1、学案设计 第三章 函数的应用本章复习学习目标了解方程的根与函数零点的关系;理解函数零点的性质,掌握二分法,会用二分法求方程的近似解;了解直线上升、指数爆炸、对数增长,会进行指数函数、对数函数、幂函数增长速度的比较;能熟练应用数学建模解决有关函数的实际应用问题.合作学习一、知识回顾(一)全章知识点1.函数的零点,方程的根与函数的零点,零点的性质.2.二分法,用二分法求函数零点的步骤.3.几类不同增长的函数模型(直线上升、指数爆炸、对数增长), 指数函数、对数函数、幂函数增长速度的比较.4.应用函数模型解决实际问题的基本过程.(二)方法总结1.函数 y=f(x)的 就是方程 f(x)=0 的根,因
2、此,求函数的零点问题通常可转化为求相应的方程的根的问题. 2.一元二次方程根的讨论在高中数学中应用广泛,求解此类问题常有三种途径:(1)利用求根公式;(2)利用二次函数的图象;(3)利用根与系数的关系.无论利用哪种方法,根的判别式都不容忽视,只是由于二次函数图象的不间断性,有些问题中的判别式已隐含在问题的处理之中.3.用二分法求函数零点的一般步骤:已知函数 y=f(x)定义在区间 D 上,求它在 D 上的一个变号零点 x0 的近似值 x,使它与零点的误差不超过正数 ,即使得 |x-x0|.(1)在 D 内取一个闭区间 a,bD,使 . 令 a0=a,b0=b.(2)取区间a 0,b0的中点,则
3、此中点对应的横坐标为x0=a0+ (b0-a0)= (a0+b0).12 12计算 f(x0)和 f(a0).判断:如果 f(x0)=0, ; 如果 f(a0)f(x0)0,则零点位于区间 内,令 a1=x0,b1=b. (3)取区间a 1,b1的中点,则此中点对应的横坐标为x1=a1+ (b1-a1)= (a1+b1).12 12学案设计 计算 f(x1)和 f(a1).判断:如果 f(x1)=0,则 x1 就是 f(x)的零点,计算终止;如果 f(a1)f(x1)0,则零点位于区间x 1,b1上,令 a2=x1,b2=b1.实施上述步骤,函数的零点总位于区间a n,bn上, 就是函数 y=
4、f(x)的近似零点,计算终止.这时函数 y=f(x)的近似零点与真正零点的误差不超过. 4.对于直线 y=kx+b(k0),指数函数 y=max(m0,a1),对数函数 y=logbx(b1),(1)通过实例结合图象初步发现:当自变量变得很大时,指数函数比一次函数增长得快,一次函数比对数函数增长得快;(2)通过计算器或计算机得出多组数据,结合函数图象( 图象可借助于现代信息技术手段画出) 进一步体会:直线上升,其增长量固定不变;指数增长,其增长量成倍增加,增长速度是直线上升所无法企及的.随着自变量的不断增大,直线上升与指数增长的差距越来越大,当自变量很大时,这种差距大得惊人,所以“指数增长”可
5、以用“指数爆炸” 来形容 ;对数增长,其增长速度平缓,当自变量不断增大时,其增长速度小于直线上升.5.在区间(0,+)上,尽管函数 y=ax(a1),y=logax(a1),y=xn(n0)都是增函数,但是它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上,随着 x 的增大,y=a x(a1)的增长速度越来越快,会远远超过 y=xn(n0)的增长速度,而 y=logax(a1)的增长速度则会越来越慢.因此,总会存在一个x0,当 xx0 时, . 6.实际问题的建模方法.(1)认真审题,准确理解题意;(2)从问题出发,抓准数量关系,恰当引入变量或建立直角坐标系 .运用已有的数学知识和方法,将数量关系用
6、数学符号表示出来,建立函数关系式;(3)研究函数关系式的定义域,并结合问题的实际意义作出解答 .必须说明的是:(1)通过建立函数模型解决实际问题,目的是通过例题培养学生应用数学的意识和分析问题的能力;(2)把实际问题用数学语言抽象概括,从数学角度来反映或近似地反映实际问题所得出的关于实际问题的数学描述,即为数学模型.7.建立函数模型,解决实际问题的基本过程:学案设计 二、例题讲解【例 1】作出函数 y=x3 与 y=3x-1 的图象,并写出方程 x3=3x-1 的近似解.(精确到 0.1)【例 2】分别就 a=2,a= 和 a= 画出函数 y=ax,y=logax 的图象 ,并求方程 ax=l
7、ogax 的解的54 12个数.【例 3】根据上海市人大十一届三次会议上的政府工作报告,2013 年上海完成 GDP(国内生产总值)4035 亿元,2014 年上海市 GDP 预期增长 9%,市委、市政府提出将本市常住人口每年的自然增长率控制在 0.08%,若 GDP 与人口均按这样的速度增长,则要使本市人均 GDP达到或超过 2013 年的 2 倍,至少需 年.(按:2013 年本市常住人口总数约为 1300 万) 【例 4】某地西红柿从 2 月 1 日起开始上市.通过市场调查,得到西红柿种植成本 Q(单位:元/10 2kg)与上市时间 t(单位 :天)的数据如下表:时间 t 50 110
