都不小于绳子长度 (记为事件 A),求此事件发生的
2、概率.13师生共同探究:此试验中,从每一个位置剪断都是一个试验结果,剪断位置可以是绳子上任一点,试验的可能结果为 ,发现不是 ,不可以用古典概型的方法求解. 探索:如图所示,把绳子三等分 ,于是当剪断位置在中间一段时,事件 A 发生,于是 P(A)=.中 间绳 子 长 度整条 绳 子 长 度 =13教师:这个模型就是我们今天要学习的几何概率模型 ,简称几何概型.情境二教师用多媒体展示商场里面的抽奖场景视频,拿出如图所示的两个转盘,规定当指针指向B 区域时顾客中奖.问题 3:在两种情况下某顾客中奖的概率分别是多少 ?学生思考并回答,可见在图(1)中,顾客中奖的概率为 ,图(2) 中顾客中奖的概率
3、为 . 情境三问题 4:一只苍蝇在一棱长为 60 cm 的正方体笼子里飞.苍蝇距笼边大于 10 cm 的概率是多少?问题 5:同学们观察对比,找出三个情境的共同点与不同点 .问题 6:同学们能否根据自己的理解说说什么是几何概型 ?二、信息交流,揭示规律在问题情境的铺垫下,教师引导学生用自己的语言描述几何概型的概念: ,简称为几何概型. 问题 7:古典概型与几何概型的区别和联系是什么 ?古典概型 几何概型所有的试验结果 有限个(n 个)每个试验结果的发生 等可能概率的计算 P(A)=nAn引导学生通过对前面三个情境的总结,得到在几何概型中,事件 A 发生的概率的计算公式为三、运用规律,解决问题【
4、例 1】 在 500 mL 的水中有一只草履虫,现从中随机取出 2 mL 水样放到显微镜下观察,求发现草履虫的概率.【例 2】 取一个边长为 2a 的正方形及其内切圆,随机向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率.【例 3】 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待的时间不多于 10 分钟的概率.归纳总结:怎样求几何概型的概率 ?对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型,找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题转化为几何概率问题,利用几何概率公式求解,具体分以下四个步骤:(1) (2) (3) (4) 四、变式训练,深化提高1.在区间1,3上任意取一个数
5、,则这个数不小于 1.5 的概率是多少 ?2.在高产小麦种子 100 mL 中混入了一粒带锈病的种子,从中随机取出 3 mL,求含有带锈病种子的概率是多少?3.在墙上挂着一块边长为 16 cm 的正方形木板,上面画了小、中、大三个同心圆,半径分别为 2 cm,4 cm,6 cm,某人站在 3 m 之外向此板投镖,投镖击中线上或没有投中木板时都不算,可重投,问:(1)投中大圆内的概率是多少?(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少?(3)投中大圆之外的概率是多少?五、反思小结,观点提炼布置作业1.必做题课本 P142 习题 3.3 A 组第 1,2 题.2.选做题(1)在等腰直角三角形 ABC
6、 中,在斜边 AB 上任取一点 M,求 AM 小于 AC 的概率.(2)平面上画了一些彼此相距 2a 的平行线,把一枚半径 ra 的硬币任意掷在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.(3)两人相约 8 点到 9 点在某地会面,先到者等候另一人 20 分钟,过时就可离去,试求这两人能会面的概率.参考答案一、设计问题,创设情境问题 1:用做试验或计算机模拟试验等方法得到事件发生的频率来估计概率; 用古典概型的公式计算事件发生的概率.问题 2:无限个 古典概型问题 3:12 35二、信息交流,揭示规律如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积) 成比例,则称这样的概率模型为
7、几何概率模型问题 7:古典概型 几何概型所有的试验结果 有限个(n 个) 无限个每个试验结果的发生 等可能 等可能概率的计算 P(A)=nAnAP(A)=构成事件 的区域 长 度 (面 积 或体 积 )试验 的全部 结 果所构成的区域 长 度 (面 积 或体 积 )三、运用规律,解决问题【例 1】 解:取出 2 mL 水,其中“发现草履虫”这一事件记为 A,则P(A)= =0.004.取出水的体 积所有水的体 积 =2500答:发现草履虫的概率是 0.004.【例 2】 解:记“豆子落入圆内”为事件 A,则P(A)= .圆 的面 积正方形的面 积 =242=4答:豆子落入圆内的概率为 .4【例
8、 3】 解:记“等待的时间不多于 10 分钟”为事件 A,则 P(A)= .1060=16答:等待的时间不多于 10 分钟的概率为 .16归纳总结(1)利用几何概型的定义判断该问题能否转化为几何概型求解;(2)把基本事件空间转化为与之对应的区域 ;(3)把随机事件 A 转化为与之对应的区域 A;(4)利用几何概型概率公式计算.四、变式训练,深化提高1.P= =0.75.1.5,3的 长 度1,3的 长 度 =3-1.53-1=1.522.P(A)= =0.03.取出的小麦种子的体 积所有小麦种子的体 积 =31003.(1)P1= .大 圆 的面 积正方形的面 积 =36256=964(2)P
9、2= .中 圆 的面 积 -小 圆 的面 积正方形的面 积 =16-4256=364(3)P3=1- =1- .大 圆 的面 积正方形的面 积 964五、反思小结,观点提炼1.几何概型的概念及基本特点.2.几何概型中概率的计算公式;一般地,在几何区域 中随机地取一点,记事件“该点落在其内部一个区域 A 内”为事件 A,则事件 A 的概率计算公式为 P(A)= .其中 表示区域 的几何度量, A 表示区域 A 的几何度量.3.背景相似的问题,当等可能的角度不同时,其概率是不一样的.4.区域 内随机取点是指:该点落在区域 内任何一处都是等可能的,落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比,而与
10、其形状位置无关.布置作业2.选做题:(1)解:在 AB 上截取 AC=AC.于是P(AMAC)=P(AMAC)= .=22答:AM 小于 AC 的概率为 .22(2)解:把“硬币不与任一条平行线相碰”记为事件 A,为了确定硬币的位置,由硬币中心 O向靠得最近的平行线引垂线 OM,垂足为 M,如图所示,这样线段 OM 长度(记作 OM)的取值范围就是0, a,只有当 rOMa 时硬币才不与平行线相碰,所以,所求事件 A 的概率 P(A)=.(,的 长 度0,的 长 度 =-(3)解:设甲、乙各在第 x 分钟和第 y 分钟到达,则样本空间为 :(x,y)|0x 60,0y60,画成图为一正方形(如图) .以 x,y 分别表示两人的到达时刻,则两人能会面的充要条件为|x-y|20,而能会面的点的区域用阴影标出,所求概率 P= .阴影的面 积正方形的面 积 =602-402602 =59
