1、第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率学习目标1.理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率; 2.掌握过两点的直线斜率的计算公式; 3.能用公式和概念解决问题.合作学习一、设计问题、创设情境问题 1:在平面直角坐标系中, 点这一几何图形可以用数表示吗? 坐标的含义是什么呢?问题 2:请你在坐标系中表示出点 P(2,0)和点 Q(3,1).过点 P、Q 可以作几条直线,为什么?过一点 P 可以作几条直线呢? 问题 3:现在给出点 M(4,2)和点 N(3,3),请大家画出过点 P,M 的直线,和过点 P,N 的直线.请大家观察,直线 PQ、直线 PM 以及直线 PN 有什
2、么联系?有什么区别?并请大家探究这种区别可以用什么量来描述?二、学生探索、尝试解决问题 4:倾斜程度是相对于哪个对象的 ?请大家继续探究倾斜程度可以用什么量来刻画?请大家继续探究如何定义“角”或者“ 变化率”?问题 5:过点 P 与 x 轴形成 45角的直线有几条?进一步问:如何区分这两条直线呢?选择哪个角来描述直线的倾斜程度,就能保证坐标系下的任何一条直线都有唯一的角与它对应呢?课堂练习 1:在下列各图中分别标出各直线的倾斜角 .问题 6:由以上对倾斜角的定义 ,你能确定倾斜角 的取值范围吗 ?问题 7:对于直线相对于 x 轴的倾斜程度,除去用倾斜角这一几何图形描述之外,我们知道还能用纵坐标
3、相对于横坐标变化的快慢来描述,他们之间有什么关系呢,我们应该将它们怎样联系起来呢? 课堂练习 2:分别求出 =45,=135,=90时,对应的直线的斜率;当 在0,180)内变化时,斜率 k 如何变化?四、用规律、解决问题问题 8:在平面直角坐标系中 ,已知直线上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)且 x1 x2,能否用 P1,P2的坐标来表示直线斜率 k?思考:1.各种一般情形得出的结论一致吗 ?与 P1,P2这两点坐标的顺序有关系吗?2.当直线垂直于 x 轴或 y 轴时,上述结论适用吗?3.斜率公式使用时应注意什么问题?五、变练演练、深化提高【例题】 已知 A(3,2),B(-4,
4、1).(1)求直线 AB 的斜率,并判断其倾斜角是锐角还是钝角;(2)若点 C(x,3)在直线 AB 上,求实数 x 的值.变式训练:已知点 A(1,2),B(3,5),C(x,6).(1)若直线 AC 的倾斜角 =45,求实数 x 的值;(2)若 A、 B、C 三点共线,求实数 x 的值.六、信息交流,教学相长问题 9:为什么要学习直线的斜率 ?这体现了什么思想?参考答案一、问题 1:可以,用坐标表示 ; 横、纵坐标的绝对值,分别表示这一点到 y 轴、x 轴的距离,即坐标轴为参照对象.问题 2:一条;两点确定一条直线;无数条.问题 3: 都过点 P;直线 PQ 与直线 PN 是过同一点的两条
5、直线.这两条直线的区别可以从倾斜程度不同或者“变化率” 不同两个方面来解释.二、问题 4: x 轴 ;可以同“角”或者“ 变化率”来刻画;三、问题 5: 两条;需要从方向上来定义;课堂练习:问题 6:倾斜角的范围是 0,180).问题 7: 构造关于倾斜角的直角三角形 .课堂练习 2:答案:因为 tan 45=1,tan 135=-tan 45=-1,=90时,斜率不存在.四、问题 8:解:设直线 P1 P2的倾斜角为 (90),当直线 P1 P2方向向上时,过点 P1作 x轴的平行线,过点 P2作 y 轴的平行线,两线交于点 Q,则点 Q 的坐标为(x 2,y1)(1)当 为锐角时,=QP 1P2,x1x2,y10,所以其倾斜角是锐角;(2)因为点 C(x,3)在直线 AB 上,所以 ,解得 x=10.3-2-3=17变式训练:解:(1)因为 tan = =1,故 x=4;6-5-3(2)因为 A,B,C 三点共线 ,所以 kAB=kAC,即 ,解得 x= .5-23-1=6-2-1 113六、信息交流,教学相长问题 9:为了用代数方法研究直线问题 ;体现了数形结合思想 .