8、250种植成本 Q 150 108 150(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系.Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=abt,Q=alogbt.(2)利用你选取的函数,求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本 .学案设计 三、课堂练习课本 P112 复习参考题 A 组第 1,2,3,4,5 题.四、课堂小结1.函数与方程的紧密联系,体现在函数 y=f(x)的零点与相应方程 f(x)=0 的实数根的联系上;2.二分法是求方程近似解的常用方法,应掌握用二分法求方程近似解的一般步骤;3.不同函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律.指数
9、函数、对数函数以及幂函数就是常用的现实世界中不同增长规律的函数模型;4.函数模型的应用,一方面是利用已知函数模型解决问题;另一方面是建立恰当的函数模型,并利用所得函数模型解释有关现象,对某些发展趋势进行预测;5.在函数应用的学习中要注意充分发挥信息技术的作用.五、作业布置课本 P112 复习参考题 A 组第 7,8,9 题;B 组第 1,2 题.参考答案二、例题讲解【例 1】解:函数 y=x3 与 y=3x-1 的图象如图所示.在两个函数图象的交点处,函数值相等.因此,这三个交点的横坐标就是方程 x3=3x-1 的解.由图象可以知道,方程 x3=3x-1 的解分别在区间( -2,-1),(0,
10、1)和(1,2)内,那么,对于区间( -2,-1),(0,1)和(1,2)分别利用二分法可以求得它精确到 0.1 的近似解为 x1-1.8,x20.4,x31.5.【例 2】解:利用 Excel、图形计算器或其他画图软件,可以画出函数的图象,如下图所示.学案设计 根据图象,我们可以知道,当 a=2,a= 和 a= 时,方程 ax=logax 解的个数分别为 0,2,1.54 12【例 3】解:设需 n 年,由题意得,4035(1+9%)13000000(1+0.08%)2403513000000化简得 2,解得 n8.(1+9%)(1+0.08%)答:至少需 9 年.【例 4】解:由提供的数据
11、知道 ,描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数不可能是常数函数,从而用函数 Q=at+b,Q=abt,Q=alogbt 中的任意一个进行描述时都应有a0,而此时上述三个函数均为单调函数,这与表格所提供的数据不吻合.所以,选取二次函数Q=at2+bt+c 进行描述.以表格所提供的三组数据分别代入 Q=at2+bt+c,得到150=2500+50+,108=12100+110+,150=62500+250+.解得=1200,=-32,=4252.所以描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数为 Q= t2- t+ .120032 4252(2)当 t=- =150
12、天时,西红柿种植成本最低 ,-322(1200)为 Q= 1502- 150+ =100(元/ 102kg).1200 32 4252三、课堂练习1.C 2.C3.设列车从 A 地到 B 地运行时间为 T,经过时间 t 后列车离 C 地的距离为 y,则y=200-500,025,500-200,25.函数图象为4.(1)圆柱形;学案设计 (2)上底小、下底大的圆台形;(3)上底大、下底小的圆台形;(4)呈下大上小的两节圆柱形.( 图略)5.令 f(x)=2x3-4x2-3x+1,函数图象如下所示:函数分别在区间(-1,0),(0,1) 和区间 (2,3)内各有一个零点,所以方程 2x3-4x2
13、-3x+1=0 的最大的根应在区间(2,3)内.取区间(2,3)的中点 x1=2.5,用计算器可算得 f(2.5)=-0.25.因为 f(2.5)f(3)0,所以 x0(2.5,3).再取(2.5,3) 的中点 x2=2.75,用计算器可算得 f(2.75)4.09.因为 f(2.5)f(2.75)0,所以 x0(2.5,2.75).同理,可得 x0(2.5,2.625),x0(2.5,2.5625),x0(2.5,2.53125),x0(2.515625,2.53125),x0(2.515625,2.5234375).由于|2.534375-2.515625|=0.0078125 0.01,此时区间(2.515625,2.5234375)的两个端点精确到 0.01 的近似值都是 2.52,所以方程 2x3-4x2-3x+1=0 精确到 0.01 的最大根约为 2.52.
