1、第三章 直线与方程本章小结学习目标通过总结和归纳直线与方程的知识,对全章知识内容进行一次梳理,突出知识间的内在联系,进一步提高学生综合运用知识解决问题的能力.能够使学生综合运用知识解决问题,培养学生分析、探究和思考问题的能力,加深对数形结合思想、化归转化思想、函数与方程思想的感悟和理解.合作学习一、设计问题,创设情境题组一(再现型题组)解答下列各题,并将各题设计的基础知识进行归纳.1.图中的直线 l1,l2,l3的斜率分别为 k1,k2,k3,则( )A.k1k2k3 B.k3k1k2C.k3k2k1D.k1k3k22.过点 P(-2,m)和 Q(m,4)的直线与直线 y=x+1 平行,那么
2、m 的值等于( )A.1 或 3 B.4C.1 D.1 或 43.有以下说法:方程 mx-y+1-m=0 表示的直线必过点 P0(1,1);方程 y-y0=k(x-x0)表示过点 P0(x0,y0)的所有直线;直线 y=kx+b 的纵截距为 b;方程 可以表示斜率为零的直线;-12-1=-12-1与 x 轴、y 轴都相交的直线的方程都可以化为 =1 的形式.+其中,正确说法的序号是 . 4.过点 A(2,3)且与直线 l:x+2y-3=0 垂直的直线方程是 . 5.直线 x+y-2=0 与直线 x-y-2=0 的交点到直线 3x-4y+4=0 的距离是 . 二、题组二:提高型题组【例 1】 从
3、点 A(-4,1)出发的一束光线 l,经过直线 l1:x-3y+3=0 反射,反射光线恰好通过点 B(1,6).(1)求点 B 关于直线 l1的对称点 B的坐标;(2)求入射光线 l 所在的直线方程.【例 2】 已知两直线 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0.(1)当 m 为何值时 ,直线 l1与 l2:平行;垂直.(2)试证明:直线 l2是否过定点.【例 3】 已知直线 l 过两直线 3x+4y-5=0 和 2x-3y+8=0 的交点,且与点 A(2,3),B(-4,5)两点的距离相等,求直线 l 的方程 .三、题组三:反馈型题组1.设 m,nR,若直线 l:mx+n
4、y-1=0 与 x 轴相交于点 A,与 y 轴相交于点 B,且原点 O 到直线的距离为 ,当 OAB 的面积为 3 时,直线 l 的方程为 . 32.l1,l2是分别经过 A(1,1),B(0,-1)两点的平行直线,当 l1,l2间的距离最大时 ,直线 l1的方程是 . 3.若两平行直线 3x-2y-1=0,6x+ay+c=0 之间的距离为 ,则 c 的值为 . 21313四、问题 1:通过本节的学习, 你认为本章的问题在求解时要经历一个怎样的过程?五、问题 2:你认为求直线方程时 ,需要分析几个条件? 有哪些方法?这个过程中体现了哪些数学思想?参考答案一、题组一:再现型题组1.解析:设直线
5、l1,l2,l3的倾斜角分别为 1,2,3,根据图形可以知道 32 1,所以2k1k3k2.答案:D2.解析:由 =1,解得 m=1.4-+2答案:C3.解析:对于可将点的坐标代入验证 ,能使方程成立,故正确,也可以将直线方程化成点斜式求解;对于,点斜式方程不能表示斜率不存在的直线,故不正确; 由斜截式方程知正确;两点式方程不能表示斜率不存在或斜率为零的直线,故不正确;对于过原点的直线,截距式不能表示,故不正确.答案: 4.解析:(1)( 方法一)直线 l 的斜率为- ,所以所求直线的斜率 k=2,所求直线方程为12y-3=2(x-2),即 2x-y-1=0.(方法二) 也可以设所求直线为 2
6、x-y+c=0,将点 A 的坐标代入得 c=-1,故所求直线方程为2x-y-1=0.答案:2x-y+1=05.解析:交点坐标为(2,0)所求距离 d= =2.|32-40+4|32+(-4)2答案:2二、题组二:提高型题组【例 1】 (1)设点 B(x0,y0),则 解得 0-60-11=-1,0+12 -0+62 +3=0, 0=3,0=4.所以点 B(3,4).(2)由镜面反射原理知,入射光线所在直线即直线 AB.由(1)知, 直线 AB的方程为 ,即 3x-7y+19=0.-14-1=+43+4【例 2】 (1)当 m=0 时,l 1:x+6=0,l2:2x-3y=0,l1与 l2相交且
7、不垂直;当 m0 时,l 1:y=- x- ,l2:y=- x- .16 -23 23l 1l2- =- 且- - ,解得 m=-1.1-23 623当 m=-1 时,l 1l2.l 1l2(- )(- )=-1,解得 m= .1 -23 12当 m= 时,l 1l2.12(2) (法一 )直线 l2的方程可化为 m(x+2)+(-2x+3y)=0,由 解得 +2=0,-2+3=0, =-2,=-43.所以直线 l2过定点(-2,- ).43(法二)令 m=0,m=3,分别得到直线方程为 2x-3y=0,x+3y+6=0,将两方程联立,解得 =-2,=-43.将点(-2,- )代入(m-2)
8、x+3y+2m=0 知能使方程成立.43所以直线 l2过定点(-2,- ).43【例 3】 解方程组 解得 即交点 P(-1,2).3+4-5=0,2-3+8=0. =-1,=2,(法一)当直线 l 的斜率不存在时 ,则 l 的方程为 x=-1,符合题意;当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y-2=k(x+1),即 kx-y+k+2=0.由题意得 ,|2-3+2|2+1 =|-4-5+2|2+1解得 k=- .13所以直线 l 的方程为 y-2=- (x+1),即 x+3y-5=0.13综上可知,所求直线 l 的方程为 x=-1 或 x+3y-5=0.(法二)由题意知,直线 l 与
9、直线 AB 平行或过线段 AB 的中点 .当直线 l 与直线 AB 平行时,因为 kAB= =- ,所以直线 l 的方程为 y-2=- (x+1),即 x+3y-5-3-4-2 13 135=0.当直线 l 过线段 AB 的中点时,因为线段 AB 的中点为( -1,4),则 l 的方程为 x=-1.综上可知,所求直线 l 的方程为 x=-1 或 x+3y-5=0.三、题组三:反馈型题组1.解析:由题意知 A( ,0),B(0, ),点 O 到直线的距离 d= ,即1 1 12+2=3m2+n2= ,又 OAB 的面积为 3,即|mn|= ,与 m2+n2= 联立,解得13 16 13m=n= ,所以直线 l 的方程为 x+y+ =0 或 x+y- =0.66 6 6答案: x+y+ =0 或 x+y- =06 62.解析:当两条平行直线与 AB 垂直时,两条平行直线间的距离最大.因为 kAB=2,所以两平行线的斜率为- ,所以直线 l1的方程是 y-1=- (x-1),即 x+2y-3=0.12 12答案: x+ 2y-3=03.解析:由题意得 a=-4,则 6x+ay+c=0 可化为 3x-2y+ =0,2则 ,解得 c 的值为 2 或-6.|2+1|13=21313答案: 2 或-6四、问题 1:五、问题 2:
