1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.2 平面与平面垂直的判定学习目标1.探究平面与平面垂直的判定定理,二面角的定义及应用,培养学生的归纳能力.2.掌握平面与平面垂直的判定定理的应用,培养学生的空间想象能力.3.引导学生总结求二面角的方法,培养学生归纳问题的能力.合作学习一、设计问题,创设情境为了解决实际问题,人们需要研究两个平面所成的角.修筑水坝时,为了使水坝坚固耐用必须使水坝面与水平面成适当的角度;发射人造地球卫星时 ,使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度.为此,我们引入二面角的概念,研究两个平面所成的角.二、信息交流,揭示规律问题 1:前边列
2、举过门和墙所在平面的关系 ,随着门的开启,其所在平面与墙所在平面的相交程度在变,怎样描述这种变化呢?问题 2:什么是平面与平面的角呢 ?问题 3:什么是二面角的平面角 ?问题 4:类比直线与平面的垂直 ,如何判定两个平面垂直呢?三、运用规律,解决问题【例 1】 如图,AB 是O 的直径,PA 垂直于O 所在的平面,C 为圆周上不同于 A,B 的任意一点,求证:平面 PAC平面 PBC.【例 2】 如图,ABCD 是菱形,PA平面 ABCD,PA=AD=2,BAD=60.(1)求证:平面 PBD平面 PAC;(2)求二面角 A PB D 的余弦值 .四、变式演练,深化提高如图,已知直四棱柱 AB
3、CD-A1B1C1D1的底面是菱形,且 DAB=60,AD=AA1,F 为棱 BB1的中点,M 为线段 AC1的中点.(1)求证:直线 MF平面 ABCD;(2)求证:平面 AFC1平面 ACC1A1;(3)求平面 AFC1与平面 ABCD 所成二面角的大小.五、反思小结,观点提炼本节课我们学习了哪些知识?六、作业精选,巩固提高课本 P73习题 2.3A 组第 1,2,3 题.参考答案二、问题 1:两个平面存在角, 角的大小通过平面角来刻画.问题 2:(1)二面角的有关概念从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱,这两个半平面叫二面角的面.(2)二面角的画法(3)
4、二面角的表示方法如图中,棱为 AB,面分别为 , 的二面角记作二面角 AB .有时为了方便也可在 , 内(棱以外的半平面部分)分别取点 P,Q,将这个二面角记作二面角 P AB Q .问题 3:如图,在二面角 l 的棱上任一取点 O,以点 O 为垂足,在半平面 和 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB,则射线 OA 和 OB 构成的 AOB 叫做二面角的平面角.再取棱上另一点 O,在 和 内分别作 l 的垂线 OA和 OB,则它们组成角AOB.因为 OAOA,OBOB,所以AOB 及AOB的两边分别平行且方向相同,即AOB=AOB.从上述结论说明了:按照上述方法作出的角的大小 ,与角的
5、顶点在棱上的位置无关.由此结果引出二面角的平面角概念:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.图中的AOB, AOB都是二面角 l 的平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.两个平面互相垂直的定义可表述为:如果两个相交平面所成的二面角为直二面角,那么这两个平面互相垂直.直二面角的画法:如图问题 4:一个平面过另一个平面的垂线 ,则两个平面垂直.两个平面垂直的判定定理符号表述为: .两个平面垂直的判定定理图形表述为:如图.三、 【例 1】 证明:设
6、O 所在平面为 ,由已知条件,PA,BC ,PABC.C 为圆周上不同于 A,B 的任意一点,AB 是O 的直径,BCAC.又 PA 与 AC 是PAC 所在平面内的两条相交直线,BC平面 PAC.BC平面 PBC,平面 PAC平面 PBC.【例 2】 解:(1)证明:设 AC 与 BD 交于点 O,连接 PO,底面 ABCD 是菱形,BDAC.PA底面 ABCD,BD平面 ABCD,PABD.又 PAAC=A,BD平面 PAC.又 BD平面 PBD,平面 PBD平面 PAC.(2)作 AFPB 于点 F,作 AEPO 交点于 E,连接 EF,由(1)知 AE平面 PBD,AEPB.PB平面
7、AEF,PBEF.AFE 为二面角 A PB D 的平面角.在 RtAEF 中, AE= ,AF= ,2217 2sinAFE= ,cosAFE= .=427 1-(427)2=77二面角 A PB D 的余弦值为 .77四、1.解:(1)证明:延长 C1F 交 CB 的延长线于点 N,连接 AN.F 是 BB1的中点 ,F 为 C1N 的中点 ,B 为 CN 的中点.又 M 是线段 AC1的中点,故 MFAN.又 MF平面 ABCD,AN平面 ABCD,MF平面 ABCD.(2)证明:连接 BD,由直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1,可知 AA1平面 ABCD,又 BD平面 ABCD,A1
8、ABD.四边形 ABCD 为菱形,AC BD.又 ACA1A=A,AC,A1A平面 ACC1A1,BD平面 ACC1A1.在四边形 DANB 中,DABN 且 DA=BN,四边形 DANB 为平行四边形.故 NABD,NA平面 ACC1A1.又 NA平面 AFC1,平面 AFC1平面 ACC1A1.(3)由(2)知 BD平面 ACC1A1,又 AC1平面 ACC1A1,BDAC1.BDNA,AC1NA.又由 BDAC,可知 NAAC,C1AC 就是平面 AFC1与平面 ABCD 所成二面角的平面角或补角.在 RtC1AC 中 ,tanC1AC= ,故C 1AC=30.1=13平面 AFC1与平面 ABCD 所成二面角的大小为 30或 150.五、知识总结:利用面面垂直的判定定理找出平面的垂线 ,然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结:转化思想,即把面面关系转化为线面关系 ,把空间问题转化为平面问题.
